Ecuații trigonometrice elementare

Într-un port, adâncimea apei se schimbă ritmic cu mareea și poate fi descrisă printr-o formulă de tipul $h(t)=6+5\sin \frac{\pi t}{6}$, unde $t$ este ora, iar $h$ adâncimea în metri. Un vas cu pescaj mare poate intra doar când adâncimea depășește $8,5$ m. Întrebarea căpitanului este simplă: la ce ore? Iar răspunsul cere rezolvarea ecuației $\sin \frac{\pi t}{6}=\frac{1}{2}$.

Aici se schimbă complet regulile jocului față de ecuațiile algebrice. O ecuație de gradul al doilea are cel mult două soluții; o ecuație trigonometrică are, de regulă, o infinitate — pentru că funcțiile trigonometrice sunt periodice și trec de nenumărate ori prin aceeași valoare. Prin urmare, „a rezolva" nu mai înseamnă a găsi un număr, ci a descrie întreaga mulțime a soluțiilor, printr-o formulă cu un parametru întreg $k$. În lecția aceasta învățăm exact cele patru ecuații de bază — $\sin x=a$, $\cos x=a$, $\mathrm{tg}x=a$, $\mathrm{ctg}x=a$ — la care se reduce, prin transformări, orice altă ecuație trigonometrică.

Ce vei învăța

• Vei ști să scrii mulțimea completă a soluțiilor pentru fiecare dintre cele patru ecuații elementare, folosind funcțiile trigonometrice inverse.
• Vei ști să demonstrezi formulele de rezolvare pe cercul trigonometric, nu doar să le memorezi.
• Vei ști să decizi rapid când o ecuație nu are soluții și de ce $\mathrm{tg}x=5$ are soluții, dar $\sin x=5$ nu.
• Vei ști pe de rost cazurile particulare ($a=0$, $a=\pm 1$ și valorile remarcabile) și le vei scrie în forma cea mai simplă.
• Vei ști să rezolvi ecuații cu argument compus, de tipul $\sin (2x)=a$ sau $\mathrm{tg}\left(x-\frac{\pi }{4}\right)=a$.
• Vei ști să selectezi soluțiile dintr-un interval dat, cerință standard la Bacalaureat.

Hai să descoperim împreună

1. De ce soluțiile sunt infinite

Privește graficele funcțiilor sinus și cosinus și trasează dreapta orizontală $y=\frac{1}{2}$. Ea taie sinusoida într-o infinitate de puncte, distribuite în două „serii" care se repetă din $2\pi$ în $2\pi$. Fiecare punct de intersecție e o soluție a ecuației $\sin x=\frac{1}{2}$.

Explicația e periodicitatea: dacă $x_0$ este o soluție, atunci și $x_0+2\pi$, $x_0+4\pi$, $x_0-2\pi$ sunt soluții, fiindcă $\sin (x_0+2k\pi )=\sin x_0$. De aceea rezolvarea unei ecuații trigonometrice are întotdeauna doi pași:

1. găsești soluțiile dintr-o singură perioadă (cu ajutorul funcțiilor inverse);
2. adaugi periodicitatea, prin termenul $2k\pi$ (la sinus și cosinus) sau $k\pi$ (la tangentă și cotangentă), cu $k\in \mathbb{Z}$.

Rezultatul se scrie ca mulțime, iar litera $k$ parcurge toate numerele întregi — pozitive, negative și zero.

2. Ecuația $\sin x=a$

Condiția de existență. Cum imaginea funcției sinus este $[-1,1]$, ecuația are soluții dacă și numai dacă $a\in [-1,1]$. Pentru $|a|>1$ mulțimea soluțiilor este $\varnothing$ — și acesta e primul lucru de verificat, înainte de orice calcul.

Teoremă. Pentru $a\in [-1,1]$, mulțimea soluțiilor ecuației $\sin x=a$ este

$$S=\{\arcsin a+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}\cup \{\pi -\arcsin a+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\},$$

sau, în formă compactă,

$$S=\left\{(-1{)}^k\arcsin a+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}.$$

Demonstrație. Notăm $\alpha =\arcsin a$, deci $\sin \alpha =a$ și $\alpha \in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$. Pe cercul trigonometric, soluțiile ecuației $\sin x=a$ sunt numerele asociate punctelor de ordonată $a$. Dreapta orizontală de ecuație $y=a$ taie cercul în cel mult două puncte, simetrice față de axa $Oy$. Numerele din $[0,2\pi )$ asociate acestor două puncte sunt exact $\alpha$ (sau $\alpha +2\pi$, dacă $\alpha <0$) și $\pi -\alpha$, deoarece $\sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha =a$. Adăugând perioada $2\pi$, obținem cele două familii din enunț.

Rămâne să arătăm că forma compactă descrie aceeași mulțime. Separăm după paritatea lui $k$:

• $k=2m$ par: $(-1{)}^{2m}\alpha +2m\pi =\alpha +2m\pi$ — exact prima familie;
• $k=2m+1$ impar: $(-1{)}^{2m+1}\alpha +(2m+1)\pi =-\alpha +\pi +2m\pi =(\pi -\alpha )+2m\pi$ — exact a doua familie.

