Care este soluția ecuației $$XA = B$$, unde $$A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$$ și $$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$?

$$\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$$

Se consideră ecuația $$AX + 3X = B$$, cu $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}$$. Care este condiția de rezolvare și ce matrice se inversează?

$$\det\big(A + 3I_2\big) \ne 0$$; se inversează $$A + 3I_2$$

$$\det A \ne 0$$; se inversează $$A$$

$$\det B \ne 0$$; se inversează $$B$$

$$\det(3A) \ne 0$$; se inversează $$3A$$

Cum rezolv o ecuație matriceală?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Ecuații matriceale

Împărțirea la o matrice nu există, așa că se înmulțește cu inversa, de partea potrivită. Din $A X = B$ iese $X = A^{- 1} B$ , iar din $X A = B$ iese $X = B A^{- 1}$ ; cele două rezultate sunt, în general, matrice diferite. Primul pas rămâne mereu verificarea condiției $det A \neq = 0$ . La final, înlocuiești soluția în ecuația de pornire, ca să prinzi o eventuală greșeală de calcul.

Într-o ecuație matriceală necunoscuta este o matrice. Nu există „împărțire cu matrice": simbolul $\frac{B}{A}$ nu are sens, pentru că nu orice matrice pătratică are inversă și pentru că produsul nu e comutativ — nici n-ar fi limpede pe ce parte s-ar face. Toată lecția se sprijină pe o singură idee: înmulțești ambii membri cu $A^{- 1}$ , având grijă de care parte.

Cele trei forme standard, toate cu condiția ca matricele cu care înmulțești să aibă determinantul nenul: $A X = B \Rightarrow X = A^{- 1} B; X A = B \Rightarrow X = B A^{- 1}; A X B = C \Rightarrow X = A^{- 1} C B^{- 1} .$

Regula practică: $A^{- 1}$ se așază lipit de $A$ , ca produsul $A A^{- 1} = I_{n}$ să se simplifice. Aceleași matrice date, aceeași literă $X$ , dar $A^{- 1} B$ și $B A^{- 1}$ sunt de regulă soluții complet diferite — de aceea prima întrebare la orice ecuație este: unde stă necunoscuta, la stânga sau la dreapta?

Enunțurile se aduc la forma standard fără să schimbi vreodată ordinea factorilor: $A X + B = C$ devine $A X = C - B$ , iar $A X + α X$ se scrie $(A + α I_{n}) X$ , deoarece $α X = α I_{n} X$ . Atenție, condiția devine atunci $det (A + α I_{n}) \neq = 0$ , nu $det A \neq = 0$ .

Când $det A \neq = 0$ , soluția există și este unică. Când $det A = 0$ , nu se garantează nimic: ecuația poate să nu aibă nicio soluție sau să aibă o infinitate — se cercetează caz cu caz, notând elementele lui $X$ cu litere. Verifică întotdeauna soluția în ecuația inițială, nu în cea transformată.

De reținut

$A X = B \Rightarrow X = A^{- 1} B$ ; $X A = B \Rightarrow X = B A^{- 1}$
Se înmulțește de aceeași parte în ambii membri; ordinea nu se schimbă
$det A = 0$ : nu există inversă — se trece la scrierea pe elemente

Greșeala tipică

Se scrie soluția ca $X = B A^{- 1}$ pentru o ecuație de forma $A X = B$ . Partea cu care se înmulțește trebuie aleasă astfel încât inversa să ajungă lipită de $A$ , altfel produsul nu se simplifică.

Exerciții din această mini-lecție

Care este soluția ecuației $X A = B$ , unde $A = (3423)$ și $B = (1201)$ ?
- a) $(32 - 2 - 1)$
- b) $(- 1 2 - 2 3)$
- c) $(3221)$
- d) $(- 3 - 2 21)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(32 - 2 - 1)$

