Ce focar are graficul funcției y=ax²?

Punctul (0, 1/4a), pentru a>0. Rescriind y=ax² sub forma x²=2py iese p= 1/2a, iar focarul se află la p/2 deasupra vârfului. Directoarea este dreapta y=- 1/4a, la aceeași distanță sub vârf, deci graficul de la gimnaziu este aceeași curbă, privită într-un reper ales altfel.

Care este axa de simetrie a unei parabole?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Elementele parabolei și graficul

Dreapta care trece prin focar și prin vârf, perpendicular pe directoare. La forma $y^{2} = 2 p x$ ea este axa absciselor, fiindcă $y$ apare la pătrat, iar punctele cu ordonate opuse se potrivesc. La forma $x^{2} = 2 p y$ axa de simetrie devine cea a ordonatelor. Regula scurtă spune că variabila ridicată la pătrat arată axa, iar semnul celeilalte arată sensul deschiderii.

Toate elementele parabolei $y^{2} = 2 p x$ ies dintr-un singur număr, coeficientul lui $x$ , care este $2 p$ : vârful $O$ , axa $O x$ , parametrul $p$ , focarul $F (\frac{p}{2}, 0)$ și directoarea $x = - \frac{p}{2}$ . Raza focală a punctului $M (x, y)$ este $M F = x + \frac{p}{2}$ , iar coarda dusă prin focar perpendicular pe axă are lungimea $2 p$ și capetele $(\frac{p}{2}, \pm p)$ — dacă desenul nu trece prin ele, forma curbei e greșită, oricât de frumos ar fi trasată.

Cele patru orientări sunt $y^{2} = \pm 2 p x$ și $x^{2} = \pm 2 p y$ , cu regula de citire: pătratul spune axa, semnul spune sensul. Variabila de la pătrat dă axa de simetrie, semnul celeilalte dă sensul deschiderii, iar focarul stă întotdeauna de partea în care se deschide curba, la distanța $\frac{p}{2}$ de vârf. Deci $x^{2} = - 12 y$ se deschide în jos, cu focarul $(0, - 3)$ .

Graficul funcției de gradul al doilea de la gimnaziu este aceeași curbă, doar cu reperul ales altfel: $y = a x^{2}$ , cu $a > 0$ , se scrie $x^{2} = 2 p y$ cu $p = \frac{1}{2 a}$ , are focarul $(0, \frac{1}{4 a})$ și directoarea $y = - \frac{1}{4 a}$ . Forma $x^{2} = \pm 2 p y$ este, de altfel, singura orientare care este grafic de funcție. Cei cinci pași ai trasării: parametrul și orientarea, vârful cu focarul și directoarea punctată, coarda din dreptul focarului, două-trei puncte de control cu $x = \frac{k ^{2}}{2 p}$ , apoi curba netedă.

De reținut

$y^{2} = 2 p x$ : vârf în origine, focar $(\frac{p}{2}, 0)$ , directoare $x = - \frac{p}{2}$
coarda din dreptul focarului are lungimea $2 p$
$y = a x^{2}$ se rescrie $x^{2} = 2 p y$ , cu $p = \frac{1}{2 a}$

Greșeala tipică

Se caută la parabolă al doilea focar, asimptote sau excentricitate. Curba are un singur focar și nicio asimptotă: panta candidată iese nulă, iar limita infinită exclude și orizontala.

