Care este mulțimea completă a soluțiilor ecuației $$\sin x=\dfrac12$$?

$$x=(-1)^k\dfrac{\pi}{6}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$$

$$x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$$

$$x=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$$

$$x=\pm\dfrac{\pi}{6}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$$

Care este mulțimea completă a soluțiilor ecuației $$\cos x=-\dfrac12$$?

$$x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$$

$$x=(-1)^k\dfrac{2\pi}{3}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$$

$$x=-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$$

$$x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$$

Cum rezolv ecuația sinus de x egal a?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Ecuații trigonometrice elementare

Verifici întâi că numărul din dreapta se află între $- 1$ și $1$ , altfel nu există soluții. Apoi scrii toate soluțiile cu un parametru întreg: una dintre familii pornește de la arcsinusul valorii, iar cealaltă de la diferența dintre $π$ și acel unghi, ambele cu pasul $2 π$ . Forma compactă strânge cele două familii într-una singură.

O ecuație trigonometrică are, de regulă, o infinitate de soluții, pentru că funcțiile trigonometrice sunt periodice. „A rezolva" înseamnă a descrie întreaga mulțime a soluțiilor, cu un parametru întreg $k \in Z$ . Pentru $sin x = a$ , condiția de existență este $a \in [- 1, 1]$ , iar mulțimea soluțiilor este $S = {(- 1)^{k} arcsin a + k π ∣ k \in Z}$ , echivalent ${arcsin a + 2 k π} \cup {π - arcsin a + 2 k π}$ . Pentru $cos x = a$ , aceeași condiție $a \in [- 1, 1]$ , dar soluțiile sunt $x = \pm arccos a + 2 k π$ — contrastul esențial: la sinus a doua familie e $π - α$ (simetrie față de axa verticală), la cosinus e $- β$ (simetrie față de axa orizontală). Pentru $tg x = a$ și $ctg x = a$ nu există restricție asupra lui $a$ (tangenta și cotangenta iau toate valorile reale), iar soluțiile formează o singură familie, cu pasul $π$ : $x = arctg a + k π$ , respectiv $x = arcctg a + k π$ , cu condițiile de existență obișnuite asupra lui $x$ . Cazurile particulare $sin x = \pm 1$ și $cos x = \pm 1$ colapsează la o singură familie, deoarece dreapta corespunzătoare e tangentă la cerc. La argument compus $n x + b$ , se rezolvă ecuația elementară în $u = n x + b$ , apoi se împarte tot membrul drept la $n$ , inclusiv termenul cu $k$ .

De reținut

$sin x = a$ cere $a \in [- 1, 1]$ ; soluții: $(- 1)^{k} arcsin a + k π$
$cos x = a$ cere $a \in [- 1, 1]$ ; soluții: $\pm arccos a + 2 k π$
$tg x = a$ nu cere nicio condiție; soluții: $arctg a + k π$

Greșeala tipică

Se scrie o singură familie de soluții și jumătate dintre ele se pierd; la sinus și la cosinus mulțimea soluțiilor are două ramuri, în afară de cazurile cu valoarea extremă.

Exerciții din această mini-lecție

Care este mulțimea completă a soluțiilor ecuației $sin x = \frac{1}{2}$ ?
- a) $x = \frac{π}{6} + k π, k \in Z$
- b) $x = (- 1)^{k} \frac{π}{6} + k π, k \in Z$
- c) $x = \frac{π}{6} + 2 k π, k \in Z$
- d) $x = \pm \frac{π}{6} + 2 k π, k \in Z$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $x = (- 1)^{k} \frac{π}{6} + k π, k \in Z$

$\frac{1}{2} \in [- 1, 1]$ ✓ și $arcsin \frac{1}{2} = \frac{π}{6}$ , deci $S = {(- 1)^{k} \frac{π}{6} + k π ∣ k \in Z}$ , echivalent ${\frac{π}{6} + 2 k π} \cup {\frac{5 π}{6} + 2 k π}$ . Varianta c) reține o singură familie (jumătate din soluții); varianta d) este formula (greșită aici) specifică ecuației $cos x = a$ .
Care este mulțimea completă a soluțiilor ecuației $cos x = - \frac{1}{2}$ ?
- a) $x = \pm \frac{2 π}{3} + 2 k π, k \in Z$
- b) $x = (- 1)^{k} \frac{2 π}{3} + k π, k \in Z$
- c) $x = - \frac{π}{3} + 2 k π, k \in Z$
- d) $x = \frac{π}{3} + k π, k \in Z$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $x = \pm \frac{2 π}{3} + 2 k π, k \in Z$

$arccos (- \frac{1}{2}) = π - arccos \frac{1}{2} = \frac{2 π}{3}$ , iar formula pentru $cos x = a$ este $x = \pm arccos a + 2 k π$ . Deci $S = {\pm \frac{2 π}{3} + 2 k π ∣ k \in Z}$ . Varianta b) folosește (greșit) forma compactă a ecuației cu sinus; varianta c) aplică incorect imparitatea, care nu există la $arccos$ .
Câte soluții reale are ecuația $cos x = \frac{3}{2}$ ?
- a) O infinitate
- b) Exact două
- c) Nicio soluție
- d) Exact o soluție
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) Nicio soluție

Imaginea funcției cosinus este $[- 1, 1]$ , iar $\frac{3}{2} > 1$ , deci nu există niciun $x$ real cu $cos x = \frac{3}{2}$ . Condiția de existență $a \in [- 1, 1]$ trebuie verificată înaintea oricărui calcul: mulțimea soluțiilor este $S = \emptyset$ .

Întrebări conexe

Cum rezolv ecuația cosinus de x egal a?

Verifici că valoarea se află între $- 1$ și $1$ , apoi scrii soluțiile ca arccosinusul ei luat cu plus sau minus, la care adaugi ture complete. Spre deosebire de sinus, aici a doua familie vine din opusul unghiului, nu din diferența față de $π$ .

Cum rezolv ecuația tangentă de x egal a?

Nu pui nicio condiție asupra numărului din dreapta, fiindcă tangenta ia toate valorile reale. Soluțiile formează o singură familie: arctangenta valorii plus multipli întregi ai lui $π$ . Rămâne doar condiția ca argumentul să nu cadă unde tangenta nu există.

Ce înseamnă k din formula soluțiilor unei ecuații trigonometrice?

Este un număr întreg oarecare, care numără turele sau jumătățile de tură adăugate. Fiecare valoare a lui dă o altă soluție, iar toate împreună formează mulțimea completă. Fără el ai scrie doar una dintre soluții, nu pe toate.

Ce soluții are ecuația sinus de x egal o jumătate?

Unghiurile de bază sunt $\frac{π}{6}$ și $\frac{5 π}{6}$ , iar la fiecare se adaugă ture complete. Scris compact, rezultatul este $\frac{π}{6}$ înmulțit cu minus unu la puterea parametrului, plus parametrul înmulțit cu $π$ .

Când nu are soluții ecuația cosinus de x egal a?

Când numărul din dreapta iese din intervalul de la minus unu la unu, fiindcă acolo nu ajung valorile cosinusului. Pentru $\frac{3}{2}$ , de exemplu, mulțimea soluțiilor este vidă. Verificarea se face înainte de orice calcul.

Oamenii mai întreabă și: ecuația sin x = a · cum rezolv sin x egal a · ecuații trigonometrice elementare · soluțiile ecuației cu sinus