„Regula celor trei coloane” din formularul clasei a XII-a spune că orice formulă se citește pe coloanele:

enunțul / condițiile / lecția-sursă

enunțul / demonstrația / exemplul

definiția / teorema / consecința

formula / exemplul / exercițiul

Dintre rândurile tabelului primitivelor, singurul care nu cere modul în rezultat este:

$$\displaystyle\int\dfrac{dx}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}} = \ln\left(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\right) + \mathcal{C}$$

$$\displaystyle\int\dfrac{dx}{x} = \ln\lvert x \rvert + \mathcal{C}$$

$$\displaystyle\int\dfrac{dx}{x^{2}-a^{2}} = \dfrac{1}{2a}\ln\left\lvert\dfrac{x-a}{x+a}\right\rvert + \mathcal{C}$$

$$\displaystyle\int\operatorname{tg} x\,dx = -\ln\lvert\cos x\rvert + \mathcal{C}$$

$$\displaystyle\int \dfrac{dx}{x^{2}-16}$$ este egală cu:

$$\dfrac{1}{8}\ln\left\lvert\dfrac{x-4}{x+4}\right\rvert + \mathcal{C}$$

$$\dfrac14\operatorname{arctg}\dfrac{x}{4} + \mathcal{C}$$

$$\dfrac{1}{4}\ln\left\lvert\dfrac{x-4}{x+4}\right\rvert + \mathcal{C}$$

$$\ln\left\lvert x^{2}-16 \right\rvert + \mathcal{C}$$

Ce formule trebuie știute pentru Bac M1?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Formularul clasei a XII-a

Cele opt tablouri ale anului: legile de compoziție și grupurile; inelele și polinoamele; conicele; limitele și asimptotele; derivatele cu studiul funcțiilor; tabelul primitivelor; integrala definită; aplicațiile integralei. Fiecare rezultat se ține minte împreună cu condițiile în care este adevărat, fiindcă majoritatea greșelilor vin din formule corecte folosite în afara lor.

Formularul este lista rezultatelor pe care le poți folosi fără să le redemonstrezi, fiecare însoțit de condițiile în care e adevărat. Se citește după regula celor trei coloane: enunțul (ce spune), condițiile (unde e valabil) și lecția (de unde vine). Coloana a doua salvează punctele la examen — majoritatea greșelilor de barem nu sunt formule greșite, ci formule corecte folosite în afara condițiilor lor —, iar coloana a treia salvează formula însăși, pentru că o deducere refăcută se ține minte mai bine decât o formulă citită de zece ori. Cele opt tablouri urmează ordinea unităților anului. Firul roșu al structurilor algebrice este forma factorizată $(x - a) (y - a) + a$ , din care se citesc deodată partea stabilă, neutrul $e = a + 1$ , simetricul și izomorfismul $f (x) = x - a$ . La conice, elementele se citesc după normalizarea ecuației, iar la parabola $y^{2} = 2 p x$ focarul stă la distanța $\frac{p}{2}$ de vârf, nu $p$ . Cele $16$ rânduri ale tabelului primitivelor sunt tabelul derivatelor citit invers, fiecare cu intervalul lui: rândurile $3$ , $11$ , $14$ și $16$ cer modul, iar rândul $13$ nu, pentru că argumentul $x + x^{2} + a^{2}$ e strict pozitiv. Integrala definită și aplicațiile ei se sprijină pe două formule-mamă: Leibniz–Newton pentru calcul și $S = \int_{a}^{b} f$ pentru arie, din care ies volumul, valoarea medie și centrul de greutate.

De reținut

fiecare formulă vine cu condițiile ei
$16$ rânduri de primitive, fiecare cu intervalul lui
conice: elementele se citesc după normalizare

Greșeala tipică

Se memorează formulele fără condițiile lor. O formulă corectă folosită în afara ipotezelor dă un rezultat fals, iar baremul taie punctele exact acolo, nu la calculul de după.

