Formula Leibniz–Newton se aplică funcției $$f$$ pe $$[a, b]$$ dacă:

$$f$$ este integrabilă pe $$[a, b]$$ și admite acolo o primitivă $$F$$

$$f$$ este monotonă pe $$[a, b]$$

$$f$$ este derivabilă pe $$[a, b]$$

$$f$$ este mărginită pe $$[a, b]$$

De ce este greșit calculul $$\displaystyle\int_{-1}^{1} \dfrac{dx}{x^{2}} = -\dfrac1x\Big\vert_{-1}^{1} = -2$$?

pentru că funcția nu este definită și nici mărginită în $$0 \in [-1, 1]$$, deci formula nu se aplică

pentru că primitiva corectă este $$\dfrac1x$$

pentru că limitele trebuie inversate

Ce spune formula Leibniz-Newton?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Formula Leibniz–Newton

Dacă $f$ este integrabilă pe $[a, b]$ și are acolo primitiva $F$ , atunci $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ . Formula leagă calculul primitivelor de valoarea integralei și preschimbă o limită de sume într-o scădere de două numere. La integrala definită nu se mai scrie constantă, fiindcă ea s-ar reduce în diferență, iar rezultatul este un număr, care poate ieși și negativ.

Formula Leibniz–Newton leagă cele două fețe ale capitolului: dacă $f$ este integrabilă pe $[a, b]$ și admite acolo primitiva $F$ , atunci $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ . Ambele ipoteze se scriu în rezolvare; propoziția „ $f$ este continuă pe $[a, b]$ , deci este integrabilă și admite primitive” le acoperă pe amândouă și are punctaj la Bacalaureat M1.

Demonstrația pornește de la o diviziune oarecare și aplică pe fiecare subinterval teorema lui Lagrange a creșterilor finite: $F (b) - F (a) = \sum (F (x_{i}) - F (x_{i - 1})) = \sum f (ξ_{i}) (x_{i} - x_{i - 1})$ , adică exact o sumă Riemann. Cum $f$ este integrabilă, trecerea la limită după $∥ Δ ∥ \to 0$ dă concluzia.

Notația de calcul este $F (x)_{a}^{b} = F (b) - F (a)$ și nu depinde de primitiva aleasă: o constantă adăugată se simplifică în diferență. De aceea la integrala definită nu se scrie $+ C$ , iar rezultatul este un număr.

Formula cere ca primitiva să existe pe tot intervalul de integrare. Aplicată peste un punct în care funcția nu este definită sau este nemărginită, produce rezultate false: scrierea $\int_{- 1}^{1} \frac{d x}{x ^{2}} = - 2$ dă un număr negativ pentru o funcție pozitivă. Convențiile $\int_{a}^{a} f = 0$ și $\int_{b}^{a} f = - \int_{a}^{b} f$ rămân în vigoare.

De reținut

$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$
$f$ continuă pe $[a, b]$ : integrabilă și cu primitive
la integrala definită nu se scrie $C$

Greșeala tipică

Formula se folosește și dincolo de un punct unde funcția își pierde sensul. Fără o primitivă valabilă de la un capăt la celălalt, numărul care iese nu are nicio legătură cu integrala cerută.

Exerciții din această mini-lecție

Formula Leibniz–Newton se aplică funcției $f$ pe $[a, b]$ dacă:
- a) $f$ este monotonă pe $[a, b]$
- b) $f$ este derivabilă pe $[a, b]$
- c) $f$ este mărginită pe $[a, b]$
- d) $f$ este integrabilă pe $[a, b]$ și admite acolo o primitivă $F$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $f$ este integrabilă pe $[a, b]$ și admite acolo o primitivă $F$

Acestea sunt exact cele două ipoteze din enunț. Ele sunt îndeplinite automat de orice funcție continuă pe $[a, b]$ , dar nu de orice funcție mărginită sau monotonă: funcția semn este integrabilă și nu are primitive, deci formula nu i se aplică.
$\int_{0}^{\frac{π}{2}} sin x d x$ este egală cu:
- a) $0$
- b) $- 1$
- c) $1$
- d) $2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $1$

O primitivă a lui $sin$ este $- cos$ , deci $\int_{0}^{\frac{π}{2}} sin x d x = - cos x_{0}^{\frac{π}{2}} = - cos \frac{π}{2} + cos 0 = 0 + 1 = 1$ . Varianta $- 1$ apare când se ia $cos$ drept primitivă a lui $sin$ , iar $0$ când se pierde al doilea termen al diferenței.
De ce este greșit calculul $\int_{- 1}^{1} \frac{d x}{x ^{2}} = - \frac{1}{x}_{- 1}^{1} = - 2$ ?
- a) pentru că funcția nu este definită și nici mărginită în $0 \in [- 1, 1]$ , deci formula nu se aplică
- b) pentru că primitiva corectă este $\frac{1}{x}$
- c) pentru că limitele trebuie inversate
- d) calculul nu este greșit
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) pentru că funcția nu este definită și nici mărginită în $0 \in [- 1, 1]$ , deci formula nu se aplică

Formula cere ca primitiva să existe pe tot intervalul, iar aici funcția nici măcar nu este definită în $0$ ; fiind nemărginită, nu este nici integrabilă pe $[- 1, 1]$ . Semnalul de alarmă este rezultatul negativ obținut pentru o funcție strict pozitivă.

Întrebări conexe

Ce propoziție acoperă amândouă ipotezele formulei, la examen?

Propoziția că funcția este continuă pe intervalul închis. De aici rezultă deodată și integrabilitatea, printr-o teoremă de clasă, și existența primitivelor, prin teorema de existență. Rândul acesta se scrie înaintea calculului și are punctajul lui în barem.

Ce înseamnă bara verticală cu limite scrisă după o primitivă?

Este notația de calcul pentru diferența dintre valorile primitivei în cele două capete, adică $F (b) - F (a)$ . Se scrie după ce ai găsit primitiva și înaintea înlocuirii numerelor. Bara nu are legătură cu modulul, deși semnul rezultatului se verifică la fel de atent.

De ce nu contează ce primitivă aleg în formulă?

Fiindcă două primitive ale aceleiași funcții diferă printr-o constantă, iar aceasta se simplifică în scădere. Poți lua deci varianta cea mai simplă. Din același motiv, o constantă scrisă la o integrală definită nu ar schimba rezultatul, dar arată că regula nu a fost înțeleasă.

Ce iese greșit la integrala de la minus 1 la 1 din 1 supra x pătrat?

Iese $- 2$ , deși integrandul este pozitiv, ceea ce arată imediat că undeva s-a greșit. Funcția nu este definită în origine și nici mărginită lângă ea, deci nu este integrabilă pe acel interval, iar formula nu se putea aplica peste acel punct.

Ce legătură are formula cu tabelul primitivelor?

Tabelul dă primitiva, iar formula o preschimbă în număr. Fără tabel nu ai ce înlocui, iar fără formulă ai rămâne cu o familie de funcții acolo unde se cere un număr. Metodele de calcul lucrează toate la nivelul primitivei.

Oamenii mai întreabă și: formula Leibniz Newton · cum calculez o integrală definită · F de b minus F de a · ipotezele formulei Leibniz Newton · de ce nu se scrie C la integrala definită