Figuri în reperul cartezian: perimetre și verificări

Un proiectant primește un teren și, în loc de un desen, o listă de patru perechi de numere: colțurile parcelei, exprimate în coordonate. Trebuie să răspundă la două întrebări foarte concrete — câți metri de gard sunt necesari și ce formă are, de fapt, parcela: este un dreptunghi, un romb sau un patrulater oarecare? Nu are ruletă, nu are raportor și nu are nevoie de ele. Are coordonatele, iar de aici încolo totul e calcul.

Aceasta este lecția în care cele două formule învățate până acum se pun la treabă împreună. Cu distanța dintre două puncte afli laturile oricărei figuri cu vârfuri date prin coordonate; cu coordonatele mijlocului unui segment verifici proprietățile diagonalelor. Din cele două rezultă tot ce te poate întreba un examen despre o figură din reper: perimetrul ei, dacă un triunghi este isoscel sau dreptunghic, dacă un patrulater este paralelogram, romb, dreptunghi sau pătrat — și chiar dacă trei puncte formează sau nu un triunghi.

Ce vei învăța

• Vei ști să calculezi perimetrul unui triunghi cu vârfuri date prin coordonate, în trei pași standard.
• Vei ști să stabilești dacă un triunghi este isoscel, echilateral sau oarecare, comparând lungimile laturilor.
• Vei ști să verifici dacă un triunghi este dreptunghic, aplicând reciproca teoremei lui Pitagora pătratelor laturilor.
• Vei ști să recunoști când trei puncte nu formează un triunghi și să justifici acest lucru.
• Vei ști să calculezi perimetrul unui patrulater și să determini tipul lui: paralelogram, romb, dreptunghi sau pătrat.
• Vei ști să alegi un reper convenabil atunci când tu ești cel care așază figura în plan.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă „a lucra cu o figură în reper"

Când o figură este dată prin coordonatele vârfurilor, tot ce știm despre ea se ascunde în acele numere. Strategia este mereu aceeași și merită memorată ca un algoritm:

1. De la vârfuri la laturi — calculezi lungimile tuturor laturilor cu formula distanței;
2. De la laturi la concluzii — compari lungimile obținute și, dacă e nevoie, pătratele lor;
3. Răspunzi la întrebarea pusă — perimetru, tip de figură, o dimensiune necunoscută.

Uneori adaugi un pas cu mijloacele (pentru diagonale), dar scheletul rămâne același. Observă că nu ai nevoie de desen ca să ajungi la răspuns — deși un desen orientativ, chiar și schițat rapid, te ferește de erori grosolane și îți spune dinainte ce așteptări să ai.

2. Perimetrul unui triunghi

Perimetrul este suma lungimilor laturilor, deci pentru un triunghi $ABC$:

$$\mathcal{P}=AB+BC+CA.$$

Fiecare termen se calculează separat cu formula distanței. Să luăm triunghiul cu vârfurile $A(0,0)$, $B(6,0)$, $C(6,8)$:

$$AB=\sqrt{(6-0{)}^2+(0-0{)}^2}=6,BC=\sqrt{(6-6{)}^2+(8-0{)}^2}=8,$$

$$CA=\sqrt{(0-6{)}^2+(0-8{)}^2}=\sqrt{36+64}=10.$$

Perimetrul este $\mathcal{P}=6+8+10=24$.

Un avertisment important: perimetrul nu este întotdeauna un număr întreg sau măcar rațional. Dacă laturile ies cu radicali, îi aduni în formă exactă, grupând radicalii de același fel: de exemplu $5+5+5\sqrt{2}=10+5\sqrt{2}$. Nu ai voie să „aproximezi pe parcurs" — rotunjirea se face doar la final și doar dacă problema o cere.

3. Ce fel de triunghi este? Isoscel, echilateral sau oarecare

După ce ai cele trei lungimi, natura triunghiului se citește imediat:

• exact două laturi egale $\to$ triunghi isoscel (latura diferită este baza, iar vârful opus ei este „vârful" triunghiului);
• toate trei egale $\to$ triunghi echilateral;
• toate diferite $\to$ triunghi oarecare (scalen).

De exemplu, pentru $A(-4,0)$, $B(4,0)$, $C(0,3)$ obținem $AB=8$, $BC=\sqrt{16+9}=5$ și $CA=\sqrt{16+9}=5$. Cum $BC=CA$, triunghiul este isoscel cu baza $[AB]$, iar perimetrul este $8+5+5=18$.