Exerciții din această mini-lecție

„Regula celor trei coloane” din formularul clasei a XII-a spune că orice formulă se citește pe coloanele:
- a) enunțul / demonstrația / exemplul
- b) enunțul / condițiile / lecția-sursă
- c) definiția / teorema / consecința
- d) formula / exemplul / exercițiul
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) enunțul / condițiile / lecția-sursă

A doua coloană este cea care aduce sau pierde punctele: „pe un interval”, „ $f$ continuă”, „ $a > 0$ ”, „ $p^{2} - 4 q < 0$ ”. A treia coloană salvează formula însăși — dacă ai uitat-o, te întorci la lecție și o refaci în două rânduri. Formularul nu ține locul înțelegerii: el este ceea ce rămâne în mână după ce înțelegerea a fost făcută.
Dintre rândurile tabelului primitivelor, singurul care nu cere modul în rezultat este:
- a) $\int \frac{d x}{x ^{2} + a ^{2}} = ln (x + x^{2} + a^{2}) + C$
- b) $\int \frac{d x}{x} = ln ∣ x ∣ + C$
- c) $\int \frac{d x}{x ^{2} - a ^{2}} = \frac{1}{2 a} ln \frac{x - a}{x + a} + C$
- d) $\int tg x d x = - ln ∣ cos x ∣ + C$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\int \frac{d x}{x ^{2} + a ^{2}} = ln (x + x^{2} + a^{2}) + C$

La rândul $13$ argumentul logaritmului, $x + x^{2} + a^{2}$ , este strict pozitiv pentru orice $x$ real, pentru că $x^{2} + a^{2} > ∣ x ∣$ ; de aceea modulul e de prisos. La rândurile $3$ , $11$ , $14$ și $16$ argumentul își schimbă semnul pe domeniu, deci modulul rămâne. Scoaterea lui fără justificare este una dintre greșelile constante de barem.
$\int \frac{d x}{x ^{2} - 16}$ este egală cu:
- a) $\frac{1}{4} arctg \frac{x}{4} + C$
- b) $\frac{1}{4} ln \frac{x - 4}{x + 4} + C$
- c) $\frac{1}{8} ln \frac{x - 4}{x + 4} + C$
- d) $ln x^{2} - 16 + C$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\frac{1}{8} ln \frac{x - 4}{x + 4} + C$

Este rândul $11$ , cu $a = 4$ : $\int \frac{d x}{x ^{2} - a ^{2}} = \frac{1}{2 a} ln \frac{x - a}{x + a} + C$ , deci coeficientul este $\frac{1}{2 \cdot 4} = \frac{1}{8}$ , pe un interval care nu conține $\pm 4$ . Rândul $12$ , cu arctangentă, are la numitor suma $x^{2} + a^{2}$ — confuzia dintre cele două rânduri e cea mai frecventă. Ultima variantă ar cere ca numărătorul să fie derivata numitorului.

Întrebări conexe

Cum folosesc formularul în timpul rezolvării?

Îl deschizi la tabloul potrivit, cauți enunțul de care ai nevoie și citești mai întâi condițiile, ca să vezi dacă exercițiul le îndeplinește. Abia apoi scrii formula pe foaie. Căutarea trebuie să fie scurtă, deci ordinea tablourilor merită știută pe de rost.

Ce salvează coloana condițiilor la examen?

Punctele pierdute prin folosirea unei formule bune în afara domeniului ei. Cele mai multe puncte se pierd nu pe formule scrise greșit, ci pe formule folosite fără ipotezele lor: o teoremă fără continuitate, o împărțire fără verificarea numitorului.

Câte tablouri are formularul și în ce ordine?

Opt, în ordinea unităților din anul școlar: structuri algebrice, inele și polinoame, conice, limite și asimptote, derivate, primitive, integrala definită, aplicațiile ei. Ordinea aceasta ajută la recunoașterea familiei din care vine o problemă.

Unde stă focarul parabolei y pătrat egal 2px?

Pe axa de simetrie, la jumătate din parametrul din ecuație față de vârf, nu la o distanță egală cu el. Confuzia dintre cele două este greșeala cea mai deasă la conice, iar elementele se citesc numai după normalizarea ecuației.

Care sunt cele două formule-mamă de la integrala definită?

Cea care leagă integrala de diferența valorilor unei primitive și cea care dă aria de sub un grafic. Din ele ies volumul corpului de rotație, valoarea medie și coordonatele centrului de greutate, deci merită știute înaintea celorlalte.

Oamenii mai întreabă și: formule pentru Bacalaureat M1 · formularul clasei a XII-a · tabelul primitivelor cu condiții · formule de examen la matematică · ce formule se învață pentru Bac