Elipsa cu focarele $$(\pm 6, 0)$$ și cu $$2a = 20$$ are ecuația canonică:

$$\dfrac{x^2}{100} + \dfrac{y^2}{64} = 1$$

$$\dfrac{x^2}{64} + \dfrac{y^2}{100} = 1$$

$$\dfrac{x^2}{100} + \dfrac{y^2}{136} = 1$$

$$\dfrac{x^2}{20} + \dfrac{y^2}{6} = 1$$

Ce condiție cere definiția elipsei cu sfoara?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Elipsa: definiția și ecuația canonică

Ca sfoara să fie mai lungă decât distanța dintre țăruși, adică $2 a > F F^{'}$ . Fără ea construcția nu iese: la egalitate creionul nu se poate depărta de segmentul dintre focare, iar la o sfoară mai scurtă nu există niciun punct. Condiția face parte din definiție și se scrie explicit, alături de egalitatea $M F + M F^{'} = 2 a$ care dă locul geometric.

Elipsa este locul geometric al punctelor $M$ pentru care suma distanțelor la două puncte fixe, numite focare, este constantă: $M F + M F^{'} = 2 a$ . Condiția $2 a > F F^{'}$ este obligatorie și face parte din definiție — este exact „sfoara mai lungă decât distanța dintre țăruși”. Dacă sfoara este egală cu distanța dintre țăruși se obține segmentul $F F^{'}$ , iar dacă este mai scurtă, mulțimea vidă.

Alegând reperul cu originea la mijlocul segmentului focarelor și cu axa $O x$ pe dreapta lor, focarele devin $F (c, 0)$ și $F^{'} (- c, 0)$ , iar condiția de definiție se traduce, prin două ridicări la pătrat, în ecuația canonică $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ , cu $a > b > 0$ și $b^{2} = a^{2} - c^{2}$ . Fiecare ridicare la pătrat se justifică într-un rând: ambii membri comparați sunt nenegativi, deci pasul este o echivalență, iar justificarea se scrie explicit, într-un rând.

Relația de reținut este $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ , cu $a$ cel mai mare dintre cele trei numere; scrierea $c = a^{2} + b^{2}$ este formula hiperbolei și dă mereu un $c$ prea mare. Razele focale se calculează fără radicali, cu $M F = a - \frac{c}{a} x$ și $M F^{'} = a + \frac{c}{a} x$ , unde intră abscisa punctului, pentru că focarele stau pe $O x$ ; suma lor este $2 a$ pentru orice punct al elipsei, ceea ce e chiar definiția regăsită prin calcul.

De reținut

$M F + M F^{'} = 2 a$ , cu condiția $2 a > F F^{'}$
$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ , cu $a > b > 0$ și $b^{2} = a^{2} - c^{2}$
raze focale: $M F = a - \frac{c}{a} x$ și $M F^{'} = a + \frac{c}{a} x$

Greșeala tipică

Se ridică la pătrat suma celor doi radicali dintr-o dată. Produsul lor aduce un radical nou, mai complicat decât cei de la început, așa că se izolează întâi unul și abia apoi se ridică la pătrat.

Exerciții din această mini-lecție

Elipsa cu focarele $(\pm 6, 0)$ și cu $2 a = 20$ are ecuația canonică:
- a) $\frac{x ^{2}}{64} + \frac{y ^{2}}{100} = 1$
- b) $\frac{x ^{2}}{100} + \frac{y ^{2}}{64} = 1$
- c) $\frac{x ^{2}}{100} + \frac{y ^{2}}{136} = 1$
- d) $\frac{x ^{2}}{20} + \frac{y ^{2}}{6} = 1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{x ^{2}}{100} + \frac{y ^{2}}{64} = 1$