Reciproc, orice element al celor două familii se obține alegând $k$ par, respectiv impar. Cele două scrieri sunt deci echivalente. $■$

Ambele forme sunt corecte și acceptate la examen. Forma cu două familii e mai transparentă și mai ușor de folosit când selectezi soluții dintr-un interval; forma compactă e mai scurtă. Alege-o pe cea care te ajută, dar scrie-o până la capăt — o familie uitată înseamnă jumătate de punctaj pierdut.

3. Ecuația $\cos x=a$

Condiția de existență este aceeași: $a\in [-1,1]$, altfel $S=\varnothing$.

Teoremă. Pentru $a\in [-1,1]$:

$$\cos x=a⟺x=\pm \arccos a+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$$

Demonstrație. Fie $\beta =\arccos a$, deci $\cos \beta =a$ și $\beta \in [0,\pi ]$. Soluțiile sunt numerele asociate punctelor de abscisă $a$ de pe cerc; dreapta verticală $x=a$ taie cercul în două puncte simetrice față de axa $Ox$. Numerele asociate lor sunt $\beta$ și $-\beta$, fiindcă $\cos (-\beta )=\cos \beta =a$. Adăugând perioada $2\pi$ obținem formula. $■$

Compară cele două teoreme și reține contrastul esențial:

• la sinus, punctele-soluție sunt simetrice față de axa verticală, deci a doua soluție e $\pi -\alpha$;
• la cosinus, punctele-soluție sunt simetrice față de axa orizontală, deci a doua soluție e $-\beta$.

Confuzia dintre ele e cea mai frecventă eroare din tot capitolul. Ține minte imaginea, nu formula.

4. Ecuațiile $\mathrm{tg}x=a$ și $\mathrm{ctg}x=a$

Aici situația e mai simplă într-o privință și mai complicată în alta. Mai simplă: nu există condiție asupra lui $a$ — tangenta și cotangenta iau toate valorile reale, deci ecuațiile au soluții pentru orice $a\in \mathbb{R}$. Mai complicată: trebuie impuse condiții de existență asupra lui $x$, pentru că funcțiile nu sunt definite peste tot.

Teoremă. Pentru orice $a\in \mathbb{R}$, în domeniul $x\ne \frac{\pi }{2}+m\pi$:

$$\mathrm{tg}x=a⟺x=\mathrm{arctg}a+k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$$

Demonstrație. Fie $\alpha =\mathrm{arctg}a\in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$, deci $\mathrm{tg}\alpha =a$. Ecuația devine $\mathrm{tg}x=\mathrm{tg}\alpha$, adică

$$\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }⟺\sin x\cos \alpha -\cos x\sin \alpha =0⟺\sin (x-\alpha )=0,$$

unde am folosit formula sinusului diferenței și faptul că $\cos x\ne 0$, $\cos \alpha \ne 0$. Dar $\sin t=0$ exact pentru $t=k\pi$, deci $x-\alpha =k\pi$, adică $x=\alpha +k\pi$. Toate aceste valori respectă și condiția de existență, fiindcă $\alpha +k\pi$ nu poate fi de forma $\frac{\pi }{2}+m\pi$ (ar rezulta $\alpha =\frac{\pi }{2}+(m-k)\pi$, imposibil pentru $\alpha$ în intervalul deschis). $■$

Analog, în domeniul $x\ne m\pi$:

$$\mathrm{ctg}x=a⟺x=\mathrm{arcctg}a+k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$$

Observă economia: o singură familie de soluții, cu pasul $\pi$ în loc de $2\pi$ — consecință directă a faptului că perioada tangentei și a cotangentei este $\pi$, nu $2\pi$.

5. Cazurile particulare, scrise cât mai simplu

Formulele generale funcționează întotdeauna, dar pentru valorile speciale ale lui $a$ ele se simplifică — iar la examen se așteaptă forma simplificată. Iată tabelul complet:

De ce se „colapsează" cele două familii într-una singură la $\sin x=\pm 1$ și $\cos x=\pm 1$? Pentru că dreapta $y=1$ este tangentă la cerc: nu-l taie în două puncte, ci îl atinge într-unul singur. Verifică pe formula generală: pentru $\sin x=1$ avem $\arcsin 1=\frac{\pi }{2}$, iar $(-1{)}^k\frac{\pi }{2}+k\pi$ dă pentru $k=0$ valoarea $\frac{\pi }{2}$ și pentru $k=1$ tot $\frac{\pi }{2}$ (căci $-\frac{\pi }{2}+\pi =\frac{\pi }{2}$) — familia se repetă, iar mulțimea este $\left\{\frac{\pi }{2}+2m\pi \right\}$.