Un truc practic care economisește timp: pentru a compara laturi nu e nevoie să extragi radicalii. Dacă $B{C}^2=C{A}^2=25$, atunci sigur $BC=CA$, fiind lungimi nenegative. Lucrează cât poți cu pătratele și extrage radicalul doar la sfârșit, când chiar ai nevoie de valoarea lungimii (de pildă pentru perimetru).

4. Este triunghiul dreptunghic? Reciproca teoremei lui Pitagora

Ai la dispoziție un test complet mecanic, fără niciun unghi de măsurat. Reciproca teoremei lui Pitagora spune: dacă într-un triunghi pătratul unei laturi este egal cu suma pătratelor celorlalte două, atunci triunghiul este dreptunghic, iar unghiul drept se află în vârful opus laturii celei mai mari (ipotenuza).

Rețeta: calculezi pătratele celor trei laturi, le ordonezi crescător și verifici dacă suma primelor două este egală cu a treia.

Exemplu: $A(1,1)$, $B(5,4)$, $C(8,0)$.

$$A{B}^2=4^2+3^2=25,B{C}^2=3^2+(-4{)}^2=25,C{A}^2=(-7{)}^2+1^2=50.$$

Cum $25+25=50$, adică $A{B}^2+B{C}^2=C{A}^2$, triunghiul este dreptunghic, cu unghiul drept în $B$ (vârful opus laturii $[CA]$). În plus, $AB=BC=5$, deci triunghiul este și isoscel — un triunghi dreptunghic isoscel. Perimetrul lui este $5+5+\sqrt{50}=10+5\sqrt{2}$, pentru că $\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}$.

Observă cât de comod este testul pe pătrate: nu am extras niciun radical până la ultimul pas. Acesta e motivul pentru care, în geometria analitică, se lucrează aproape mereu cu $A{B}^2$ în loc de $AB$.

5. Trei puncte care nu formează triunghi

Nu orice trei puncte sunt vârfurile unui triunghi. Dacă ele se află pe aceeași dreaptă, „triunghiul" se turtește complet, iar acest lucru se vede în distanțe: cea mai lungă dintre ele devine exact suma celorlalte două.

Ia punctele $A(0,0)$, $B(3,4)$, $C(6,8)$:

$$AB=\sqrt{9+16}=5,BC=\sqrt{9+16}=5,AC=\sqrt{36+64}=10.$$

Avem $AB+BC=5+5=10=AC$. În orice triunghi adevărat, inegalitatea triunghiului cere ca suma a două laturi să fie strict mai mare decât a treia; aici avem egalitate, deci nu există triunghi — punctul $B$ se află chiar pe segmentul $[AC]$, la mijlocul lui. Un asemenea triunghi se numește degenerat, iar problema care cere perimetrul lui nu are răspuns geometric.

Este util să faci acest control atunci când datele îți par suspecte. (O metodă sistematică de verificare a alinierii a trei puncte, care nu presupune calculul distanțelor, vei învăța în lecția despre verificarea coliniarității a trei puncte.)

6. Patrulatere: perimetru și recunoaștere

Pentru un patrulater $ABCD$ (vârfurile luate în ordine, pe contur), perimetrul este:

$$\mathcal{P}=AB+BC+CD+DA.$$

Atenție la ordinea vârfurilor: $[AC]$ și $[BD]$ sunt diagonalele, nu laturi. Dacă le incluzi din greșeală în perimetru, rezultatul e fără sens.

Recunoașterea tipului de patrulater se face printr-o listă scurtă de verificări:

Exemplu: $A(-2,1)$, $B(2,4)$, $C(7,4)$, $D(3,1)$. Laturile: $AB=\sqrt{16+9}=5$, $BC=5$, $CD=\sqrt{16+9}=5$, $DA=5$. Mijlocul lui $[AC]$ este $\left(\frac{5}{2},\frac{5}{2}\right)$, la fel ca mijlocul lui $[BD]$ — deci e paralelogram cu toate laturile egale, adică romb, cu perimetrul $4\cdot 5=20$. Nu este pătrat: diagonalele, $AC=\sqrt{81+9}=3\sqrt{10}$ și $BD=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$, sunt evident diferite.

