Funcția afină f(x) = ax + b

Uită-te la o factură de energie electrică. Ai acolo, aproape întotdeauna, două rânduri: un abonament fix, pe care îl plătești indiferent dacă ai stat acasă sau ai fost plecat o lună, și un preț pe kilowatt-oră, care se înmulțește cu cât ai consumat. Total: fix plus variabil. Exact aceeași structură o găsești la o cursă cu taxiul (pornirea plus kilometrii), la o închiriere de biciclete (taxa de deblocare plus minutele), la un abonament de telefonie.

Structura aceasta — o parte care nu se schimbă și o parte proporțională cu ceva — este atât de răspândită încât matematica i-a dat un nume și i-a dedicat un capitol întreg. Funcția care o descrie se numește funcție afină și are forma $f (x) = a x + b$ . Are cel mai simplu grafic posibil, o dreaptă, și e prima funcție pe care o studiezi în întregime: astăzi îi construim graficul și înțelegem ce fac cei doi coeficienți, iar în lecțiile următoare îi citim monotonia și semnul.

Ce vei învăța

Vei ști să recunoști o funcție afină și să distingi cazurile particulare: funcție de gradul întâi, funcție liniară, funcție constantă.
Vei ști de ce graficul este o dreaptă și cum îl trasezi rapid, prin două puncte bine alese.
Vei ști ce înseamnă coeficientul $b$ : ordonata la origine, adică valoarea de pornire.
Vei ști ce înseamnă coeficientul $a$ : panta, adică rata de schimbare a funcției.
Vei ști să determini funcția afină din două condiții date (două puncte de pe grafic sau două valori).
Vei ști să recunoști o dependență afină dintr-un tabel de valori, prin metoda diferențelor.

Hai să descoperim împreună

1. Definiția și numele ei

Definiție. Se numește funcție afină orice funcție $f : R \to R$ de forma

$f (x) = a x + b,$

unde $a$ și $b$ sunt numere reale fixate, numite coeficienții funcției.

Trei denumiri se folosesc curent, iar la teze contează să nu le confunzi:

dacă $a \neq = 0$ , funcția se numește și funcție de gradul întâi (expresia $a x + b$ este un polinom de gradul 1);
dacă $a = 0$ , rămâne $f (x) = b$ — o funcție constantă, care dă mereu același răspuns;
dacă $b = 0$ , rămâne $f (x) = a x$ — o funcție liniară, care descrie proporționalitatea directă.

Exemple: $f (x) = 3 x - 7$ este afină (de gradul întâi); $g (x) = 5$ este afină (constantă); $h (x) = \frac{x + 2}{3}$ este afină, pentru că se rescrie $h (x) = \frac{1}{3} x + \frac{2}{3}$ . Nu sunt afine $u (x) = x^{2} + 1$ (apare pătratul) și $v (x) = \frac{2}{x}$ (necunoscuta e la numitor).

2. Graficul este o dreaptă

Să calculăm câteva valori pentru $f (x) = 2 x - 3$ :

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f (x)$	$- 5$	$- 3$	$- 1$	$1$	$3$

Marcând punctele $(- 1, - 5)$ , $(0, - 3)$ , $(1, - 1)$ , $(2, 1)$ , $(3, 3)$ observi imediat regularitatea: la fiecare pas de $1$ spre dreapta, urcăm exact $2$ . Punctele se așază pe o dreaptă.

Nu e o impresie vizuală, ci un fapt demonstrabil. Condiția ca punctul $M (x, y)$ să fie pe graficul funcției este $y = a x + b$ — adică exact ecuația unei drepte de pantă $a$ , din lecția despre ecuația dreptei determinate de un punct și pantă. Prin urmare:

Graficul funcției afine $f (x) = a x + b$ este dreapta de ecuație $y = a x + b$ .

Consecința practică e uriașă: două puncte determină tot desenul. Nu ai nevoie de zece calcule, ci de două — restul le face rigla.

3. Rețeta de trasare prin două puncte

Pas cu pas, pentru $f (x) = 2 x - 3$ :

Alege două argumente comode. Cel mai comod este întotdeauna $x = 0$ (dă direct ordonata la origine). Al doilea se alege ca să iasă un număr întreg: aici $x = 2$ .
Calculează valorile: $f (0) = - 3$ și $f (2) = 1$ .
Marchează punctele $(0, - 3)$ și $(2, 1)$ în reper și trage dreapta prin ele.
Verifică cu un al treilea punct, ca să prinzi eventualele greșeli: $f (3) = 3$ , iar punctul $(3, 3)$ trebuie să cadă pe dreaptă. ✓

Sfat pentru coeficienți fracționari: alege argumente care simplifică numitorul. Pentru $f (x) = \frac{1}{2} x + 1$ , ia $x = 0$ și $x = 4$ , obținând punctele $(0, 1)$ și $(4, 3)$ — două valori întregi, ușor de marcat exact.

