Elipsa $$\dfrac{x^2}{100} + \dfrac{y^2}{36} = 1$$ este reuniunea graficelor funcțiilor:

$$f_{1,2} : [-10, 10] \to \mathbb{R}$$, $$f_{1,2}(x) = \pm\dfrac{3}{5}\sqrt{100 - x^2}$$

$$f_{1,2} : [-6, 6] \to \mathbb{R}$$, $$f_{1,2}(x) = \pm\dfrac{3}{5}\sqrt{36 - x^2}$$

$$f_{1,2} : [-10, 10] \to \mathbb{R}$$, $$f_{1,2}(x) = \pm\dfrac{5}{3}\sqrt{100 - x^2}$$

$$f_{1,2} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$, $$f_{1,2}(x) = \pm\dfrac{3}{5}\sqrt{100 - x^2}$$

De ce sunt semiaxele radicalii numitorilor?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Elementele elipsei și graficul ei

Fiindcă în ecuație apar $a^{2}$ și $b^{2}$ , nu $a$ și $b$ . Din $\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{9} = 1$ ies semiaxele $5$ și $3$ , iar curba taie axa absciselor în $\pm 5$ și pe cea a ordonatelor în $\pm 3$ . Verificarea e imediată: punând $y = 0$ rămâne $x^{2} = 25$ . Semiaxa mare este radicalul numitorului mai mare.

Din ecuația canonică $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ elementele se citesc direct, cu grijă la un amănunt: semiaxele sunt radicalii numitorilor, nu numitorii. Semiaxa mare $a$ este radicalul numitorului mai mare, aflat sub $x^{2}$ în convenția acestui capitol; semiaxa mică $b$ este radicalul celuilalt. Cele patru vârfuri sunt $(\pm a, 0)$ și $(0, \pm b)$ , iar curba este simetrică față de ambele axe și față de centru, pentru că în ecuație variabilele apar numai la puterea a doua.

Relația $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ este teorema lui Pitagora în triunghiul $O B F$ : distanța de la vârful $B (0, b)$ la fiecare focar este exact $a$ . Focarele stau întotdeauna pe axa mare, niciodată pe cea mică. Excentricitatea $e = \frac{c}{a}$ ia valori în $(0, 1)$ și măsoară turtirea: aproape de $0$ înseamnă aproape cerc, aproape de $1$ înseamnă foarte alungită. Două elipse cu aceeași excentricitate au aceeași formă și diferă doar prin mărime.

Elipsa nu este graficul unei funcții, dar este reuniunea graficelor funcțiilor $f_{1, 2} : [- a, a] \to R$ , $f_{1, 2} (x) = \pm \frac{b}{a} a^{2} - x^{2}$ — formularea cerută de programă. Trasarea se face în cinci pași, pornind de la dreptunghiul-schelet cu laturile $2 a$ și $2 b$ , pe care curba îl atinge exact în cele patru vârfuri și de care se depărtează peste tot în rest.

De reținut

semiaxele sunt radicalii numitorilor, nu numitorii înșiși
$a^{2} = b^{2} + c^{2}$ , iar focarele stau pe axa mare
$e = \frac{c}{a}$ , cu valori între $0$ și $1$ , măsoară turtirea

Greșeala tipică

Se ia drept semiaxă chiar numitorul din ecuație. Din $\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{9} = 1$ semiaxele sunt $5$ și $3$ , iar verificarea se face pe vârfuri, fiindcă acolo curba taie axele.

Exerciții din această mini-lecție

Excentricitatea elipsei $\frac{x ^{2}}{625} + \frac{y ^{2}}{576} = 1$ este:
- a) $\frac{7}{24}$
- b) $\frac{24}{25}$
- c) $\frac{7}{25}$
- d) $\frac{25}{7}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\frac{7}{25}$

Semiaxele sunt $a = 25$ și $b = 24$ , iar $c = 625 - 576 = 49 = 7$ . Excentricitatea este $e = \frac{c}{a} = \frac{7}{25}$ , valoare mică, deci elipsa e aproape circulară. Varianta $\frac{25}{7}$ inversează raportul și ar da $e > 1$ , imposibil la elipsă; $\frac{24}{25}$ este raportul $\frac{b}{a}$ .
Focarele conicei $36 x^{2} + 100 y^{2} = 3600$ sunt:
- a) $(\pm 6, 0)$
- b) $(\pm 8, 0)$
- c) $(\pm 10, 0)$
- d) $(0, \pm 8)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(\pm 8, 0)$

