Ce spune ecuația Hamilton-Cayley?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Ecuația Hamilton-Cayley

Orice matrice pătratică de ordinul $2$ verifică relația $A^{2} - (tr A) A + (det A) I_{2} = O_{2}$ , în care urma adună cele două valori așezate pe diagonala principală. Pentru $A = (1324)$ , urma este $5$ , determinantul $- 2$ , deci $A^{2} = 5 A + 2 I_{2}$ . Relația coboară orice putere la o combinație de $A$ și $I_{2}$ și dă și o formulă comodă pentru inversă.

Urma unei matrice pătratice este suma elementelor de pe diagonala principală: $tr (A) = a_{11} + a_{22} + \dots + a_{nn}$ . Se calculează fără nicio înmulțire și este liniară: $tr (A + B) = tr (A) + tr (B)$ și $tr (α A) = α tr (A)$ . Mai verifică $tr (A B) = tr (B A)$ , chiar dacă $A B \neq = B A$ — dar nu este adevărat că $tr (A B) = tr (A) tr (B)$ ; aici urma nu se poartă ca determinantul.

Teorema Hamilton-Cayley (ordinul 2). Pentru orice $A \in M_{2} (C)$ , $A^{2} - tr (A) A + (det A) I_{2} = O_{2} .$ Se reține exact așa: pătratul, minus urma ori matricea, plus determinantul ori matricea unitate, dă matricea nulă. Forma de lucru este $A^{2} = tr (A) A - (det A) I_{2}$ . Atenție: ultimul termen este $(det A) I_{2}$ , o matrice, nu numărul $det A$ .

Prima consecință. Dacă $det A \neq = 0$ , atunci $A^{- 1} = \frac{1}{det A} (tr (A) I_{2} - A)$ — nu o metodă nouă, ci vechea formulă cu adjuncta, pentru că la ordinul $2$ avem $A^{*} = tr (A) I_{2} - A$ .

A doua consecință — coborârea gradului. Orice putere se scrie $A^{n} = x_{n} A + y_{n} I_{2}$ , cu $x_{n + 1} = tr (A) x_{n} - det A \cdot x_{n - 1}$ , $x_{1} = 1$ , $x_{2} = tr (A)$ și $y_{n} = - det A \cdot x_{n - 1}$ . În loc de patru numere urmărești două.

Trei cazuri se prăbușesc într-o linie: dacă $tr (A) = 0$ , atunci $A^{2} = - (det A) I_{2}$ ; dacă $det A = 0$ , atunci $A^{n} = (tr (A))^{n - 1} A$ ; dacă amândouă sunt nule, $A^{2} = O_{2}$ (matrice nilpotentă). Uită-te la cele două numere înainte de a porni recurența.

De reținut

$A^{2} - (tr A) A + (det A) I_{2} = O_{2}$ la ordinul $2$
$tr A = a_{11} + a_{22}$
Dacă $det A = 1$ : $A^{- 1} = (tr A) I_{2} - A$

Greșeala tipică

Se scrie relația cu plus la termenul din mijloc, adică $A^{2} + (tr A) A + (det A) I_{2} = O_{2}$ . Semnul urmei este minus, iar verificarea pe matricea unitate arată imediat care variantă este cea corectă.

Exerciții din această mini-lecție

Care este ecuația Hamilton-Cayley a matricei $A = (54 - 2 - 1)$ ?
- a) $A^{2} - 4 A - 3 I_{2} = O_{2}$
- b) $A^{2} - 4 A + 3 I_{2} = O_{2}$
- c) $A^{2} + 4 A + 3 I_{2} = O_{2}$
- d) $A^{2} - 3 A + 4 I_{2} = O_{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $A^{2} - 4 A + 3 I_{2} = O_{2}$

