Pentru patrulaterul $$ABCD$$ (cu vârfurile luate în ordine, pe contur), perimetrul se calculează cu formula:

$$\mathcal{P} = AB + BC + CD + DA$$

$$\mathcal{P} = AB + CD + AC + BD$$

Într-un triunghi $$ABC$$ se cunosc $$AB^2=16$$, $$BC^2=9$$ și $$CA^2=25$$. Ce se poate afirma, folosind reciproca teoremei lui Pitagora?

Triunghiul este dreptunghic, cu unghiul drept în $$B$$ (vârful opus laturii $$[CA]$$), pentru că $$AB^2+BC^2=CA^2$$

Triunghiul este dreptunghic, cu unghiul drept în $$A$$ (vârful opus laturii $$[BC]$$)

Triunghiul nu este dreptunghic, pentru că $$AB^2+CA^2 \neq BC^2$$

Triunghiul este echilateral, pentru că toate laturile sunt exprimate prin pătrate

Patrulaterul $$ABCD$$ este paralelogram (diagonalele au același mijloc), toate cele patru laturi sunt egale, iar diagonalele $$AC$$ și $$BD$$ sunt diferite. Ce fel de patrulater este $$ABCD$$?

Paralelogram oarecare; nu se poate preciza mai mult

Cum aflu perimetrul dacă știu vârfurile?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Perimetre și tipuri de figuri în reper

Calculezi pe rând lungimea fiecărei laturi cu formula distanței, apoi le aduni. Pentru un triunghi cu vârfurile $A (0, 0)$ , $B (4, 0)$ și $C (0, 3)$ ies laturile $4$ , $3$ și $5$ , deci perimetrul face $12$ . Lungimile cu radical se lasă neaproximate până la final, ca să nu se strecoare erori. La un patrulater se adună doar cele patru laturi ale conturului, nu și diagonalele.

Această lecție arată cum, plecând doar de la coordonatele vârfurilor unei figuri, poți afla tot ce ține de formă și mărime, fără desen sau instrumente de măsurat. Algoritmul are trei pași: de la vârfuri la laturi (cu formula distanței), de la laturi la concluzii (comparând lungimile sau pătratele lor), apoi răspunsul la întrebarea pusă. Pentru un triunghi $A B C$ , perimetrul este $P = A B + B C + C A$ ; radicalii se adună în formă exactă, fără rotunjiri intermediare. Tipul triunghiului se citește din laturi: cel puțin două egale înseamnă isoscel, toate egale înseamnă echilateral, toate diferite înseamnă oarecare. Pentru a stabili dacă triunghiul este dreptunghic, se aplică reciproca teoremei lui Pitagora: se calculează pătratele laturilor, se ordonează crescător, iar dacă suma primelor două este egală cu a treia, triunghiul este dreptunghic, cu unghiul drept în vârful opus laturii celei mai mari. Trei puncte nu formează un triunghi dacă cea mai mare distanță este exact egală cu suma celorlalte două — inegalitatea triunghiului devine egalitate, caz numit degenerat. Pentru un patrulater $A B C D$ (vârfuri luate în ordine), perimetrul este $P = A B + B C + C D + D A$ , diagonalele $[A C]$ și $[B D]$ nefiind laturi. Recunoașterea tipului: diagonale cu același mijloc înseamnă paralelogram; plus laturi egale înseamnă romb; plus diagonale egale înseamnă dreptunghi; ambele condiții împreună înseamnă pătrat.

De reținut

fiecare latură se calculează cu formula distanței
două laturi egale înseamnă isoscel, trei egale înseamnă echilateral
la patrulater, perimetrul are patru termeni, fără diagonale

Greșeala tipică

La patrulaterul $A B C D$ se adaugă din greșeală și o diagonală, deci perimetrul iese cu un termen în plus. Se parcurge conturul în ordine, latură cu latură, și se opresc exact patru lungimi.

Exerciții din această mini-lecție

Pentru patrulaterul $A B C D$ (cu vârfurile luate în ordine, pe contur), perimetrul se calculează cu formula:
- a) $P = A B + B C + C D + D A$
- b) $P = A B + C D + A C + B D$
- c) $P = A C + B D$
- d) $P = A B + B C + C A$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $P = A B + B C + C D + D A$

Perimetrul unui patrulater $A B C D$ este suma celor patru laturi, luate în ordinea conturului: $A B + B C + C D + D A$ . Varianta b amestecă două laturi cu cele două diagonale $[A C]$ și $[B D]$ — o greșeală frecventă este tocmai includerea unei diagonale în perimetru. Varianta c adună doar diagonalele, care nu sunt laturi și nu apar deloc în formula perimetrului. Varianta d este formula perimetrului unui triunghi ( $A B + B C + C A$ ), aplicată greșit unui patrulater care are patru vârfuri, nu trei.
Într-un triunghi $A B C$ se cunosc $A B^{2} = 16$ , $B C^{2} = 9$ și $C A^{2} = 25$ . Ce se poate afirma, folosind reciproca teoremei lui Pitagora?
- a) Triunghiul este dreptunghic, cu unghiul drept în $B$ (vârful opus laturii $[C A]$ ), pentru că $A B^{2} + B C^{2} = C A^{2}$
- b) Triunghiul este dreptunghic, cu unghiul drept în $A$ (vârful opus laturii $[B C]$ )
- c) Triunghiul nu este dreptunghic, pentru că $A B^{2} + C A^{2} \neq = B C^{2}$
- d) Triunghiul este echilateral, pentru că toate laturile sunt exprimate prin pătrate
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Triunghiul este dreptunghic, cu unghiul drept în $B$ (vârful opus laturii $[C A]$ ), pentru că $A B^{2} + B C^{2} = C A^{2}$