Pentru valorile remarcabile, folosești tabelul funcțiilor inverse din lecțiile precedente:

Pentru valori negative folosești proprietățile de simetrie: $\arcsin \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{\pi }{6}$ (imparitate), iar $\arccos \left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{2\pi }{3}$ (relația $\arccos (-a)=\pi -\arccos a$). Aici se produc multe greșeli — recitește, dacă e nevoie, lecția despre funcțiile arcsinus și arccosinus.

6. Când $a$ nu e o valoare remarcabilă

Ce faci la $\sin x=\frac{1}{3}$? Exact același lucru — doar că răspunsul rămâne scris cu $\arcsin$:

$$S=\left\{(-1{)}^k\arcsin \frac{1}{3}+k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}.$$

Aceasta este forma finală a răspunsului, nu o etapă intermediară. Exact ca la ecuația $x^2=7$, unde răspunsul este $x=\pm \sqrt{7}$ și nimeni nu se așteaptă la o valoare zecimală. Funcțiile trigonometrice inverse au fost introduse tocmai pentru a da un nume exact acestor soluții — fără ele, ecuația $\sin x=\frac{1}{3}$ pur și simplu nu ar putea fi rezolvată în scris.

7. Argument compus: metoda substituției

Ce faci la $\sin 2x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ sau la $\mathrm{tg}\left(x-\frac{\pi }{4}\right)=1$? Tratezi întreaga expresie din paranteză ca pe o singură necunoscută, rezolvi ecuația elementară, apoi revii.

Exemplu. Pentru $\sin 2x=\frac{\sqrt{2}}{2}$, notăm $u=2x$. Ecuația $\sin u=\frac{\sqrt{2}}{2}$ dă $u=(-1{)}^k\frac{\pi }{4}+k\pi$. Revenim: $2x=(-1{)}^k\frac{\pi }{4}+k\pi$, deci

$$x=(-1{)}^k\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}.$$

Atenție la pasul final: se împarte la $2$ tot membrul drept, inclusiv termenul cu $k$. Eroarea clasică este să se scrie $x=(-1{)}^k\frac{\pi }{8}+k\pi$, ceea ce pierde jumătate din soluții. Verifică întotdeauna cu un exemplu concret: pentru $k=1$, formula corectă dă $x=-\frac{\pi }{8}+\frac{\pi }{2}=\frac{3\pi }{8}$, iar $\sin \frac{3\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ✓.

Regula de bun-simț: dacă argumentul e $nx$, perioada soluțiilor se împarte la $n$ — ecuația are de $n$ ori mai multe soluții pe fiecare interval de lungime $2\pi$.

8. Selectarea soluțiilor dintr-un interval

Cerința tipică de Bacalaureat sună așa: „Rezolvați ecuația … , unde $x\in [0,2\pi ]$." Procedura, în trei pași:

1. Rezolvi complet ecuația și scrii mulțimea generală a soluțiilor.
2. Pentru fiecare familie, impui condiția ca soluția să fie în intervalul dat și rezolvi inecuația în $k$.
3. Înlocuiești valorile întregi găsite pentru $k$ și scrii soluțiile concrete.

Exemplu. Rezolvăm $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ pe $[0,2\pi ]$. Soluțiile generale: $x=\frac{\pi }{3}+2k\pi$ sau $x=\frac{2\pi }{3}+2k\pi$.

Prima familie: $0\le \frac{\pi }{3}+2k\pi \le 2\pi$ dă $-\frac{1}{6}\le k\le \frac{5}{6}$, deci $k=0$ și $x=\frac{\pi }{3}$.

A doua familie: $0\le \frac{2\pi }{3}+2k\pi \le 2\pi$ dă $-\frac{1}{3}\le k\le \frac{2}{3}$, deci $k=0$ și $x=\frac{2\pi }{3}$.

Așadar $S=\left\{\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3}\right\}$. Un control vizual rapid pe cercul trigonometric confirmă: dreapta $y=\frac{\sqrt{3}}{2}$ taie cercul în două puncte, ambele în semicercul superior.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Ecuația $\sin x=\frac{1}{2}$, în ambele scrieri

Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $\sin x=\frac{1}{2}$.

Rezolvare. Verificăm întâi condiția: $\frac{1}{2}\in [-1,1]$ ✓. Cum $\arcsin \frac{1}{2}=\frac{\pi }{6}$, mulțimea soluțiilor este

$$S=\left\{\frac{\pi }{6}+2k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}\cup \left\{\frac{5\pi }{6}+2k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}=\left\{(-1{)}^k\frac{\pi }{6}+k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}.$$

Verificare pe câteva valori: $k=0$ dă $\frac{\pi }{6}$, cu $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$ ✓; $k=1$ dă $-\frac{\pi }{6}+\pi =\frac{5\pi }{6}$, cu $\sin \frac{5\pi }{6}=\frac{1}{2}$ ✓; $k=2$ dă $\frac{\pi }{6}+2\pi =\frac{13\pi }{6}$ ✓. $■$

Exemplul 2 — Cosinus cu valoare negativă

Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Rezolvare. Condiția e îndeplinită. Calculăm $\arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\pi -\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}=\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$. Deci

$$S=\left\{\pm \frac{3\pi }{4}+2k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}.$$

Verificare: $\cos \frac{3\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ✓ și $\cos \left(-\frac{3\pi }{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ✓. Observă că $-\frac{3\pi }{4}+2\pi =\frac{5\pi }{4}$, cealaltă soluție „vizibilă" din prima tură. $■$

Exemplul 3 — Tangentă negativă

Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $\mathrm{tg}x=-1$.