7. Când tu alegi reperul

Până acum coordonatele erau date. Se întâmplă însă des ca problema să descrie o figură fără coordonate („un dreptunghi cu laturile de $8$ și $6$") și să te lase pe tine să o așezi în plan. Atunci alegerea reperului este parte din rezolvare, iar o alegere bună îți simplifică toate calculele.

Reguli practice: pune originea într-un vârf al figurii sau în centrul ei de simetrie și axele de-a lungul laturilor sau al axelor de simetrie. Pentru dreptunghiul de mai sus, alegerea $A(0,0)$, $B(8,0)$, $C(8,6)$, $D(0,6)$ face ca două laturi să fie chiar pe axe, iar toate coordonatele să fie nenegative. Dacă figura are un centru de simetrie (romb, dreptunghi, pătrat), varianta cu originea în centru — de exemplu $(\pm 4,\pm 3)$ pentru același dreptunghi — dă coordonate simetrice și calcule și mai scurte.

Ideea generală: reperul nu schimbă figura, ci doar numerele cu care o descrii; alege numerele care te ajută. Vei folosi acest principiu constant în problemele practice de orientare din lecția despre coordonate în situații practice.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Perimetrul unui triunghi

Calculați perimetrul triunghiului cu vârfurile $A(0,0)$, $B(6,0)$, $C(6,8)$.

Rezolvare. Calculăm pe rând cele trei laturi:

$$AB=\sqrt{6^2+0^2}=6,BC=\sqrt{0^2+8^2}=8,CA=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10.$$

Perimetrul: $\mathcal{P}=6+8+10=24$.

Bonus: pătratele fiind $36$, $64$ și $100$, iar $36+64=100$, triunghiul este și dreptunghic, cu unghiul drept în $B$ — ceea ce se vede și pe desen, laturile $[AB]$ și $[BC]$ fiind paralele cu axele. $■$

Exemplul 2 — Triunghi isoscel

Arătați că triunghiul cu vârfurile $A(-4,0)$, $B(4,0)$, $C(0,3)$ este isoscel și calculați-i perimetrul.

Rezolvare.

$$AB=|4-(-4)|=8,BC=\sqrt{(0-4{)}^2+3^2}=\sqrt{16+9}=5,CA=\sqrt{4^2+3^2}=5.$$

Cum $BC=CA=5$, triunghiul este isoscel cu baza $[AB]$ și vârful în $C$. Perimetrul: $\mathcal{P}=8+5+5=18$.

Rezultatul era previzibil: $A$ și $B$ sunt simetrice față de axa $Oy$, iar $C$ se află pe această axă, deci axa $Oy$ este axă de simetrie a triunghiului. $■$

Exemplul 3 — Triunghi dreptunghic isoscel

Se dau punctele $A(1,1)$, $B(5,4)$, $C(8,0)$. Arătați că triunghiul $ABC$ este dreptunghic și calculați-i perimetrul.

Rezolvare. Calculăm pătratele laturilor, ca să evităm radicalii până la final:

$$A{B}^2=(5-1{)}^2+(4-1{)}^2=16+9=25,$$ $$B{C}^2=(8-5{)}^2+(0-4{)}^2=9+16=25,$$ $$C{A}^2=(1-8{)}^2+(1-0{)}^2=49+1=50.$$

Cea mai mare este $C{A}^2=50$, iar $A{B}^2+B{C}^2=25+25=50=C{A}^2$. Conform reciprocei teoremei lui Pitagora, triunghiul este dreptunghic, cu unghiul drept în $B$ (vârful opus laturii $[CA]$).

Cum $A{B}^2=B{C}^2$, avem $AB=BC=5$: triunghiul este și isoscel. Perimetrul:

$$\mathcal{P}=5+5+\sqrt{50}=10+5\sqrt{2}\approx 17,07.■$$

Exemplul 4 — Perimetrul unui paralelogram

Arătați că $ABCD$ cu $A(-1,-1)$, $B(2,3)$, $C(8,3)$, $D(5,-1)$ este paralelogram și calculați-i perimetrul.

Rezolvare. Verificăm întâi condiția diagonalelor. Mijlocul lui $[AC]$: $\left(\frac{-1+8}{2},\frac{-1+3}{2}\right)=\left(\frac{7}{2},1\right)$. Mijlocul lui $[BD]$: $\left(\frac{2+5}{2},\frac{3-1}{2}\right)=\left(\frac{7}{2},1\right)$. Mijloacele coincid, deci diagonalele se înjumătățesc și $ABCD$ este paralelogram.