$det A = 9 - 8 = 1$ , deci $A^{- 1} = (3 - 4 - 2 3)$ . Necunoscuta stă la stânga lui $A$ , deci înmulțim la dreapta: $X = B A^{- 1} = (32 - 2 - 1)$ . Varianta b) este $A^{- 1} B$ , adică rezultatul obținut înmulțind din partea greșită — soluția ecuației $A X = B$ , nu a celei date.
Se consideră ecuația $A X + 3 X = B$ , cu $A = (1420)$ . Care este condiția de rezolvare și ce matrice se inversează?
- a) $det A \neq = 0$ ; se inversează $A$
- b) $det B \neq = 0$ ; se inversează $B$
- c) $det (A + 3 I_{2}) \neq = 0$ ; se inversează $A + 3 I_{2}$
- d) $det (3 A) \neq = 0$ ; se inversează $3 A$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $det (A + 3 I_{2}) \neq = 0$ ; se inversează $A + 3 I_{2}$

Scoatem factor comun pe $X$ , ținând seama de poziție: $A X + 3 X = A X + 3 I_{2} X = (A + 3 I_{2}) X$ . Ecuația devine $(A + 3 I_{2}) X = B$ , deci se inversează $A + 3 I_{2} = (4423)$ , cu determinantul $4 \neq = 0$ . Faptul că $det A = - 8 \neq = 0$ nu ajută cu nimic: se poate întâmpla ca $A$ să fie inversabilă, iar $A + 3 I_{2}$ să nu fie, sau invers.
Se consideră $A = (24510)$ . Care afirmație despre ecuația $A X = I_{2}$ este adevărată?
- a) are soluție unică
- b) nu are nicio soluție
- c) are exact două soluții
- d) are o infinitate de soluții
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) nu are nicio soluție

$det A = 20 - 20 = 0$ . Dacă ar exista $X$ cu $A X = I_{2}$ , luând determinantul am obține $det A \cdot det X = det I_{2} = 1$ , adică $0 = 1$ — imposibil. Se vede și direct: în produsul $A X$ linia a doua este întotdeauna dublul primei, ceea ce în $I_{2}$ nu se întâmplă. Atenție însă: determinantul nul nu înseamnă automat „fără soluții” — ecuația $A X = A$ , cu aceeași matrice, are o infinitate.

Întrebări conexe

Cum rezolv ecuația A ori X ori B egal C?

Înmulțești la stânga cu $A^{- 1}$ și la dreapta cu $B^{- 1}$ , fiecare de partea ei. Rezultatul este $X = A^{- 1} C B^{- 1}$ , iar condiția de existență cere ca amândoi determinanții să fie nenuli. Ordinea celor două înmulțiri nu contează.

Ce ordin are necunoscuta X într-o ecuație matriceală?

Ordinul se citește din condiția ca produsele să aibă sens. Dacă $A$ este de ordin $3$ și $B$ este de tip $3 \times 2$ , atunci în $A X = B$ necunoscuta trebuie să fie de tip $3 \times 2$ , nu pătratică.

Cum verific soluția unei ecuații matriceale?

O înlocuiești în ecuație și faci produsele efectiv. Egalitatea trebuie să iasă element cu element; o singură poziție nepotrivită arată o greșeală, fie la inversă, fie la ordinea în care ai înmulțit.

Cum rezolv o ecuație cu necunoscuta scrisă pe elemente?

Pui $X = (a c b d)$ , faci produsele și identifici pozițiile. Se obține un sistem liniar cu patru necunoscute, potrivit mai ales când matricea coeficienților nu este inversabilă și inversa nu poate fi folosită.

Ce fac dacă ecuația conține și X, și transpusa lui?

Metoda inversei nu se mai aplică, fiindcă cele două apariții nu se pot strânge. Se trece la scrierea pe elemente, se transpune tabloul și se identifică, iar sistemul obținut se rezolvă obișnuit.

Cum arăt că o ecuație matriceală nu are soluție?

Cauți o mărime care se păstrează și duce la o contradicție, de pildă determinantul sau urma. Dacă $det A = 0$ , iar $det B \neq = 0$ , atunci $A X = B$ nu poate avea soluție, fiindcă partea stângă are întotdeauna determinantul zero.

Oamenii mai întreabă și: cum rezolv AX egal B · ecuații cu matrice necunoscută · de ce nu se împarte la o matrice · ecuație matriceală cu inversa