Rezolvare. Condiția de existență: $x\ne \frac{\pi }{2}+m\pi$. Nu există restricție asupra membrului drept. Cum $\mathrm{arctg}(-1)=-\frac{\pi }{4}$ (imparitatea arctangentei),

$$S=\left\{-\frac{\pi }{4}+k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}.$$

Se poate scrie echivalent $\frac{3\pi }{4}+k\pi$, luând $k$ deplasat cu o unitate. O singură familie, cu pasul $\pi$ — semnătura tangentei. $■$

Exemplul 4 — Cotangentă cu argument compus

Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $\mathrm{ctg}2x=-\sqrt{3}$.

Rezolvare. Condiția de existență: $2x\ne m\pi$, adică $x\ne \frac{m\pi }{2}$.

Notăm $u=2x$. Din $\mathrm{arcctg}(-\sqrt{3})=\pi -\mathrm{arcctg}\sqrt{3}=\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$, obținem $u=\frac{5\pi }{6}+k\pi$, deci

$$2x=\frac{5\pi }{6}+k\pi \Rightarrow x=\frac{5\pi }{12}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}.$$

Verificare pentru $k=0$: $x=\frac{5\pi }{12}$, iar $\mathrm{ctg}\frac{5\pi }{6}=-\sqrt{3}$ ✓. Toate soluțiile respectă condiția de existență, fiindcă $\frac{5\pi }{12}+\frac{k\pi }{2}$ nu este niciodată multiplu de $\frac{\pi }{2}$. $■$

Exemplul 5 — Argument translatat

Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Rezolvare. Notăm $u=x+\frac{\pi }{6}$. Cum $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{3}$:

$$u=(-1{)}^k\frac{\pi }{3}+k\pi \Rightarrow x=(-1{)}^k\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$$

De data aceasta nu se împarte nimic: coeficientul lui $x$ este $1$, deci se scade doar constanta.

Verificare: $k=0$ dă $x=\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{6}$, iar $\sin \left(\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{6}\right)=\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ✓. Pentru $k=1$: $x=-\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{6}+\pi =\frac{\pi }{2}$, iar $\sin \left(\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{6}\right)=\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ✓. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Rezolvați ecuația $\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$, unde $x\in [0,\pi ]$.

Rezolvare. Pasul 1 — soluțiile generale. Cu $u=2x-\frac{\pi }{3}$ și $\arccos \frac{1}{2}=\frac{\pi }{3}$:

$$2x-\frac{\pi }{3}=\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi \Rightarrow 2x=\frac{\pi }{3}\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi .$$

Semnul plus dă $2x=\frac{2\pi }{3}+2k\pi$, deci $x=\frac{\pi }{3}+k\pi$. Semnul minus dă $2x=2k\pi$, deci $x=k\pi$.

Pasul 2 — selecția. Din prima familie, $0\le \frac{\pi }{3}+k\pi \le \pi$ dă $-\frac{1}{3}\le k\le \frac{2}{3}$, deci $k=0$ și $x=\frac{\pi }{3}$. Din a doua, $0\le k\pi \le \pi$ dă $k\in \{0,1\}$, deci $x=0$ și $x=\pi$.

Pasul 3 — răspunsul. $S=\left\{0,\frac{\pi }{3},\pi \right\}$.

Verificare, obligatorie la examen: $\cos \left(-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$ ✓; $\cos \left(\frac{2\pi }{3}-\frac{\pi }{3}\right)=\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ ✓; $\cos \left(2\pi -\frac{\pi }{3}\right)=\cos \frac{5\pi }{3}=\frac{1}{2}$ ✓. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare ecuație, scrie întâi condiția de existență (asupra lui $a$ la sinus și cosinus, asupra lui $x$ la tangentă și cotangentă), apoi mulțimea completă a soluțiilor, cu $k\in \mathbb{Z}$.

1. Rezolvă în $\mathbb{R}$: $\sin x=\frac{1}{2}$.

2. Rezolvă în $\mathbb{R}$: $\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

3. Rezolvă în $\mathbb{R}$: $\mathrm{tg}x=\sqrt{3}$.

4. Rezolvă în $\mathbb{R}$: $\mathrm{ctg}x=1$.

5. Rezolvă în $\mathbb{R}$: $\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

6. Rezolvă în $\mathbb{R}$: $\cos x=-\frac{1}{2}$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Ecuația $\cos x=\frac{3}{2}$ nu are soluții, dar ecuația $\mathrm{tg}x=\frac{3}{2}$ are o infinitate."

8. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuațiile $\cos x=0$ și $\sin x=-1$, scriind răspunsul în forma cea mai simplă.

9. Rezolvă în $\mathbb{R}$: $\sin 2x=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

10. Rezolvă în $\mathbb{R}$: $\mathrm{tg}\left(x-\frac{\pi }{4}\right)=1$.

11. Rezolvă în $\mathbb{R}$: $2\sin x+1=0$.

12. Rezolvă în $\mathbb{R}$: $\sqrt{3}\mathrm{tg}x-1=0$.

13. Rezolvă ecuația $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$, unde $x\in [0,2\pi ]$.

14. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuațiile $\sin x=\frac{1}{3}$ și $\cos x=-\frac{1}{3}$, lăsând răspunsul în formă exactă.

15. Rezolvă în $\mathbb{R}$: $\mathrm{tg}3x=\sqrt{3}$.

16. (Problemă aplicată.) Adâncimea apei într-un port, în metri, la ora $t$, este $h(t)=6+5\sin \frac{\pi t}{6}$. La ce ore din primele $12$ adâncimea este exact $8,5$ m?

17. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Rezolvați ecuația $\cos 2x=\frac{1}{2}$, unde $x\in [0,\pi ]$.

18. (Provocare.) Rezolvați ecuația $\sin 3x=\frac{1}{2}$, unde $x\in [0,\pi ]$. Câte soluții are și de ce era de așteptat acest număr?

Răspunsuri și explicații

1. $\frac{1}{2}\in [-1,1]$ ✓ și $\arcsin \frac{1}{2}=\frac{\pi }{6}$, deci $S=\left\{(-1{)}^k\frac{\pi }{6}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$, adică $\left\{\frac{\pi }{6}+2k\pi \right\}\cup \left\{\frac{5\pi }{6}+2k\pi \right\}$.

2. $\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi }{4}$, deci $S=\left\{\pm \frac{\pi }{4}+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$. Verificare: $\cos \frac{\pi }{4}=\cos \left(-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ✓.

3. Condiția: $x\ne \frac{\pi }{2}+m\pi$. Cum $\mathrm{arctg}\sqrt{3}=\frac{\pi }{3}$, avem $S=\left\{\frac{\pi }{3}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$. O singură familie, pas $\pi$.

4. Condiția: $x\ne m\pi$. Cum $\mathrm{arcctg}1=\frac{\pi }{4}$, avem $S=\left\{\frac{\pi }{4}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

5. $\arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\frac{\pi }{3}$ (imparitate), deci $S=\left\{(-1{)}^k\left(-\frac{\pi }{3}\right)+k\pi \right\}=\left\{(-1{)}^{k+1}\frac{\pi }{3}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$. Echivalent: $\left\{-\frac{\pi }{3}+2k\pi \right\}\cup \left\{\frac{4\pi }{3}+2k\pi \right\}$ — cele două puncte din semicercul inferior.

6. $\arccos \left(-\frac{1}{2}\right)=\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$, deci $S=\left\{\pm \frac{2\pi }{3}+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$. Nu se scrie $-\frac{\pi }{3}$: arccosinusul nu e impar.

7. Adevărat, ambele afirmații. Prima: imaginea cosinusului este $[-1,1]$, iar $\frac{3}{2}>1$, deci nu există niciun $x$ cu $\cos x=\frac{3}{2}$; mulțimea soluțiilor e $\varnothing$. A doua: imaginea tangentei este tot $\mathbb{R}$, deci ecuația are soluții pentru orice valoare a membrului drept, iar acestea sunt $x=\mathrm{arctg}\frac{3}{2}+k\pi$ — o infinitate. Contrastul provine din faptul că sinusul și cosinusul sunt mărginite, iar tangenta nu.

8. $\cos x=0⟺x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ (punctele de pe axa verticală, la fiecare jumătate de tură). $\sin x=-1⟺x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi$; aici cele două familii coincid, pentru că dreapta $y=-1$ este tangentă la cerc, deci există un singur punct-soluție pe fiecare tură.

9. Cu $u=2x$: $\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi }{4}$, deci $2x=(-1{)}^k\frac{\pi }{4}+k\pi$ și

$$S=\left\{(-1{)}^k\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2}|k\in \mathbb{Z}\right\}.$$

Se împarte tot membrul drept la $2$. Verificare, $k=1$: $x=-\frac{\pi }{8}+\frac{\pi }{2}=\frac{3\pi }{8}$, iar $\sin \frac{3\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ✓.

10. Condiția: $x-\frac{\pi }{4}\ne \frac{\pi }{2}+m\pi$, adică $x\ne \frac{3\pi }{4}+m\pi$. Din $\mathrm{arctg}1=\frac{\pi }{4}$: $x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+k\pi$, deci $S=\left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$. Verificare: $\mathrm{tg}\left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4}\right)=\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}=1$ ✓.

