De ce nu este panta asimptotei a supra b?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Elementele hiperbolei și graficul

Fiindcă panta iese din raportul dintre semiaxa de sub termenul negativ și cea de sub termenul pozitiv, adică $\pm \frac{b}{a}$ la forma cu axa reală pe orizontală. Controlul cel mai rapid este dreptunghiul fundamental: diagonala lui urcă $b$ pe verticală în timp ce înaintează $a$ pe orizontală, iar asimptotele sunt tocmai prelungirile diagonalelor.

Elementele hiperbolei $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ sunt centrul $O$ , vârfurile $(\pm a, 0)$ , focarele $(\pm c, 0)$ cu $c = a^{2} + b^{2}$ , semiaxa reală $a$ și semiaxa imaginară $b$ , excentricitatea $e = \frac{c}{a} > 1$ și asimptotele $y = \pm \frac{b}{a} x$ . Panta lor se obține cel mai repede înlocuind $1$ cu $0$ în ecuația canonică și factorizând: numărătorul este semiaxa de sub termenul cu minus.

Ramurile sunt reuniunea graficelor funcțiilor $\pm \frac{b}{a} x^{2} - a^{2}$ , definite pe $(- \infty, - a] \cup [a, + \infty)$ , iar dreptele $y = \pm \frac{b}{a} x$ sunt asimptote oblice la aceste grafice — se demonstrează cu cei trei pași ai asimptotei oblice, separat spre $+ \infty$ și spre $- \infty$ , unde modulul din $x^{2} - a^{2} = ∣ x ∣ 1 - \frac{a ^{2}}{x ^{2}}$ schimbă semnul pantei. Curba nu își atinge și nu își taie asimptotele: diferența dintre ele tinde la zero fără să se anuleze.

Dreptunghiul fundamental, cu vârfurile $(\pm a, \pm b)$ , are drept diagonale asimptotele, iar semidiagonala lui este exact $c$ — de aici desenul și localizarea focarelor devin imediate. Excentricitatea determină forma prin $\frac{b}{a} = e^{2} - 1$ : excentricitate mare înseamnă asimptote înclinate și ramuri deschise. Asimptotele singure nu determină hiperbola: ele fixează doar raportul $\frac{b}{a}$ , deci mai e nevoie de o condiție.

De reținut

asimptotele $y = \pm \frac{b}{a} x$ sunt prelungirile diagonalelor dreptunghiului fundamental
dreptunghiul are vârfurile $(\pm a, \pm b)$ , iar semidiagonala lui este $c$
$e = \frac{c}{a} > 1$ , iar $\frac{b}{a} = e^{2} - 1$

Greșeala tipică

Se afirmă că ramurile ating sau taie asimptotele. Distanța dintre ele scade spre zero fără să ajungă vreodată acolo, așa că cele două nu au niciun punct comun.

Exerciții din această mini-lecție

Asimptotele hiperbolei $\frac{x ^{2}}{36} - \frac{y ^{2}}{25} = 1$ sunt:
- a) $y = \pm \frac{5}{6} x$
- b) $y = \pm \frac{25}{36} x$
- c) $y = \pm x$
- d) $y = \pm \frac{6}{5} x$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $y = \pm \frac{5}{6} x$

Asimptotele sunt $y = \pm \frac{b}{a} x$ , cu $a = 6$ și $b = 5$ , deci $y = \pm \frac{5}{6} x$ . Scurtătura: înlocuiește $1$ cu $0$ în ecuație și factorizează, $\frac{x ^{2}}{36} - \frac{y ^{2}}{25} = 0$ . Panta se citește din dreptunghiul fundamental: diagonala urcă $b = 5$ pe verticală când înaintează $a = 6$ pe orizontală.
Pentru hiperbola $\frac{x ^{2}}{144} - \frac{y ^{2}}{25} = 1$ , distanța de la focarul $F (13, 0)$ la asimptota $5 x - 12 y = 0$ este:
- a) $12$
- b) $5$
- c) $13$
- d) $\frac{25}{13}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $5$

Distanța este $\frac{∣ 5 \cdot 13 - 12 \cdot 0 ∣}{25 + 144} = \frac{65}{13} = 5$ , adică exact semiaxa $b$ . Rezultatul nu e o coincidență: la orice hiperbolă distanța de la un focar la o asimptotă este $b$ , ceea ce dă și o construcție geometrică rapidă a focarelor pornind de la dreptunghiul fundamental.
Semidiagonala dreptunghiului fundamental al hiperbolei $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ este egală cu:
- a) $e$
- b) $a$
- c) $b$
- d) $c$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $c$

Dreptunghiul fundamental are vârfurile $(\pm a, \pm b)$ , deci semidiagonala lui, măsurată din centru, este $a^{2} + b^{2} = c$ . De aceea focarele se obțin desenând cercul de rază egală cu semidiagonala și intersectându-l cu axa transversă — construcția standard din cei cinci pași ai trasării.

Întrebări conexe

Ce se obține înlocuind 1 cu 0 în ecuația canonică?

Ecuația asimptotelor. Din $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 0$ se factorizează diferența de pătrate și ies două drepte care trec prin origine, $y = \pm \frac{b}{a} x$ . Metoda merge la orice orientare a hiperbolei și scutește memorarea unei formule.

Cât măsoară semidiagonala dreptunghiului fundamental?

Chiar $c$ , semidistanța focală. Dreptunghiul are vârfurile în $(\pm a, \pm b)$ , iar jumătatea diagonalei se calculează cu teorema lui Pitagora și dă $a^{2} + b^{2}$ . De aceea focarele se găsesc rotind semidiagonala peste axa reală.

Ce funcții descriu ramurile unei hiperbole?

Perechea $\pm \frac{b}{a} x^{2} - a^{2}$ , definite pe reuniunea semidreptelor $(- \infty, - a]$ și $[a, + \infty)$ . Curba este reuniunea celor două grafice, iar fiecare dintre ele are drept asimptote oblice exact dreptele găsite mai devreme.

Determină asimptotele singure o hiperbolă?

Nu, fiindcă ele fixează numai raportul dintre semiaxe. O infinitate de hiperbole au aceleași asimptote și se deosebesc prin mărime, așa că mai trebuie dat un vârf, un focar sau un punct al curbei ca să fie determinată una anume.

Ce relație leagă raportul semiaxelor de excentricitate?

Egalitatea $\frac{b}{a} = e^{2} - 1$ , care se obține din $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ împărțind prin $a^{2}$ . O excentricitate mare înseamnă asimptote înclinate și ramuri larg deschise, iar una apropiată de $1$ înseamnă ramuri strânse în jurul axei reale.

De ce nu se anulează diferența dintre ramură și asimptotă?

Fiindcă expresia $\frac{b}{a} (x - x^{2} - a^{2})$ nu se anulează pentru niciun $x \geq a$ , deși valorile ei scad spre zero. Cele două curbe se apropie oricât, fără să se întâlnească vreodată. Un grafic oarecare poate tăia asimptota, hiperbola nu.

Oamenii mai întreabă și: asimptotele hiperbolei · elementele hiperbolei · dreptunghiul fundamental · panta asimptotelor · graficul hiperbolei