Reciproca teoremei lui Pitagora cere ca pătratul laturii celei mai mari să fie egal cu suma pătratelor celorlalte două. Aici $C A^{2} = 25$ este cel mai mare, iar $A B^{2} + B C^{2} = 16 + 9 = 25 = C A^{2}$ , deci triunghiul e dreptunghic, cu unghiul drept opus laturii celei mai mari, adică în $B$ . Varianta b atribuie unghiul drept vârfului greșit — unghiul drept este mereu opus laturii celei mai mari (ipotenuza), niciodată opus unei catete. Varianta c testează o pereche greșită de pătrate ( $A B^{2} + C A^{2}$ în loc de $A B^{2} + B C^{2}$ ), fără să observe care latură e cea mai mare — exact greșeala tipică semnalată în lecție. Varianta d confundă „exprimat prin pătrate” cu „echilateral”; de fapt laturile ies $4$ , $3$ și $5$ , toate diferite.
Patrulaterul $A B C D$ este paralelogram (diagonalele au același mijloc), toate cele patru laturi sunt egale, iar diagonalele $A C$ și $B D$ sunt diferite. Ce fel de patrulater este $A B C D$ ?
- a) Romb, dar nu este pătrat
- b) Pătrat
- c) Dreptunghi
- d) Paralelogram oarecare; nu se poate preciza mai mult
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Romb, dar nu este pătrat

Un paralelogram cu toate laturile egale este, prin definiție, romb. Pentru a fi și pătrat, ar trebui ca și diagonalele să fie egale — condiție care aici nu este îndeplinită, deci este romb, dar nu pătrat. Varianta b confundă romb cu pătrat: laturile egale garantează rombul, nu automat și unghiurile drepte (adică diagonalele egale) — exact confuzia romb–pătrat semnalată explicit ca greșeală frecventă. Varianta c e greșită pentru că dreptunghiul se recunoaște prin diagonale egale, nu prin laturi egale — condiția verificată în enunț (laturi egale) nu are legătură cu testul de dreptunghi. Varianta d ignoră faptul că datele date (paralelogram + laturi egale) sunt suficiente pentru concluzia „romb”.

Întrebări conexe

Cum aflu aria unui triunghi dreptunghic cu vârfuri date?

Identifici catetele, adică laturile care se întâlnesc în unghiul drept, și le înmulțești, apoi împarți la doi. Pentru vârfurile $A (0, 0)$ , $B (4, 0)$ și $C (0, 3)$ , catetele sunt $4$ și $3$ , deci aria este $6$ . Ipotenuza nu intră în acest calcul.

Ce înseamnă că un patrulater are diagonalele cu același mijloc?

Că este paralelogram, fiindcă tocmai aceasta este proprietatea care îl caracterizează. Practic, calculezi mijlocul fiecărei diagonale și compari coordonatele obținute. Dacă ies identice, figura este paralelogram; dacă nu, este un patrulater oarecare.

Cum recunosc un romb din coordonatele vârfurilor?

Calculezi cele patru laturi și verifici dacă ies toate egale. Dacă, în plus, și diagonalele sunt egale, figura este pătrat. Un dreptunghi are laturile egale doar două câte două, dar diagonalele de aceeași lungime.

De ce contează ordinea vârfurilor la un patrulater?

Pentru că ea stabilește care segmente sunt laturi și care sunt diagonale. Aceleași patru puncte, luate în altă ordine, dau o figură încrucișată, cu alt perimetru. De aceea vârfurile se parcurg pe contur, nu la întâmplare.

Cum adun două lungimi care conțin radicali diferiți?

Le lași alăturate, fiindcă radicali cu numere diferite sub ei nu se pot strânge într-unul singur. Suma $23 + 35$ rămâne așa cum este. Doar radicalii cu același număr sub ei se adună, ca termenii asemenea.

Ce arată inegalitatea triunghiului la trei puncte date?

Dacă cea mai mare dintre cele trei distanțe este exact suma celorlalte două, punctele stau pe aceeași dreaptă și nu formează triunghi. Când suma este strict mai mare, figura există. Verificarea se face după calculul celor trei lungimi.

Oamenii mai întreabă și: perimetru din coordonate · cum aflu laturile unui triunghi din coordonate · ce fel de triunghi este · figuri în reperul cartezian · perimetrul unui patrulater cu vârfuri date