Laturile:

$$AB=\sqrt{3^2+4^2}=5,BC=\sqrt{6^2+0^2}=6,CD=\sqrt{3^2+4^2}=5,DA=\sqrt{6^2+0^2}=6.$$

Laturile opuse sunt egale, cum era de așteptat, iar perimetrul este $\mathcal{P}=2(5+6)=22$.

Nu este nici romb (laturile consecutive diferă: $5\ne 6$), nici dreptunghi: diagonalele, $AC=\sqrt{81+16}=\sqrt{97}$ și $BD=\sqrt{9+16}=5$, nu sunt egale. $■$

Exemplul 5 — Puncte care nu formează triunghi

Verificați dacă punctele $A(0,0)$, $B(3,4)$, $C(6,8)$ pot fi vârfurile unui triunghi.

Rezolvare. Calculăm distanțele:

$$AB=\sqrt{9+16}=5,BC=\sqrt{9+16}=5,AC=\sqrt{36+64}=10.$$

Verificăm inegalitatea triunghiului pentru cea mai mare distanță: $AB+BC=5+5=10$, adică exact $AC$, nu mai mult. Într-un triunghi propriu-zis suma a două laturi este strict mai mare decât a treia, deci punctele nu formează un triunghi: ele sunt situate pe aceeași dreaptă, iar $B$ este chiar mijlocul segmentului $[AC]$ — se verifică imediat cu formula mijlocului: $\left(\frac{0+6}{2},\frac{0+8}{2}\right)=(3,4)=B$ ✓. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat: un romb

Se consideră punctele $A(-2,1)$, $B(2,4)$, $C(7,4)$ și $D(3,1)$. a) Arătați că patrulaterul $ABCD$ este romb. b) Calculați perimetrul lui. c) Stabiliți dacă este pătrat.

Rezolvare. a) Verificăm mai întâi că e paralelogram, prin mijloacele diagonalelor:

$$M_{AC}=\left(\frac{-2+7}{2},\frac{1+4}{2}\right)=\left(\frac{5}{2},\frac{5}{2}\right),M_{BD}=\left(\frac{2+3}{2},\frac{4+1}{2}\right)=\left(\frac{5}{2},\frac{5}{2}\right).$$

Mijloacele coincid, deci $ABCD$ este paralelogram. Calculăm acum laturile:

$$AB=\sqrt{4^2+3^2}=5,BC=\sqrt{5^2+0^2}=5,CD=\sqrt{(-4{)}^2+(-3{)}^2}=5,DA=\sqrt{5^2+0^2}=5.$$

Fiind un paralelogram cu toate laturile egale, $ABCD$ este romb.

b) $\mathcal{P}=4\cdot 5=20$.

c) Un romb este pătrat doar dacă are și diagonalele egale. Aici:

$$AC=\sqrt{9^2+3^2}=\sqrt{90}=3\sqrt{10},BD=\sqrt{1^2+(-3{)}^2}=\sqrt{10}.$$

Cum $3\sqrt{10}\ne \sqrt{10}$, rombul nu este pătrat. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Fă de fiecare dată o schiță rapidă a figurii înainte de calcule — nu ca să măsori pe ea, ci ca să știi la ce rezultat să te aștepți. Lucrează cu pătratele distanțelor cât timp doar compari și extrage radicalii abia la perimetru.

1. Calculează perimetrul triunghiului cu vârfurile $A(0,0)$, $B(3,0)$, $C(0,4)$.

2. Calculează perimetrul triunghiului cu vârfurile $A(1,-2)$, $B(9,4)$, $C(1,4)$.

3. Calculează perimetrul triunghiului cu vârfurile $A(-1,2)$, $B(3,-1)$, $C(6,3)$, lăsând rezultatul în formă exactă.

4. Arată că triunghiul cu vârfurile $A(-5,0)$, $B(5,0)$, $C(0,12)$ este isoscel și calculează-i perimetrul.

5. Stabilește dacă triunghiul cu vârfurile $A(0,0)$, $B(4,0)$, $C(2,3)$ este echilateral, isoscel sau oarecare.

6. Arată că triunghiul cu vârfurile $A(2,1)$, $B(5,5)$, $C(2,5)$ este dreptunghic, precizează vârful unghiului drept și calculează perimetrul.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă vârfurile unui triunghi au coordonate întregi, atunci perimetrul lui este un număr întreg."