11. Izolăm: $\sin x=-\frac{1}{2}$. Cum $\arcsin \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{\pi }{6}$, obținem $S=\left\{(-1{)}^{k+1}\frac{\pi }{6}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$, adică $\left\{-\frac{\pi }{6}+2k\pi \right\}\cup \left\{\frac{7\pi }{6}+2k\pi \right\}$.

12. Izolăm: $\mathrm{tg}x=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Condiția: $x\ne \frac{\pi }{2}+m\pi$. Cum $\mathrm{arctg}\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\pi }{6}$, avem $S=\left\{\frac{\pi }{6}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

13. Soluțiile generale: $x=\frac{\pi }{3}+2k\pi$ sau $x=\frac{2\pi }{3}+2k\pi$. Impunând $x\in [0,2\pi ]$, în ambele familii rămâne doar $k=0$. Deci $S=\left\{\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3}\right\}$ — două soluții, exact cele două intersecții ale dreptei $y=\frac{\sqrt{3}}{2}$ cu cercul.

14. $S_1=\left\{(-1{)}^k\arcsin \frac{1}{3}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$ și $S_2=\left\{\pm \arccos \left(-\frac{1}{3}\right)+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$. Acestea sunt răspunsurile finale: $\frac{1}{3}$ nu e o valoare remarcabilă, deci soluțiile se exprimă prin funcțiile inverse, la fel cum soluția ecuației $x^2=7$ se exprimă prin radical. (Orientativ, $\arcsin \frac{1}{3}\approx 0,3398$ și $\arccos \left(-\frac{1}{3}\right)\approx 1,9106$.)

15. Condiția: $3x\ne \frac{\pi }{2}+m\pi$, adică $x\ne \frac{\pi }{6}+\frac{m\pi }{3}$. Cu $u=3x$: $3x=\frac{\pi }{3}+k\pi$, deci

$$S=\left\{\frac{\pi }{9}+\frac{k\pi }{3}|k\in \mathbb{Z}\right\}.$$

Observă că pasul s-a împărțit la $3$: pe fiecare interval de lungime $\pi$ există acum trei soluții, nu una.

16. Din $6+5\sin \frac{\pi t}{6}=8,5$ obținem $\sin \frac{\pi t}{6}=\frac{2,5}{5}=\frac{1}{2}$. Cu $u=\frac{\pi t}{6}$: $\frac{\pi t}{6}=(-1{)}^k\frac{\pi }{6}+k\pi$, deci $t=(-1{)}^k+6k$.

Pentru $k=0$: $t=1$; pentru $k=1$: $t=-1+6=5$; pentru $k=2$: $t=1+12=13>12$. Așadar, în primele $12$ ore adâncimea este de $8,5$ m la orele $t=1$ și $t=5$.

Verificare: $h(1)=6+5\sin \frac{\pi }{6}=6+2,5=8,5$ ✓ și $h(5)=6+5\sin \frac{5\pi }{6}=6+2,5=8,5$ ✓. (Între orele $1$ și $5$ adâncimea depășește $8,5$ m — fereastra de intrare a vasului.)

17. Cu $u=2x$ și $\arccos \frac{1}{2}=\frac{\pi }{3}$: $2x=\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi$, deci $x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi$.

Selecție pe $[0,\pi ]$: din familia $\frac{\pi }{6}+k\pi$ rămâne $k=0$, adică $x=\frac{\pi }{6}$; din familia $-\frac{\pi }{6}+k\pi$ rămâne $k=1$, adică $x=\frac{5\pi }{6}$.

$S=\left\{\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}\right\}$. Verificare: $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ ✓ și $\cos \frac{5\pi }{3}=\frac{1}{2}$ ✓.

18. Cu $u=3x$ și $\arcsin \frac{1}{2}=\frac{\pi }{6}$: $3x=(-1{)}^k\frac{\pi }{6}+k\pi$, deci $x=(-1{)}^k\frac{\pi }{18}+\frac{k\pi }{3}$.

Luăm $k$ pe rând și păstrăm ce cade în $[0,\pi ]$:

• $k=0$: $x=\frac{\pi }{18}$ ✓
• $k=1$: $x=-\frac{\pi }{18}+\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{18}$ ✓
• $k=2$: $x=\frac{\pi }{18}+\frac{2\pi }{3}=\frac{13\pi }{18}$ ✓
• $k=3$: $x=-\frac{\pi }{18}+\pi =\frac{17\pi }{18}$ ✓
• $k=4$: $x=\frac{\pi }{18}+\frac{4\pi }{3}>\pi$ ✗; $k=-1$: $x=-\frac{\pi }{18}-\frac{\pi }{3}<0$ ✗.

Deci $S=\left\{\frac{\pi }{18},\frac{5\pi }{18},\frac{13\pi }{18},\frac{17\pi }{18}\right\}$ — patru soluții.