Din $2 a = 20$ rezultă $a = 10$ , iar focarele dau $c = 6$ . Atunci $b^{2} = a^{2} - c^{2} = 100 - 36 = 64$ , deci ecuația este $\frac{x ^{2}}{100} + \frac{y ^{2}}{64} = 1$ . Varianta cu $136$ folosește $a^{2} + c^{2}$ , formula hiperbolei; varianta cu numitorii schimbați între ei ar așeza axa mare pe $O y$ , contrazicând poziția focarelor.
La elipsă, relația dintre semiaxe și semidistanța focală este:
- a) $a^{2} = b^{2} + c^{2}$
- b) $a^{2} = b^{2} - c^{2}$
- c) $c^{2} = a^{2} + b^{2}$
- d) $b^{2} = a^{2} + c^{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $a^{2} = b^{2} + c^{2}$

Este teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic format de centru, un focar și vârful de pe axa mică: distanța de la $B (0, b)$ la fiecare focar este exact $a$ . De aici $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ , deci $c = a^{2} - b^{2} < a$ — focarele sunt în interiorul elipsei. Varianta $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ este formula hiperbolei.
Pentru elipsa $\frac{x ^{2}}{100} + \frac{y ^{2}}{64} = 1$ , raza focală $M F$ a punctului de abscisă $5$ , față de focarul $F (6, 0)$ , este:
- a) $13$
- b) $10$
- c) $3$
- d) $7$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $7$

Aici $a = 10$ și $c = 6$ , deci $\frac{c}{a} = \frac{3}{5}$ și $M F = a - \frac{c}{a} x = 10 - \frac{3}{5} \cdot 5 = 7$ . Cealaltă rază focală este $M F^{'} = 10 + 3 = 13$ , iar suma lor este $20 = 2 a$ , cum cere definiția. În formulă intră abscisa, nu ordonata: focarele stau pe axa $O x$ .

Întrebări conexe

Ce se obține dacă sfoara este egală cu distanța dintre țăruși?

Segmentul care unește cele două focare, nu o curbă. Singurele puncte care verifică egalitatea sunt cele de pe el, fiindcă pentru orice punct din afară suma distanțelor iese strict mai mare. Este cazul-limită care arată de ce inegalitatea din definiție e obligatorie.

Cum se calculează razele focale ale unei elipse?

Fără radicali, cu $M F = a - \frac{c}{a} x$ și $M F^{'} = a + \frac{c}{a} x$ , unde $x$ este abscisa punctului. Abscisa intră în formule fiindcă focarele stau pe axa absciselor. Suma celor două dă $2 a$ pentru orice punct al curbei, adică tocmai definiția regăsită prin calcul.

De ce se izolează un radical înainte de ridicarea la pătrat?

Pentru că ridicarea unei sume de doi radicali aduce produsul lor, adică un radical nou și mai încurcat. Mutând unul în celălalt membru, prima ridicare la pătrat lasă un singur radical, care se izolează din nou și dispare la a doua ridicare.

Ce se scrie ca justificare la fiecare ridicare la pătrat?

Că amândoi membrii comparați sunt nenegativi, deci transformarea este o echivalență, nu doar o implicație. Rândul acesta se punctează separat la examen, iar fără el deducerea rămâne neterminată, chiar dacă rezultatul final este cel corect.

Care număr este cel mai mare dintre a, b și c la o elipsă?

Semiaxa mare, $a$ . Din relația $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ rezultă că ea le întrece pe amândouă celelalte, iar $c$ rămâne sub $a$ , ceea ce înseamnă că focarele stau înăuntru. Dacă la un calcul iese altfel, s-a folosit formula de la hiperbolă.

Ce sumă dau razele focale ale oricărui punct al elipsei?

Constanta $2 a$ , adică lungimea sfoarei din construcția cu doi țăruși. Adunând cele două formule, termenii cu abscisa se anulează și rămâne exact acest număr. Verificarea arată că formulele fără radicali sunt în acord cu definiția.

Oamenii mai întreabă și: ce este elipsa · ecuația canonică a elipsei · definiția elipsei cu focare · relația dintre a b și c la elipsă · raze focale la elipsă