8. Calculează perimetrul patrulaterului $ABCD$ cu $A(0,0)$, $B(4,3)$, $C(9,3)$, $D(5,0)$ și precizează ce fel de patrulater este.

9. Arată că patrulaterul cu vârfurile $A(1,2)$, $B(4,3)$, $C(6,7)$, $D(3,6)$ este paralelogram și calculează-i perimetrul.

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Un patrulater cu toate laturile egale este pătrat."

11. Se dă patrulaterul $ABCD$ cu $A(-2,1)$, $B(6,1)$, $C(6,7)$, $D(-2,7)$. Arată că este dreptunghi (paralelogram cu diagonalele egale) și calculează-i perimetrul.

12. Verifică dacă punctele $A(-2,-3)$, $B(0,0)$, $C(4,6)$ pot fi vârfurile unui triunghi.

13. (Problemă aplicată.) Un teren triunghiular are colțurile în punctele $A(0,0)$, $B(40,0)$ și $C(40,30)$, coordonatele fiind exprimate în metri. Câți metri de gard sunt necesari pentru a-l împrejmui complet? Dacă un metru de gard costă $25$ de lei, cât costă lucrarea?

14. Determină valorile lui $m$ pentru care triunghiul cu vârfurile $A(0,0)$, $B(6,0)$, $C(6,m)$ are perimetrul egal cu $24$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră punctele $A(1,0)$, $B(7,0)$ și $C(4,4)$. a) Calculați perimetrul triunghiului $ABC$. b) Arătați că triunghiul $ABC$ este isoscel.

16. Se dau punctele $A(1,1)$, $B(5,1)$ și $C(7,4)$. Determină al patrulea vârf $D$ al paralelogramului $ABCD$ și calculează perimetrul acestuia.

17. (Raționament.) Explică de ce, pentru a verifica dacă un triunghi este dreptunghic pornind de la coordonate, este suficient să compari pătratul celei mai mari laturi cu suma pătratelor celorlalte două — și de ce nu ai nevoie să extragi niciun radical.

18. (Provocare.) Se dau punctele $A(-3,0)$ și $B(3,0)$. Determină toate punctele $C$ situate pe axa $Oy$ pentru care triunghiul $ABC$ are perimetrul egal cu $16$. Ce fel de triunghiuri obții?

Răspunsuri și explicații

1. $AB=3$ (segment orizontal), $CA=4$ (segment vertical), $BC=\sqrt{9+16}=5$. Perimetrul: $3+4+5=12$. (Triunghiul este dreptunghic în $A$, catetele fiind pe axe.)

2. $CA=|-2-4|=6$, $BC=|9-1|=8$, $AB=\sqrt{64+36}=10$. Perimetrul: $6+8+10=24$.

3. $AB=\sqrt{16+9}=5$, $BC=\sqrt{9+16}=5$, $CA=\sqrt{49+1}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$. Perimetrul: $\mathcal{P}=10+5\sqrt{2}$. (Fiind $25+25=50$, triunghiul e și dreptunghic isoscel, cu unghiul drept în $B$.)

4. $AB=10$, $BC=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$, $CA=\sqrt{25+144}=13$. Cum $BC=CA$, triunghiul este isoscel cu baza $[AB]$; perimetrul este $10+13+13=36$.

5. $AB=4$, $BC=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$, $CA=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$. Două laturi egale și una diferită ($\sqrt{13}\approx 3,61\ne 4$), deci triunghiul este isoscel, nu echilateral.

6. $A{B}^2=9+16=25$, $B{C}^2=9+0=9$, $C{A}^2=0+16=16$. Cum $9+16=25$, adică $B{C}^2+C{A}^2=A{B}^2$, triunghiul e dreptunghic cu unghiul drept în $C$ (vârful opus laturii $[AB]$). Laturile sunt $3$, $4$, $5$, deci perimetrul este $12$.

7. Fals. Laturile se obțin prin radicali, care de multe ori sunt iraționali. Contraexemplu: triunghiul de la exercițiul 3 are vârfuri cu coordonate întregi, dar perimetrul $10+5\sqrt{2}$, număr irațional.