De ce era de așteptat? Când $x$ parcurge $[0,\pi ]$, argumentul $3x$ parcurge $[0,3\pi ]$, adică o tură și jumătate de cerc. Pe o tură completă ecuația $\sin u=\frac{1}{2}$ are două soluții, iar pe jumătatea rămasă (unde sinusul e din nou pozitiv la început) încă două — în total patru. Regula generală: ecuația $\sin nx=a$ are, pe un interval de lungime $2\pi$, de $n$ ori mai multe soluții decât $\sin x=a$.

De reținut

• $\sin x=a$ are soluții doar dacă $a\in [-1,1]$, iar atunci $S=\left\{(-1{)}^k\arcsin a+k\pi \right\}$, echivalent $\left\{\arcsin a+2k\pi \right\}\cup \left\{\pi -\arcsin a+2k\pi \right\}$.
• $\cos x=a$ are soluții doar dacă $a\in [-1,1]$, iar atunci $S=\left\{\pm \arccos a+2k\pi \right\}$. Contrastul cu sinusul: acolo a doua soluție e $\pi -\alpha$, aici este $-\beta$.
• $\mathrm{tg}x=a$ și $\mathrm{ctg}x=a$ au soluții pentru orice $a$ real, cu o singură familie și pasul $\pi$: $x=\mathrm{arctg}a+k\pi$, respectiv $x=\mathrm{arcctg}a+k\pi$. Nu uita condițiile de existență asupra lui $x$.
• Cazurile particulare ($\sin x=\pm 1$, $\cos x=\pm 1$) au o singură familie de soluții, pentru că dreapta corespunzătoare este tangentă la cerc. Merită memorate în forma simplificată.
• La argument compus $nx+b$, rezolvi ecuația elementară în $u=nx+b$, apoi scazi $b$ și împarți la $n$ tot ce rămâne — inclusiv termenul cu $k$.

Greșeli frecvente

• Confuzia dintre a doua soluție la sinus și la cosinus. Se scrie $\cos x=a\Rightarrow x=\pi -\arccos a+2k\pi$. Fals: la cosinus soluțiile sunt simetrice față de axa $Ox$, deci $x=\pm \arccos a+2k\pi$. Formula cu $\pi -$ e a sinusului.
• Pierderea unei familii. Se răspunde doar $x=\arcsin a+2k\pi$ la ecuația $\sin x=a$, ignorând familia $\pi -\arcsin a+2k\pi$. Pe cerc se vede imediat: dreapta orizontală taie cercul în două puncte, nu unul.
• Împărțirea incompletă la argument compus. Din $2x=\frac{\pi }{4}+2k\pi$ se scrie $x=\frac{\pi }{8}+2k\pi$ în loc de $\frac{\pi }{8}+k\pi$. Se împarte fiecare termen, inclusiv cel cu $k$.
• Impunerea condiției $a\in [-1,1]$ la tangentă. Ecuația $\mathrm{tg}x=5$ are soluții perfect valabile; restricția e valabilă doar pentru sinus și cosinus. În schimb, la tangentă și cotangentă se uită condițiile de existență asupra lui $x$.
• Oprirea la prima soluție. Se dă ca răspuns doar $\frac{\pi }{6}$ la ecuația $\sin x=\frac{1}{2}$. Aceea e o soluție, nu mulțimea soluțiilor; răspunsul trebuie să conțină parametrul $k\in \mathbb{Z}$ (sau, dacă se cere un interval, toate valorile din acel interval).

Aplică acasă

1. Ora umbrei egale. Într-o zi însorită, notează la fiecare oră lungimea umbrei unui obiect vertical de înălțime cunoscută. Vei observa că aceeași lungime apare de două ori pe zi — dimineața și după-amiaza. Explică fenomenul prin faptul că ecuația $\mathrm{tg}\alpha =c$ (sau, mai exact, poziția Soarelui pe boltă) are două momente-soluție simetrice față de amiază. Este exact structura „două familii de soluții" din lecție.

2. Mareea din caiet. Pornind de la funcția $h(t)=6+5\sin \frac{\pi t}{6}$ din exercițiul 16, calculează la ce ore adâncimea este de $6$ m, apoi de $11$ m, apoi de $1$ m. Observă câte soluții are fiecare ecuație pe un interval de $12$ ore și leagă numărul lor de cazurile particulare din tabel (la $11$ m ești în cazul „tangent la cerc").

3. Verificatorul de familii. Alege trei dintre ecuațiile rezolvate la exersare și, pentru fiecare, calculează efectiv soluțiile pentru $k\in \{-2,-1,0,1,2\}$. Verifică-le apoi pe toate cu calculatorul, înlocuind în ecuația inițială. Este exact metoda pe care o folosesc profesorii ca să prindă o familie uitată — și pe care o poți folosi și tu, la examen, în două minute.

