Despre ecuația $$x^{3}+2x-5=0$$ se poate afirma că:

are exact o soluție reală, situată în $$(1,2)$$

are cel puțin trei soluții reale

are exact o soluție reală, situată în $$(0,1)$$

Cum arăt că o ecuație are cel puțin o soluție?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Existența soluțiilor unei ecuații reale

Aduci ecuația la forma $f (x) = 0$ , justifici că $f$ este continuă, apoi cauți două numere $a < b$ în care valorile au semne contrare. Prin teorema lui Bolzano, consecința de semn a valorilor intermediare, soluția se află între ele. La $x^{3} + x - 1 = 0$ ai $f (0) = - 1$ și $f (1) = 1$ , deci ecuația are o rădăcină în intervalul dintre $0$ și $1$ .

Întrebările se despart și se pun în ordine: are soluții?, câte?, unde? și abia la urmă care sunt?. Primele trei se rezolvă complet fără nicio formulă de rezolvare.

Existența, în trei pași: aduci ecuația la forma $f (x) = 0$ ; justifici continuitatea lui $f$ ; găsești $a < b$ cu $f (a) \cdot f (b) < 0$ . Prin consecința de semn a proprietății valorilor intermediare (teorema lui Bolzano), ecuația are cel puțin o soluție în $(a, b)$ . Capetele se caută încercând întregi mici. Când intervalul nu se dă, se folosesc limitele la $\pm \infty$ ; de aici rezultă că orice ecuație polinomială de grad impar are cel puțin o soluție reală — cele de grad par nu au această garanție ( $x^{2} + 1 = 0$ ).

Unicitatea se obține din stricta monotonie, fără derivate: o funcție strict monotonă este injectivă, deci ecuația are cel mult o soluție. Suma a două funcții strict crescătoare este strict crescătoare.

Separarea soluțiilor: calculezi $f$ într-un șir de puncte de probă; fiecare schimbare de semn dă cel puțin o soluție, iar un plafon (gradul polinomului) dă numărul exact.

Localizarea se face prin înjumătățirea intervalului: după $k$ pași lungimea este $\frac{b - a}{2 ^{k}}$ . Metoda nu depinde de forma expresiei, deci merge și la ecuațiile transcendente.

De reținut

trei pași: forma $f (x) = 0$ , continuitatea, două valori de semne contrare
un polinom de grad impar se anulează măcar o dată pe axa reală
unicitatea vine din stricta monotonie, nu din continuitate

Greșeala tipică

Se scrie că ecuația are exact o soluție doar pentru că s-au găsit două capete cu semne contrare. Acelea dau existența; pentru numărul soluțiilor mai trebuie monotonia sau tabelul de variație.

Exerciții din această mini-lecție

Despre ecuația $x^{3} + 2 x - 5 = 0$ se poate afirma că:
- a) are exact o soluție reală, situată în $(1, 2)$
- b) are cel puțin trei soluții reale
- c) nu are soluții reale
- d) are exact o soluție reală, situată în $(0, 1)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) are exact o soluție reală, situată în $(1, 2)$

Funcția $f (x) = x^{3} + 2 x - 5$ este polinomială, deci continuă, și este suma funcțiilor strict crescătoare $x^{3}$ și $2 x$ , plus o constantă: e strict crescătoare pe $R$ , deci are cel mult o soluție. Cum $f (1) = - 2 < 0$ și $f (2) = 7 > 0$ , soluția există în $(1, 2)$ . La d), $f (0) = - 5$ și $f (1) = - 2$ au același semn.
Ecuația $x^{3} - 3 x - 1 = 0$ are:
- a) exact o soluție reală
- b) exact două soluții reale
- c) exact trei soluții reale
- d) nicio soluție reală
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) exact trei soluții reale

Cu punctele de probă $- 2, - 1, 0, 1, 2$ obținem valorile $- 3, 1, - 1, - 3, 1$ , adică semnele $-, +, -, -, +$ : trei schimbări de semn, deci cel puțin trei soluții, în $(- 2, - 1)$ , $(- 1, 0)$ și $(1, 2)$ . Gradul fiind $3$ , ecuația are cel mult trei soluții reale; prin urmare are exact trei.
Prin metoda înjumătățirii, pornind de la intervalul $[0, 1]$ , după $4$ pași lungimea intervalului care conține soluția este:
- a) $\frac{1}{8}$
- b) $\frac{1}{32}$
- c) $\frac{1}{4}$
- d) $\frac{1}{16}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $\frac{1}{16}$

La fiecare pas lungimea se înjumătățește, deci după $k$ pași ea este $\frac{b - a}{2 ^{k}}$ . Aici $b - a = 1$ și $k = 4$ , deci lungimea este $\frac{1}{2 ^{4}} = \frac{1}{16} = 0, 0625$ . Precizia crește geometric: după zece pași intervalul are lungimea sub $0, 001$ .

Întrebări conexe

Ce condiție pun capetelor a și b ca ecuația să aibă soluție?

Ca produsul valorilor să fie negativ, adică funcția să treacă de la minus la plus sau invers. Capetele se caută încercând întregi mici, iar când intervalul nu este dat în enunț, ele se aleg cu ajutorul limitelor la infinit.

De ce ecuația x la a treia plus x minus 1 are soluție reală?

Funcția este un polinom, deci continuă peste tot. În $0$ ia valoarea $- 1$ , iar în $1$ ia valoarea $1$ , semne contrare. Prin urmare graficul taie axa undeva între cele două numere, așa că ecuația are cel puțin o rădăcină acolo.

Cum aflu numărul exact de soluții ale unei ecuații polinomiale?

Aduni două informații: schimbările de semn din punctele de probă dau o margine de jos, iar gradul polinomului dă marginea de sus. Când cele două numere coincid, ai numărul exact. La $x^{3} - 3 x - 1 = 0$ ies trei schimbări, iar gradul este tot trei.

Cât de mic devine intervalul după cinci înjumătățiri?

Ajunge la $\frac{b - a}{32}$ , fiindcă lungimea se împarte la $2$ la fiecare pas. Pornind de la un interval de lungime $1$ , după cinci pași rămâne o felie de $0, 03125$ . Formula generală este $\frac{b - a}{2 ^{k}}$ .

Ce fac dacă intervalul de căutare nu este dat în enunț?

Te folosești de limitele la $- \infty$ și la $+ \infty$ : dacă ele au semne contrare, funcția continuă trebuie să treacă prin zero. Așa se explică de ce un polinom de grad impar se anulează măcar o dată pe axa reală.

De ce o ecuație de grad par poate să nu aibă soluții reale?

Fiindcă la ambele capete valorile merg în aceeași direcție, deci semnul nu se schimbă niciodată. Ecuația $x^{2} + 1 = 0$ este exemplul obișnuit: funcția rămâne pozitivă peste tot. Asigurarea de la gradul impar dispare aici.

Oamenii mai întreabă și: existența soluțiilor unei ecuații · cum arăt că o ecuație are soluție · separarea soluțiilor · metoda înjumătățirii intervalului · ecuație cu soluție reală