8. $AB=\sqrt{16+9}=5$, $BC=5$, $CD=\sqrt{16+9}=5$, $DA=5$; perimetrul este $20$. Mijloacele diagonalelor coincid — ambele sunt $\left(\frac{9}{2},\frac{3}{2}\right)$ — deci figura e paralelogram cu toate laturile egale, adică romb. Nu e pătrat: $AC=\sqrt{81+9}=3\sqrt{10}$, iar $BD=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$.

9. Mijlocul lui $[AC]$ este $\left(\frac{7}{2},\frac{9}{2}\right)$ și mijlocul lui $[BD]$ este $\left(\frac{7}{2},\frac{9}{2}\right)$ — coincid, deci $ABCD$ e paralelogram. Laturile: $AB=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$, $BC=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$, iar $CD=\sqrt{10}$, $DA=2\sqrt{5}$. Perimetrul: $\mathcal{P}=2\sqrt{10}+4\sqrt{5}$.

10. Fals. Un patrulater cu toate laturile egale este romb, iar pătratul este doar cazul particular în care are și unghiurile drepte (echivalent: diagonalele egale). Contraexemplu: rombul de la exercițiul 8, cu laturile egale cu $5$, dar cu diagonalele $3\sqrt{10}$ și $\sqrt{10}$.

11. Laturile: $AB=8$, $BC=6$, $CD=8$, $DA=6$, deci perimetrul este $2(8+6)=28$. Mijloacele diagonalelor coincid, ambele fiind $(2,4)$, deci figura e paralelogram; în plus $AC=\sqrt{64+36}=10$ și $BD=\sqrt{64+36}=10$, diagonale egale — prin urmare dreptunghi.

12. $AB=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$, $BC=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$, $AC=\sqrt{36+81}=\sqrt{117}=3\sqrt{13}$. Cum $\sqrt{13}+2\sqrt{13}=3\sqrt{13}=AC$, inegalitatea triunghiului este atinsă cu egalitate: punctele nu formează un triunghi, ele fiind situate pe aceeași dreaptă (punctul $B$ este între $A$ și $C$).

13. $AB=40$, $BC=30$, $CA=\sqrt{1600+900}=\sqrt{2500}=50$. Perimetrul: $40+30+50=120$ de metri de gard. Costul: $120\cdot 25=3000$ de lei.

14. Avem $AB=6$, $BC=|m|$ și $CA=\sqrt{36+m^2}$. Condiția devine $6+|m|+\sqrt{36+m^2}=24$, adică $\sqrt{36+m^2}=18-|m|$. Ridicăm la pătrat (membrul drept trebuie să fie nenegativ, deci $|m|\le 18$): $36+m^2=324-36|m|+m^2$, de unde $36|m|=288$ și $|m|=8$. Așadar $m=8$ sau $m=-8$; ambele dau laturile $6$, $8$, $10$ și perimetrul $24$ ✓.

15. a) $AB=|7-1|=6$, $BC=\sqrt{(4-7{)}^2+4^2}=\sqrt{9+16}=5$, $CA=\sqrt{(1-4{)}^2+(0-4{)}^2}=\sqrt{9+16}=5$. Perimetrul: $\mathcal{P}=6+5+5=16$. b) Cum $BC=CA=5$, triunghiul este isoscel cu baza $[AB]$. (Se putea observa direct că $C$ are abscisa $4$, adică se află exact deasupra mijlocului segmentului $[AB]$.)

16. În paralelogramul $ABCD$, diagonalele $[AC]$ și $[BD]$ au același mijloc, deci $x_D=x_A+x_C-x_B=1+7-5=3$ și $y_D=y_A+y_C-y_B=1+4-1=4$: $D(3,4)$. Laturile: $AB=4$, $BC=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$, $CD=4$, $DA=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$. Perimetrul: $\mathcal{P}=8+2\sqrt{13}$.

17. Reciproca teoremei lui Pitagora cere egalitatea $a^2=b^2+c^2$, unde $a$ este latura cea mai mare — iar formula distanței îți dă direct $A{B}^2=(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2$, adică exact pătratul, înainte de extragerea radicalului. Testezi doar latura cea mai mare pentru că ipotenuza este obligatoriu latura cea mai lungă a unui triunghi dreptunghic (stă în fața unghiului celui mai mare); pentru celelalte două laturi egalitatea este imposibilă. Nu ai nevoie de radicali pentru că o egalitate între pătratele unor numere nenegative este echivalentă cu egalitatea numerelor — radicalul ar adăuga doar aproximări și erori.