Pentru părinți și profesori

Lecția este inima unității „Funcții trigonometrice inverse și ecuații trigonometrice" din programa de matematică-informatică și tratează exact cele patru tipuri de ecuații prevăzute explicit de programă: $\sin x=a$, $\cos x=a$ (cu $a\in [-1,1]$), $\mathrm{tg}x=a$ și $\mathrm{ctg}x=a$ (cu $a$ real). Ideea de bază, greu de asimilat la început, este schimbarea naturii răspunsului: la o ecuație trigonometrică răspunsul este o mulțime infinită, descrisă printr-o formulă cu parametru întreg. Un elev care scrie „$x=\frac{\pi }{6}$" în loc de mulțimea completă nu a înțeles încă lecția, indiferent cât de corect a calculat.

Întrebări bune de control: „De ce $\sin x=2$ nu are soluții, dar $\mathrm{tg}x=2$ are?"; „Câte familii de soluții are $\cos x=a$ și de ce?"; „Care e diferența dintre $\pi -\arcsin a$ și $-\arccos a$ ca a doua soluție?"; „De ce la $\sin x=1$ rămâne o singură familie?"; „Dacă $2x=\frac{\pi }{3}+2k\pi$, cât este $x$?". Semne că a înțeles: scrie sistematic $k\in \mathbb{Z}$, verifică condiția asupra lui $a$ înainte de calcul, împarte corect la argument compus și își controlează soluțiile înlocuind pentru două-trei valori ale lui $k$.

La Bacalaureatul M1, aceste ecuații apar aproape în fiecare sesiune, cel mai adesea în formularea „Rezolvați ecuația …, unde $x\in [0,2\pi ]$" — deci cu selecție pe interval, ca în Exemplul 6 și exercițiile 13, 17 și 18. Baremul punctează separat obținerea soluțiilor generale și selecția corectă; ambele trebuie exersate până devin mecanice. Lecția următoare, despre ecuații trigonometrice reductibile, arată cum se aduc la aceste patru forme ecuațiile mai complicate.

Întrebări frecvente

Cum rezolv ecuația sin x = a? Verifici întâi că $a\in [-1,1]$; altfel nu are soluții. Apoi scrii mulțimea completă: $x=\arcsin a+2k\pi$ sau $x=\pi -\arcsin a+2k\pi$, cu $k\in \mathbb{Z}$ — echivalent, în forma compactă $x=(-1{)}^k\arcsin a+k\pi$. Ambele scrieri sunt acceptate la examen.

De ce ecuațiile trigonometrice au o infinitate de soluții? Pentru că funcțiile trigonometrice sunt periodice: dacă $x_0$ este soluție, atunci și $x_0+2k\pi$ este, pentru orice întreg $k$ (respectiv $x_0+k\pi$ la tangentă și cotangentă). Graficul confirmă vizual: o dreaptă orizontală taie sinusoida de o infinitate de ori.

Care este diferența dintre soluțiile ecuației cos x = a și ale ecuației sin x = a? La cosinus, cele două puncte de pe cerc sunt simetrice față de axa orizontală, deci soluțiile sunt $\pm \arccos a+2k\pi$. La sinus, punctele sunt simetrice față de axa verticală, deci a doua soluție este $\pi -\arcsin a$, nu $-\arcsin a$. Este cea mai frecventă confuzie din capitol.

Ecuația tg x = 5 are soluții? Da, o infinitate: $x=\mathrm{arctg}5+k\pi$. Tangenta ia toate valorile reale, deci nu există nicio restricție asupra membrului drept. Restricția $a\in [-1,1]$ se aplică doar ecuațiilor cu sinus și cosinus, funcții mărginite.

Ce fac dacă valoarea nu e una remarcabilă, de exemplu sin x = 1/3? Scrii răspunsul cu funcția inversă: $x=(-1{)}^k\arcsin \frac{1}{3}+k\pi$. Aceasta este forma finală, exactă, a răspunsului — la fel cum soluția ecuației $x^2=7$ se scrie $\pm \sqrt{7}$, nu ca valoare zecimală aproximativă.

Cum rezolv ecuația sin 2x = a? Notezi $u=2x$, rezolvi ecuația elementară $\sin u=a$, apoi împarți la $2$ tot membrul drept: din $2x=(-1{)}^k\arcsin a+k\pi$ obții $x=(-1{)}^k\frac{\arcsin a}{2}+\frac{k\pi }{2}$. Uitarea împărțirii termenului cu $k$ pierde jumătate dintre soluții.

Cum selectez soluțiile dintr-un interval dat? Scrii mai întâi mulțimea generală, apoi pentru fiecare familie impui condiția de apartenență la interval și rezolvi inecuația în $k$. Valorile întregi obținute pentru $k$ îți dau soluțiile concrete. La final, verifică-le pe toate în ecuația inițială.

De ce ecuația sin x = 1 are o singură familie de soluții? Pentru că dreapta $y=1$ este tangentă la cercul trigonometric: îl atinge într-un singur punct, cel de sus, nu îl taie în două. Cele două familii generale coincid, iar mulțimea soluțiilor se reduce la $x=\frac{\pi }{2}+2k\pi$. Același lucru se întâmplă la $\sin x=-1$, $\cos x=1$ și $\cos x=-1$.