Care sunt elementele inversabile modulo n?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Clase inversabile și ecuații

Sunt exact clasele $\overset{a}{^}$ pentru care $a$ și $n$ nu au niciun divizor comun în afară de $1$ . Pentru un modul prim toate clasele nenule au invers, adică $n - 1$ dintre ele; clasa lui zero nu are niciodată. Inversul se caută printre numerele de forma $1 + k n$ care se împart exact la $a$ : modulo $15$ , egalitatea $91 = 7 \cdot 13$ arată că inversul lui $\hat{7}$ este $13$ .

Legea fiind scrisă multiplicativ, elementul simetrizabil se numește inversabil, iar simetricul se numește invers și se notează $\overset{a}{^}^{- 1}$ . Clasa $\overset{a}{^} \in Z_{n}$ este inversabilă dacă există $\hat{b}$ cu $\overset{a}{^} \cdot \hat{b} = \hat{1}$ ; inversul, când există, este unic, iar comutativitatea scutește de a doua verificare.

Teorema centrală: $\overset{a}{^}$ este inversabilă în $Z_{n}$ dacă și numai dacă $(a, n) = 1$ . Deci $U (Z_{n}, \cdot) = {\overset{a}{^} ∣ 0 \leq a < n, (a, n) = 1}$ . Când $p$ este prim, toate cele $p - 1$ clase nenule sunt inversabile; clasa $\hat{0}$ nu este inversabilă niciodată. Demonstrația arată mai mult: dacă $(a, n) = 1$ , produsele $\overset{a}{^} \cdot \overset{x}{^}$ parcurg toate clasele, fiecare exact o dată.

Inversul se calculează fără tablă: cauți primul număr de forma $1 + k n$ divizibil cu $a$ , apoi împarți. În $Z_{15}$ , $91 = 7 \cdot 13$ dă $\hat{7}^{- 1} = 13$ .

Ecuația $\overset{a}{^} \cdot \overset{x}{^} = \hat{b}$ se rezolvă după $d = (a, n)$ : dacă $d = 1$ , se înmulțește cu $\overset{a}{^}^{- 1}$ și soluția este unică; dacă $d > 1$ , se verifică cele $n$ clase, ecuația are soluții numai când $d ∣ b$ , iar atunci are exact $d$ soluții. „Împărțirea la $\overset{a}{^}$ ” nu există.

De reținut

$\overset{a}{^}$ este inversabilă exact când $a$ și $n$ sunt prime între ele
pentru un modul prim, toate clasele nenule sunt inversabile
inversul se caută printre numerele $1 + k n$ divizibile cu $a$

Greșeala tipică

Se împarte la coeficient fără verificarea inversabilității. Înmulțirea cu inversul este permisă când reprezentantul coeficientului și modulul sunt primi între ei; la un modul prim, orice clasă nenulă are invers.

Exerciții din această mini-lecție

Clasa $\overset{a}{^}$ este inversabilă în $Z_{n}$ dacă și numai dacă:
- a) $\overset{a}{^} \neq = \hat{0}$
- b) $a$ este număr prim
- c) $(a, n) = 1$
- d) $n$ este număr prim
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $(a, n) = 1$

Aceasta este teorema centrală a lecției. Varianta a este adevărată numai în $Z_{p}$ cu $p$ prim: în $Z_{12}$ , clasa $\hat{4}$ este nenulă, dar $(4, 12) = 4 \neq = 1$ , deci nu este inversabilă. Nici b, nici d nu sunt necesare: $\hat{9}$ este inversabilă în $Z_{20}$ , deși nici $9$ , nici $20$ nu sunt prime.
Mulțimea $U (Z_{14}, \cdot)$ are:
- a) $6$ elemente
- b) $7$ elemente
- c) $13$ elemente
- d) $14$ elemente
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $6$ elemente

Numărăm clasele al căror reprezentant este prim cu $14 = 2 \cdot 7$ : eliminăm numerele pare și pe $7$ , rămân $1, 3, 5, 9, 11, 13$ , adică $6$ clase. Varianta $13$ ar fi corectă doar dacă $14$ ar fi prim, iar $14$ ar include și clasa $\hat{0}$ , care nu este inversabilă în niciun $Z_{n}$ .
În $Z_{12}$ , ecuația $\hat{8} \cdot \overset{x}{^} = \hat{4}$ :
- a) nu are soluții
- b) are exact o soluție
- c) are exact $8$ soluții
- d) are exact $4$ soluții
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) are exact $4$ soluții

Avem $d = (8, 12) = 4$ și $4 ∣ 4$ , deci ecuația are soluții, iar numărul lor este exact $d = 4$ . Verificând clasele, găsim $\hat{2}, \hat{5}, \hat{8}, 11$ . Varianta b este capcana „ecuație de gradul întâi, o soluție”, valabilă numai când coeficientul este inversabil; varianta a ar fi corectă pentru $\hat{8} \cdot \overset{x}{^} = \hat{3}$ , unde $4 ∤ 3$ .

Întrebări conexe

De ce produsele cu o clasă inversabilă parcurg toate clasele?

Pentru că înmulțirea cu ea se poate desface, înmulțind cu inversul: din două produse egale rezultă că factorii erau egali. Deci cele $n$ produse ies distincte și, fiind atâtea câte clase există, le acoperă pe toate, fiecare o dată.

Cât este inversul lui 7 modulo 15?

Este clasa lui $13$ , fiindcă $7 \cdot 13 = 91 = 6 \cdot 15 + 1$ . Metoda: cauți primul număr de forma $1 + 15 k$ care se împarte exact la $7$ ; la $k = 6$ obții $91$ . Împărțind, iese partenerul căutat.

Câte elemente inversabile există modulo 12?

Patru: clasele lui $1$ , $5$ , $7$ și $11$ , adică numerele mai mici decât $12$ care nu au divizori comuni cu el. Celelalte opt clase nu au invers, fiindcă împart cu $12$ fie factorul $2$ , fie factorul $3$ .

De ce zero nu este niciodată inversabil modulo n?

Fiindcă orice produs cu clasa lui zero iese tot zero, deci nu poate da niciodată $\hat{1}$ . Observația ține pentru orice modul, prim sau compus, și se scrie ca atare în rezolvări.

Câte soluții are ecuația când divizorul comun al lui a și n este d?

Are soluții numai dacă $d$ divide termenul liber, iar atunci ele sunt exact $d$ la număr. Pentru $d = 1$ soluția iese determinată fără ambiguitate, obținută înmulțind cu inversul lui $\overset{a}{^}$ .

Cum se rezolvă ecuația când coeficientul necunoscutei este inversabil?

Înmulțești ambii membri cu inversul acelui coeficient și necunoscuta rămâne singură. Așa se definește împărțirea la o clasă inversabilă. Înainte verifici că reprezentantul coeficientului și modulul sunt primi între ei, iar la final verifici rezultatul în ecuația de plecare.

Oamenii mai întreabă și: clase inversabile · când este inversabilă o clasă de resturi · inversul modulo n · ecuații cu clase de resturi · mulțimea claselor inversabile