18. Un punct de pe $Oy$ are forma $C(0,c)$. Laturile: $AB=6$, iar $CA=\sqrt{9+c^2}=CB$ (punctele $A$ și $B$ sunt simetrice față de $Oy$, deci orice punct al axei e egal depărtat de ele). Condiția: $6+2\sqrt{9+c^2}=16$, deci $\sqrt{9+c^2}=5$, adică $9+c^2=25$ și $c^2=16$, de unde $c=4$ sau $c=-4$. Punctele sunt $C_1(0,4)$ și $C_2(0,-4)$, simetrice față de axa $Ox$. Ambele triunghiuri sunt isoscele, cu laturile $6$, $5$, $5$ și perimetrul $16$ ✓; nu sunt dreptunghice, pentru că $25+25=50\ne 36$ și $25+36=61\ne 25$.

De reținut

• Perimetrul unei figuri cu vârfuri date prin coordonate se calculează adunând lungimile laturilor, fiecare obținută cu formula distanței; radicalii se adună în formă exactă, fără rotunjiri intermediare.
• Tipul triunghiului se citește din laturi: două laturi egale $\to$ isoscel, trei egale $\to$ echilateral, toate diferite $\to$ oarecare.
• Triunghi dreptunghic: compari pătratele laturilor și verifici dacă suma celor două mai mici este egală cu cea mai mare (reciproca teoremei lui Pitagora); unghiul drept este în vârful opus laturii celei mai mari.
• Trei puncte nu formează triunghi dacă cea mai mare distanță este exact suma celorlalte două — inegalitatea triunghiului devine egalitate, iar figura este degenerată.
• Patrulatere: diagonale cu același mijloc $\to$ paralelogram; plus laturi egale $\to$ romb; plus diagonale egale $\to$ dreptunghi; ambele condiții $\to$ pătrat. În $ABCD$, diagonalele sunt $[AC]$ și $[BD]$, nu laturi.

Greșeli frecvente

• Includerea diagonalei în perimetru. La patrulaterul $ABCD$ se adună din greșeală și $AC$. Perimetrul are exact patru termeni: $AB+BC+CD+DA$, în ordinea conturului.
• Aproximarea pe parcurs. Se scrie $\sqrt{50}\approx 7,07$ și se adună zecimale. Corect: se lucrează exact ($\sqrt{50}=5\sqrt{2}$) și se rotunjește doar la final, dacă problema o cere.
• Testarea unei laturi greșite la Pitagora. Se verifică $A{B}^2+C{A}^2=B{C}^2$ fără a observa care latură e cea mai mare. Ordonează întâi pătratele, apoi testează.
• Confuzia romb–pătrat și paralelogram–dreptunghi. Laturile egale nu garantează unghiuri drepte. Pentru dreptunghi și pătrat se verifică suplimentar egalitatea diagonalelor.
• Ignorarea cazului degenerat. Se calculează „perimetrul" a trei puncte aliniate. Când suma a două distanțe egalează pe a treia, nu există triunghi — răspunsul corect este chiar această observație.

Aplică acasă

1. Câți metri de gard? Alege în Google Maps un teren sau o curte cu formă poligonală simplă și, folosind funcția de măsurare, citește coordonatele aproximative ale colțurilor față de un colț ales ca origine (unitatea: $1$ metru). Calculează perimetrul cu formula distanței și compară-l cu valoarea dată de aplicație. De unde vin diferențele?

2. Ce formă are camera ta? Măsoară colțurile camerei punând originea într-un colț și axele pe două pereți alăturați. Notează coordonatele celor patru colțuri, calculează cele patru laturi și cele două diagonale și stabilește riguros ce fel de patrulater este camera: dreptunghi, paralelogram sau patrulater oarecare. Verifică apoi cu ruleta egalitatea diagonalelor — este exact testul folosit de constructori pentru a „echera" o încăpere.

3. Triunghiul din curte. Marchează trei puncte în curte sau pe terenul de sport și măsoară-le poziția față de un reper ales de tine (un colț de teren, cu laturile ca axe, unitatea $1$ metru). Calculează cele trei laturi și stabilește ce fel de triunghi ai format, apoi verifică o singură latură cu ruleta. Încearcă să muți al treilea punct astfel încât triunghiul să devină dreptunghic — și confirmă prin calcul, nu din ochi.

