O lege de compoziție definită pe o mulțime $$M$$ poate avea:

exact un element neutru, întotdeauna

Legea $$x \ast y = 5xy$$ are element neutru pe:

$$\mathbb{Q}$$, cu $$e = \dfrac{1}{5}$$

niciuna dintre mulțimile $$\mathbb{Z}$$ și $$\mathbb{Q}$$

Cum aflu elementul neutru al unei legi?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Elementul neutru

Rezolvi ecuația $x * e = x$ în necunoscuta $e$ și treci apoi prin trei filtre: rezultatul să iasă același oricare ar fi $x$ , să se afle în mulțimea dată și să funcționeze și în cealaltă ordine, $e * x = x$ . La legea $x * y = x + y - 4$ ecuația dă $e = 4$ , număr real. Când legea e comutativă, ultima verificare vine de la sine.

Elementul neutru al legii $*$ pe mulțimea $M$ este elementul $e \in M$ pentru care $x * e = e * x = x$ , oricare ar fi $x \in M$ ; el joacă rolul lui $0$ la adunare și al lui $1$ la înmulțire. În toată unitatea, litera $e$ înseamnă elementul neutru, nu numărul lui Euler.

Definiția are două jumătăți. Elementele neutre la stânga sau la dreapta pot fi mai multe: legea $x * y = x$ pe o mulțime cu trei elemente are trei elemente neutre la dreapta și niciunul la stânga. Dar un neutru la stânga și unul la dreapta sunt obligatoriu egale, iar elementul neutru, când există, este unic — se demonstrează calculând $e_{1} * e_{2}$ în două feluri.

Rețeta: rezolvi ecuația $x * e = x$ în necunoscuta $e$ , verifici că soluția nu depinde de $x$ și că aparține mulțimii $M$ , apoi verifici și $e * x = x$ (automat, dacă legea e comutativă). Pentru $x * y = (x - a) (y - a) + a$ scurtătura este $e = a + 1$ .

În tablă, $e$ este elementul a cărui linie reproduce prima linie și a cărui coloană reproduce prima coloană. Nu au element neutru scăderea, împărțirea, media aritmetică și $max$ pe $R$ ; aceeași formulă poate avea neutru pe o mulțime și niciunul pe alta.

De reținut

$x * e = e * x = x$ pentru orice $x \in M$
elementul neutru, când există, este determinat fără ambiguitate
la $x * y = (x - a) (y - a) + a$ avem $e = a + 1$

Greșeala tipică

Se oprește verificarea la egalitatea $x * e = x$ și se uită partea cealaltă. Cele două jumătăți se cer amândouă, cu excepția legilor comutative, unde a doua se obține imediat.

Exerciții din această mini-lecție

Elementul neutru al legii $x * y = (x - 14) (y - 14) + 14$ , definită pe $R$ , este:
- a) $14$
- b) $13$
- c) $1$
- d) $15$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $15$

Pentru legile de forma $(x - a) (y - a) + a$ elementul neutru este $e = a + 1$ , aici $15$ ; verificare: $x * 15 = (x - 14) \cdot 1 + 14 = x$ . Varianta $14$ confundă neutrul cu elementul absorbant, fiindcă $14 * y = 14$ pentru orice $y$ — exact pe dos decât cere definiția. Variantele $13$ și $1$ nu verifică ecuația $x * e = x$ .
O lege de compoziție definită pe o mulțime $M$ poate avea:
- a) oricâte elemente neutre
- b) cel mult două elemente neutre
- c) cel mult un element neutru
- d) exact un element neutru, întotdeauna
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) cel mult un element neutru

Dacă $e_{1}$ și $e_{2}$ sunt amândouă neutre, atunci $e_{1} * e_{2} = e_{1}$ (fiindcă $e_{2}$ e neutru) și $e_{1} * e_{2} = e_{2}$ (fiindcă $e_{1}$ e neutru), deci $e_{1} = e_{2}$ . Varianta d greșește în cealaltă direcție: existența nu e garantată — scăderea pe $Z$ nu are element neutru. Mai multe pot fi doar elementele neutre pe o singură parte.
Legea $x * y = 5 x y$ are element neutru pe:
- a) $Q$ , cu $e = \frac{1}{5}$
- b) $Z$ , cu $e = 5$
- c) $Q$ , cu $e = 5$
- d) niciuna dintre mulțimile $Z$ și $Q$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $Q$ , cu $e = \frac{1}{5}$

Ecuația $5 x e = x$ dă $x (5 e - 1) = 0$ pentru orice $x$ , deci $e = \frac{1}{5}$ . Acest număr este rațional, dar nu întreg, așa că pe $Q$ legea are element neutru, iar pe $Z$ nu. Este capcana „candidatul nu e în mulțime”: verificarea apartenenței lui $e$ la $M$ nu e o formalitate.

Întrebări conexe

Ce condiții verific după ce rezolv ecuația compunerii cu e?

Că valoarea iese aceeași pentru orice element, că ea chiar aparține mulțimii din enunț și că merge scrisă și în ordinea inversă. Dacă vreuna cade, concluzia este că legea nu are element neutru, chiar dacă ecuația a avut soluție.

Cât este elementul neutru al legii factorizate cu numărul a?

Pentru $x * y = (x - a) (y - a) + a$ scrii $(x - a) (e - a) + a = x$ , de unde $(x - a) (e - a) = x - a$ și, simplificând cu $x - a$ , obții $e - a = 1$ . Așadar $e = a + 1$ . Scurtătura aceasta se folosește la aproape toate exercițiile capitolului. Numărul $a$ apare din nou, ca și la partea stabilă.

Ce operații cunoscute nu au element neutru?

Scăderea, împărțirea, media aritmetică și operația care alege maximul a două numere reale. La scădere pare că $0$ ar merge, fiindcă $x - 0 = x$ , dar egalitatea nu ține și în cealaltă ordine: $0 - x$ nu este $x$ decât pentru $x = 0$ .

Ce se întâmplă dacă soluția ecuației depinde de x?

Înseamnă că nu ai găsit un element neutru, ci doar o valoare potrivită punctual. Neutrul trebuie să fie același pentru toate elementele mulțimii, altfel definiția nu e îndeplinită. În asemenea situații răspunsul corect este că legea nu admite element neutru.

Poate o lege să aibă mai multe elemente neutre la dreapta?

Da. Ia legea $x * y = x$ : orice element joacă rolul de neutru la dreapta, fiindcă rezultatul îl reproduce mereu pe primul, în timp ce la stânga nu funcționează niciunul. În schimb, dacă legea are neutru și pe o parte, și pe cealaltă, cele două valori coincid, iar elementul neutru rămâne determinat fără ambiguitate.

De ce litera e nu înseamnă aici numărul lui Euler?

Fiindcă în acest capitol $e$ este notația consacrată pentru elementul neutru, oricare ar fi legea. Confuzia apare la exercițiile cu exponențiale, unde aceeași literă are alt sens. Citește-o după context: într-o problemă cu legi de compoziție, $e$ se caută, nu se cunoaște dinainte.

Oamenii mai întreabă și: element neutru · cum determin elementul neutru · e din legea de compoziție · element neutru la stânga și la dreapta · ce este elementul neutru al unei operații