Ce este o funcție afină și cum arată?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Funcția afină f(x) = ax + b

Este funcția de forma $f (x) = a x + b$ , cu $a$ și $b$ numere reale, iar graficul ei este întotdeauna o dreaptă. Numărul $b$ arată unde dreapta taie axa verticală, fiindcă $f (0) = b$ . Numărul $a$ este panta: mergând o unitate spre dreapta, dreapta urcă cu $a$ atunci când acesta e pozitiv și coboară când e negativ. Pentru $f (x) = 2 x + 1$ , dreapta pleacă din $1$ și urcă din două în două.

O funcție afină are forma $f (x) = a x + b$ , cu $a$ și $b$ numere reale. Graficul ei este întotdeauna o dreaptă — de aceea două puncte îi ajung ca s-o desenezi.

Numărul $b$ se citește direct de pe desen: e ordonata punctului în care dreapta taie axa $O y$ , adică $f (0) = b$ . Se numește ordonata la origine.

Numărul $a$ se numește pantă și se citește ca un pas: mergi o unitate spre dreapta și vezi cu cât urcă sau coboară dreapta. Urcă cu $2$ → $a = 2$ ; coboară cu $2$ → $a = - 2$ . Din două puncte, $a = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ .

În desenul alăturat, dreapta lui $f (x) = 2 x + 1$ taie $O y$ la $1$ (acolo e $b$ ) și urcă cu $2$ la fiecare pas spre dreapta (acolo e $a$ ).

Cazul $a = 0$ dă $f (x) = b$ , o funcție constantă: dreapta e orizontală, valoarea nu se schimbă niciodată. Cazul $b = 0$ dă $f (x) = a x$ , o dreaptă care trece prin origine.

De reținut

$f (x) = a x + b$ , iar graficul este o dreaptă
$b$ este ordonata la origine, adică $f (0)$
$a$ este panta: $a = \frac{f ( x _{2} ) - f ( x _{1} )}{x _{2} - x _{1}}$

Greșeala tipică

Panta și ordonata la origine sunt schimbate între ele, așa că la $f (x) = - 3 x + 6$ se spune că dreapta pleacă din $- 3$ . Termenul liber, $6$ , dă punctul de pe axa verticală, iar coeficientul lui $x$ dă înclinarea.

Exerciții din această mini-lecție

Graficul de mai jos este al funcției afine $f (x) = 2 x - 3$ . În ce punct taie graficul axa $O y$ ?
- a) $(0, - 3)$
- b) $(- 3, 0)$
- c) $(0, 2)$
- d) $(2, 0)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(0, - 3)$

Pe axa $O y$ abscisa este $0$ , deci punctul de intersecție are coordonatele $(0, f (0)) = (0, - 3)$ — adică exact termenul liber $b$ . Punctul $(- 3, 0)$ are aceleași cifre, dar pe axa greșită: el se află pe $O x$ .
O funcție afină are forma $f (x) = a x + b$ . Din grafic se citește că dreapta taie axa $O y$ în punctul $(0, 5)$ și că, la fiecare pas de o unitate spre dreapta, dreapta coboară cu $2$ unități. Care este funcția?
- a) $f (x) = 2 x + 5$
- b) $f (x) = - 2 x + 5$
- c) $f (x) = 5 x - 2$
- d) $f (x) = - 2 x - 5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $f (x) = - 2 x + 5$

Tăierea lui $O y$ dă $b = 5$ . „Coboară cu $2$ " înseamnă pantă negativă: $a = - 2$ . Deci $f (x) = - 2 x + 5$ . Răspunsul $f (x) = 2 x + 5$ uită semnul coborârii, iar $f (x) = 5 x - 2$ schimbă rolurile lui $a$ și $b$ .
Care este panta dreptei care trece prin punctele $A (1, 2)$ și $B (4, 11)$ ?
- a) $2$
- b) $3$
- c) $9$
- d) $\frac{1}{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $3$

Panta e raportul dintre cât urcă și cât înaintezi: $a = \frac{11 - 2}{4 - 1} = \frac{9}{3} = 3$ . Numărul $9$ e doar urcarea (fără să împarți la înaintare), iar $\frac{1}{3}$ e raportul răsturnat.

Întrebări conexe

Ce se întâmplă cu dreapta dacă schimb doar termenul liber?

Dreapta se mută pe verticală, fără să își schimbe înclinarea. De la $f (x) = 2 x + 1$ la $g (x) = 2 x + 4$ , fiecare punct urcă cu trei unități, iar cele două drepte rămân paralele. Panta este cea care decide direcția, nu termenul liber.

Cum arată pe desen două funcții afine cu aceeași pantă?

Ca două drepte paralele, care nu se întâlnesc niciodată. Ele urcă la fel de repede, dar pornesc din locuri diferite pe axa verticală. Dacă și termenul liber ar fi același, cele două funcții ar fi de fapt aceeași.

Ce funcție descrie un taxi cu pornire și tarif pe kilometru?

Una de forma $f (x) = a x + b$ , unde $b$ este suma de pornire, iar $a$ tariful pe kilometru. Cu o pornire de $8$ lei și $3$ lei pe kilometru, o cursă de $12$ kilometri costă $8 + 3 \cdot 12 = 44$ de lei.

Cum recunosc din formulă că funcția este constantă?

Când coeficientul lui $x$ este zero, adică rămâne doar termenul liber. Formula $f (x) = 7$ dă mereu aceeași valoare, iar graficul este o dreaptă orizontală. Panta nulă înseamnă că valoarea nu se schimbă, oricât ar crește argumentul.

Care este panta unei drepte care coboară cu 3 la fiecare pas?

Panta este $- 3$ , fiindcă la fiecare pas spre dreapta valoarea scade cu trei unități. Semnul minus arată coborârea, iar numărul arată cât de abruptă este. Funcția are așadar forma $f (x) = - 3 x + b$ , cu termenul liber citit de pe axa verticală.

Ce înseamnă că panta este o rată de schimbare?

Că arată cât câștigă sau pierde valoarea la fiecare unitate adăugată argumentului. La un abonament cu $2$ lei pe oră, panta este $2$ , iar la o rezervă de apă care scade cu $5$ litri pe zi, panta este $- 5$ . Unitatea de măsură a pantei se citește ca raport.

Oamenii mai întreabă și: funcția afină · funcție afină · f de x egal ax plus b · ce înseamnă panta unei drepte de grafic · ordonata la origine