Pentru părinți și profesori

Lecția încheie unitatea dedicată punctelor în plan și are rol de sinteză: elevul folosește împreună formula distanței și formula mijlocului pentru a răspunde la întrebări despre o figură dată exclusiv prin coordonate. Competențele vizate din programă sunt analizarea relațiilor de poziționare dintre obiecte în planul cartezian și modelarea unor situații practice cu ajutorul geometriei analitice — de aceea o parte dintre aplicații sunt de tip „teren", „cameră", „hartă".

Întrebări bune de control: „Ce calculezi mai întâi când primești vârfurile unei figuri?" (lungimile laturilor); „Cum arăți că un triunghi este dreptunghic fără să măsori unghiuri?" (reciproca teoremei lui Pitagora, aplicată pătratelor laturilor); „De ce e mai comod să lucrezi cu pătratele distanțelor?" (eviți radicalii, iar egalitatea pătratelor este echivalentă cu egalitatea lungimilor); „Ce deosebește un romb de un pătrat, în coordonate?" (diagonalele egale); „Când trei puncte nu formează triunghi?" (când cea mai mare distanță este suma celorlalte două). Semne că a înțeles: nu include diagonalele în perimetru, păstrează rezultatele exacte cu radicali și își justifică fiecare concluzie printr-un calcul, nu prin aspectul desenului.

La teze și la Bacalaureat, acest tip de problemă apare foarte des în formatul „se consideră punctele $A$, $B$, $C$" urmat de două-trei cerințe gradate: a) calculați o distanță sau perimetrul, b) arătați că triunghiul este isoscel/dreptunghic, c) determinați un al patrulea punct sau un parametru. Fiecare cerință se punctează independent, deci un elev care stăpânește doar formula distanței poate obține deja o parte însemnată din punctaj.

Întrebări frecvente

Cum calculez perimetrul unui triunghi dacă știu coordonatele vârfurilor? Calculezi lungimile celor trei laturi cu formula distanței dintre două puncte și le aduni: $\mathcal{P}=AB+BC+CA$. Dacă apar radicali, îi lași în formă exactă și grupezi radicalii de același fel.

Cum arăt că un triunghi cu vârfuri date prin coordonate este isoscel? Calculezi cele trei laturi și arăți că exact două sunt egale. Pentru comparație e suficient să compari pătratele lor, fără să extragi radicalii: dacă $A{B}^2=A{C}^2$, atunci $AB=AC$, fiind lungimi nenegative.

Cum verific dacă un triunghi este dreptunghic folosind coordonatele? Calculezi pătratele laturilor, le ordonezi și verifici dacă suma celor două mai mici este egală cu cel mai mare. Dacă da, triunghiul este dreptunghic, iar unghiul drept se află în vârful opus laturii celei mai mari.

Ce fac dacă cele trei puncte se dovedesc a fi pe aceeași dreaptă? Atunci ele nu formează un triunghi, iar problema nu are perimetru. Semnul de recunoaștere este că cea mai mare distanță este exact suma celorlalte două, adică inegalitatea triunghiului devine egalitate.

Cum aflu ce fel de patrulater este $ABCD$ dacă știu coordonatele vârfurilor? Verifici întâi dacă diagonalele $[AC]$ și $[BD]$ au același mijloc — atunci e paralelogram. Adaugi apoi două teste: laturi egale (romb) și diagonale egale (dreptunghi); ambele împreună înseamnă pătrat.

De ce se lucrează cu pătratele distanțelor și nu cu distanțele? Pentru că formula distanței produce pătratul înainte de radical, iar comparațiile (laturi egale, reciproca teoremei lui Pitagora) funcționează la fel de bine pe pătrate. Eviți astfel radicalii, aproximările și greșelile de calcul.

Perimetrul unei figuri din reper poate fi un număr irațional? Da, și se întâmplă des. De exemplu, un triunghi dreptunghic isoscel cu catetele de $5$ are perimetrul $10+5\sqrt{2}$. Răspunsul se lasă în această formă exactă, nu se înlocuiește cu o valoare zecimală.

Cum aleg reperul dacă problema nu îmi dă coordonatele? Pui originea într-un vârf al figurii sau în centrul ei de simetrie și axele de-a lungul laturilor ori al axelor de simetrie. Alegerea nu schimbă figura, dar poate simplifica mult calculele, dând coordonate mici, întregi și, pe cât posibil, pozitive.