Se împarte întâi prin $3600$ : $\frac{x ^{2}}{100} + \frac{y ^{2}}{36} = 1$ , deci $a = 10$ , $b = 6$ și $c = 100 - 36 = 8$ . Focarele sunt $(\pm 8, 0)$ , pe axa mare. Fără normalizare s-ar citi greșit semiaxele; varianta $(\pm 10, 0)$ confundă focarele cu vârfurile, iar $(\pm 6, 0)$ ia $b$ drept $c$ .
Elipsa $\frac{x ^{2}}{100} + \frac{y ^{2}}{36} = 1$ este reuniunea graficelor funcțiilor:
- a) $f_{1, 2} : [- 10, 10] \to R$ , $f_{1, 2} (x) = \pm \frac{3}{5} 100 - x^{2}$
- b) $f_{1, 2} : [- 6, 6] \to R$ , $f_{1, 2} (x) = \pm \frac{3}{5} 36 - x^{2}$
- c) $f_{1, 2} : [- 10, 10] \to R$ , $f_{1, 2} (x) = \pm \frac{5}{3} 100 - x^{2}$
- d) $f_{1, 2} : R \to R$ , $f_{1, 2} (x) = \pm \frac{3}{5} 100 - x^{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $f_{1, 2} : [- 10, 10] \to R$ , $f_{1, 2} (x) = \pm \frac{3}{5} 100 - x^{2}$

Scoțând $y$ din ecuație obținem $y^{2} = 36 (1 - \frac{x ^{2}}{100})$ , adică $y = \pm \frac{b}{a} a^{2} - x^{2} = \pm \frac{3}{5} 100 - x^{2}$ . Domeniul este dat de condiția de existență a radicalului, $x \in [- 10, 10]$ , și face parte din răspuns: fără el, răspunsul este incomplet.

Întrebări conexe

Ce este dreptunghiul-schelet al unei elipse?

Dreptunghiul cu centrul în origine și cu laturile $2 a$ și $2 b$ , paralele cu axele. Elipsa îl atinge numai în vârfuri, iar în rest trece pe dinăuntru, așa că el ține desenul la scară și împiedică deformarea formei.

Pe ce axă stau întotdeauna focarele unei elipse?

Pe axa mare, adică pe aceea de-a lungul căreia curba se întinde mai mult. Așezate pe axa mică, focarele n-ar mai putea da suma constantă cerută de definiție. Dacă în ecuație numitorul mai mare apare sub $y^{2}$ , atunci axa mare și focarele urcă pe axa ordonatelor.

Ce formă are o elipsă cu excentricitate apropiată de zero?

Aproape rotundă. Excentricitatea $e = \frac{c}{a}$ măsoară turtirea, iar o valoare mică arată că focarele stau aproape unul de altul, deci aproape de centru. La valori apropiate de $1$ , dimpotrivă, curba iese lungă și subțire.

Câte vârfuri are o elipsă și care sunt?

Patru, în punctele $(\pm a, 0)$ și $(0, \pm b)$ . Ele sunt tocmai intersecțiile cu axele de coordonate și se obțin punând pe rând $y = 0$ și $x = 0$ în ecuație. Cele de pe axa mare sunt și punctele cele mai depărtate de centru.

Ce elipse au aceeași formă și diferă doar prin mărime?

Cele cu aceeași excentricitate. Raportul $\frac{c}{a}$ fixează proporția dintre semiaxe, deci două elipse cu aceeași valoare se obțin una din alta printr-o mărire, ca două fotografii ale aceluiași obiect la scări deosebite.

De ce este elipsa simetrică față de ambele axe?

Fiindcă amândouă variabilele intră în ecuație doar prin pătratele lor. Schimbând $x$ în $- x$ sau $y$ în $- y$ , egalitatea rămâne aceeași, deci punctele simetrice ale unui punct de pe curbă se află tot pe curbă. De aici iese și simetria față de centru.

Oamenii mai întreabă și: elementele elipsei · focarele elipsei din ecuație · excentricitatea elipsei · cum desenez o elipsă · vârfurile elipsei