Exerciții din această mini-lecție

Parabola $x^{2} = - 12 y$ :
- a) se deschide la stânga
- b) se deschide la dreapta
- c) se deschide în sus
- d) se deschide în jos, cu focarul $(0, - 3)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) se deschide în jos, cu focarul $(0, - 3)$

Pătratul spune axa: variabila $x$ este la pătrat, deci axa de simetrie este $O y$ . Semnul spune sensul: coeficientul lui $y$ fiind negativ, curba se deschide în jos. Din $2 p = 12$ rezultă $p = 6$ , deci focarul este $(0, - \frac{p}{2}) = (0, - 3)$ , iar directoarea $y = 3$ .
Lungimea coardei duse prin focar, perpendicular pe axă, la parabola $y^{2} = 14 x$ este:
- a) $14$
- b) $28$
- c) $3, 5$
- d) $7$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $14$

Coarda din dreptul focarului are lungimea $2 p$ , iar aici $2 p = 14$ , deci coarda măsoară $14$ . Capetele ei sunt $(\frac{p}{2}, \pm p) = (3, 5; \pm 7)$ , obținute punând $x = \frac{p}{2}$ în ecuație. Varianta $7$ dă parametrul $p$ , nu coarda; varianta $3, 5$ dă abscisa focarului.
Scrisă sub forma $x^{2} = 2 p y$ , parabola $y = \frac{x ^{2}}{8}$ are focarul:
- a) $(0, 4)$
- b) $(0, 8)$
- c) $(0, 2)$
- d) $(2, 0)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $(0, 2)$

Ecuația se rescrie $x^{2} = 8 y$ , deci $2 p = 8$ și $p = 4$ ; curba se deschide în sus, iar focarul este $(0, \frac{p}{2}) = (0, 2)$ , cu directoarea $y = - 2$ . Este chiar parabola de gimnaziu $y = a x^{2}$ cu $a = \frac{1}{8}$ , pentru care focarul are ordonata $\frac{1}{4 a} = 2$ .

Întrebări conexe

Ce lungime are coarda dusă prin focar perpendicular pe axă?

Are lungimea $2 p$ , iar capetele ei sunt $(\frac{p}{2}, \pm p)$ . Se obțin punând $x = \frac{p}{2}$ în ecuație, de unde $y^{2} = p^{2}$ . Coarda aceasta arată cât de largă e curba în dreptul focarului și este un control bun pe desen.

Ce proprietate definește punctele unei parabole?

Fiecare punct al ei se află la aceeași distanță de focar și de directoare. Din această egalitate se scot toate ecuațiile canonice, iar ea explică și de ce o oglindă parabolică adună razele venite paralel cu axa într-un singur punct, chiar în focar.

Ce focar are graficul funcției $y = a x^{2}$ ?

Punctul $(0, \frac{1}{4 a})$ , pentru $a > 0$ . Rescriind $y = a x^{2}$ sub forma $x^{2} = 2 p y$ iese $p = \frac{1}{2 a}$ , iar focarul se află la $\frac{p}{2}$ deasupra vârfului. Directoarea este dreapta $y = - \frac{1}{4 a}$ , la aceeași distanță sub vârf, deci graficul de la gimnaziu este aceeași curbă, privită într-un reper ales altfel.

Care orientare a parabolei este grafic de funcție?

Numai cea cu $x$ la pătrat, adică $x^{2} = \pm 2 p y$ : acolo fiecărei abscise îi corespunde o singură ordonată. La forma $y^{2} = 2 p x$ , un $x$ pozitiv dă două valori ale lui $y$ , deci curba nu poate fi graficul unei funcții.

Ce puncte de control se aleg la trasarea unei parabole?

Cele cu abscise de forma $\frac{k ^{2}}{2 p}$ , fiindcă atunci ordonata iese numărul întreg $k$ și punctul se marchează exact. Două sau trei astfel de puncte, alături de vârf și de capetele coardei din dreptul focarului, ajung pentru un desen corect.

Ce regulă scurtă spune orientarea unei parabole?

Pătratul spune axa, semnul spune sensul. Variabila ridicată la pătrat arată în lungul cărei axe se întinde curba, iar semnul din fața celeilalte variabile spune încotro se deschide: la dreapta sau la stânga, în sus sau în jos.

Oamenii mai întreabă și: axa de simetrie a parabolei · elementele parabolei · vârful parabolei · cum desenez o parabolă · focarul unei antene parabolice