Cele două numere: $tr (A) = 5 + (- 1) = 4$ și $det A = 5 \cdot (- 1) - (- 2) \cdot 4 = - 5 + 8 = 3$ . Ecuația este $A^{2} - tr (A) A + (det A) I_{2} = O_{2}$ , adică $A^{2} - 4 A + 3 I_{2} = O_{2}$ . Varianta d) inversează rolurile: urma stă la $A$ , determinantul la $I_{2}$ , niciodată invers.
Fie $A \in M_{2} (R)$ cu $tr (A) = 3$ și $det A = 2$ . Cum se scrie $A^{3}$ în funcție de $A$ și $I_{2}$ ?
- a) $A^{3} = 7 A - 6 I_{2}$
- b) $A^{3} = 9 A - 6 I_{2}$
- c) $A^{3} = 3 A - 2 I_{2}$
- d) $A^{3} = 27 A - 8 I_{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $A^{3} = 7 A - 6 I_{2}$

Din ecuație, $A^{2} = 3 A - 2 I_{2}$ . Înmulțim cu $A$ : $A^{3} = 3 A^{2} - 2 A$ , apoi înlocuim din nou $A^{2}$ : $A^{3} = 3 (3 A - 2 I_{2}) - 2 A = 9 A - 6 I_{2} - 2 A = 7 A - 6 I_{2}$ . Control pe $A = (1002)$ , care are urma $3$ și determinantul $2$ : $A^{3} = (1008)$ , exact cât dă $7 A - 6 I_{2}$ . Varianta d) ridică la cub coeficienții, ceea ce nu are nicio justificare.
Fie $A = (25 3 - 2)$ . Cât este $A^{2024}$ ?
- a) $1 9^{1012} A$
- b) $1 9^{2024} I_{2}$
- c) $- 1 9^{1012} I_{2}$
- d) $1 9^{1012} I_{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $1 9^{1012} I_{2}$

$tr (A) = 2 + (- 2) = 0$ și $det A = - 4 - 15 = - 19$ , deci ecuația devine $A^{2} = - (det A) I_{2} = 19 I_{2}$ . Atunci $A^{2024} = (A^{2})^{1012} = 1 9^{1012} I_{2}$ . Varianta a) ar fi răspunsul pentru un exponent impar, iar b) confundă exponentul puterii cu exponentul lui $19$ .

Întrebări conexe

Ce legătură are relația cu ecuația caracteristică?

Ecuația caracteristică a matricei este $λ^{2} - (tr A) λ + det A = 0$ , iar relația se obține punând matricea în locul necunoscutei și numărul liber înmulțit cu $I_{2}$ . Este exact motivul pentru care coeficienții coincid.

Ce se obține dacă înmulțesc relația cu A?

Apare $A^{3} = (tr A) A^{2} - (det A) A$ , iar înlocuind $A^{2}$ din relația inițială, cubul se scrie tot ca o combinație între $A$ și $I_{2}$ . Repetând pasul, orice putere coboară la aceeași formă.

Cum verific relația pe o matrice concretă?

Calculezi $A^{2}$ direct, apoi urma și determinantul, și compari cele două părți element cu element. Pentru $(1324)$ iese $A^{2} = (7151022)$ , iar $5 A + 2 I_{2}$ dă exact același tablou.

Ce formă ia relația pentru o matrice cu determinantul 1?

Devine $A^{2} = (tr A) A - I_{2}$ , iar de aici inversa se citește imediat: $A^{- 1} = (tr A) I_{2} - A$ . Este cazul care apare cel mai des în exerciții, fiindcă scutește complet de calculul adjunctei.

La ce folosește relația în exercițiile cu ecuații matriceale?

Permite înlocuirea puterilor mari cu expresii de gradul întâi în $A$ , deci o ecuație care conține $A^{3}$ sau $A^{4}$ se reduce la una simplă. Astfel, necunoscuta se scoate fără să calculezi nicio putere efectiv.

Ce înseamnă că o matrice de ordinul 2 verifică o ecuație de gradul al doilea?

Că mulțimea puterilor ei nu se împrăștie: începând cu pătratul, fiecare se scrie folosind doar $A$ și $I_{2}$ . De aceea calculele cu puteri mari rămân, în fond, calcule cu două numere.

Oamenii mai întreabă și: relația Hamilton-Cayley la ordinul 2 · urma și determinantul într-o relație · A la pătrat egal cu urma ori A minus determinantul · teorema Hamilton-Cayley matrice 2x2