4. Rolul lui $b$ : ordonata la origine

Coeficientul $b$ se citește instantaneu de pe grafic. Într-adevăr,

$f (0) = a \cdot 0 + b = b,$

deci graficul taie axa $O y$ exact în punctul $(0, b)$ . Numărul $b$ se numește ordonata la origine a dreptei.

În aplicații, $b$ este „valoarea de pornire": prețul afișat înainte ca taximetrul să pornească, nivelul apei la momentul $0$ , taxa fixă de pe factură. Iar geometric, schimbarea lui $b$ translatează dreapta pe verticală, fără să-i modifice înclinarea. Graficele funcțiilor $f (x) = 3 x + 1$ și $g (x) = 3 x - 4$ sunt două drepte paralele, decalate cu $5$ unități pe verticală: au aceeași pantă și ordonate la origine diferite.

5. Rolul lui $a$ : panta, adică rata de schimbare

Coeficientul $a$ spune cât de repede se schimbă valorile. Calculăm variația funcției când argumentul crește cu o unitate:

$f (x + 1) - f (x) = (a (x + 1) + b) - (a x + b) = a .$

Deci: creșterea argumentului cu $1$ modifică valoarea exact cu $a$ . Pentru $f (x) = 5 x - 1$ : de la $f (2) = 9$ la $f (3) = 14$ , saltul este $5$ ; iar dacă argumentul crește cu $3$ , valoarea crește cu $3 \cdot 5 = 15$ — verificare: $f (5) = 24$ și $24 - 9 = 15$ . ✓

Mai general, pentru orice două argumente distincte $x_{1} \neq = x_{2}$ :

$\frac{f ( x _{2} ) - f ( x _{1} )}{x _{2} - x _{1}} = \frac{( a x _{2} + b ) - ( a x _{1} + b )}{x _{2} - x _{1}} = \frac{a ( x _{2} - x _{1} )}{x _{2} - x _{1}} = a .$

Raportul acesta se numește rata de schimbare a funcției și, la funcția afină, este constant, egal cu $a$ . Este exact panta dreptei, mărimea studiată în lecția despre panta unei drepte ca raport. Semnul lui $a$ decide dacă dreapta urcă sau coboară — discuție pe care o vom face pe larg în lecția despre monotonie.

Merită memorată această formulă în varianta ei practică: $a$ = cât se schimbă valoarea când argumentul crește cu o unitate. În fizică e viteza (metri pe secundă), în economie e costul marginal (lei pe bucată), în chimie e viteza de reacție. Aceeași idee, alte unități de măsură.

6. Cazurile particulare

Funcția constantă ( $a = 0$ ). $f (x) = b$ pentru orice $x$ . Graficul este dreapta orizontală $y = b$ , paralelă cu $O x$ . Rata de schimbare este zero: oricât ai plimba argumentul, valoarea nu se clintește.

Funcția liniară ( $b = 0$ ). $f (x) = a x$ . Graficul trece prin origine, pentru că $f (0) = 0$ . Aici valoarea este direct proporțională cu argumentul: dublezi argumentul, se dublează și valoarea. Atenție, proprietatea aceasta este falsă când $b \neq = 0$ : pentru $f (x) = 2 x + 10$ avem $f (1) = 12$ , dar $f (2) = 14 \neq = 24$ .

Ce nu poate fi graficul unei funcții afine. O dreaptă verticală $x = c$ nu este graficul niciunei funcții: pică testul dreptei verticale discutat în lecția despre graficul unei funcții și citirea lui. Toate celelalte drepte din plan — orizontale sau oblice — sunt grafice de funcții afine.

7. Determinarea funcției afine din date

Fiind două necunoscute, $a$ și $b$ , ai nevoie de exact două condiții ca să găsești funcția. Sunt două situații tipice.

Situația 1 — se dau două puncte de pe grafic. Calculezi întâi panta ca raport al variațiilor, apoi afli $b$ .

Exemplu. Graficul funcției afine $f$ trece prin $A (- 1, 2)$ și $B (3, 10)$ . Atunci

$a = \frac{10 - 2}{3 - ( - 1 )} = \frac{8}{4} = 2.$

Din $f (- 1) = 2$ : $2 \cdot (- 1) + b = 2$ , deci $b = 4$ . Funcția este $f (x) = 2 x + 4$ . Verificare pe al doilea punct: $f (3) = 6 + 4 = 10$ . ✓

Situația 2 — se dau două valori (sistem). Scrii ambele condiții și rezolvi sistemul prin scădere.

Exemplu. $f (- 2) = 7$ și $f (3) = - 3$ . Obținem sistemul $- 2 a + b = 7$ și $3 a + b = - 3$ . Scăzând prima ecuație din a doua, termenii cu $b$ se elimină: $5 a = - 10$ , deci $a = - 2$ . Înlocuim în prima ecuație: $- 2 \cdot (- 2) + b = 7$ , adică $4 + b = 7$ , deci $b = 3$ . Funcția este $f (x) = - 2 x + 3$ . Verificare: $f (- 2) = 4 + 3 = 7$ ✓ și $f (3) = - 6 + 3 = - 3$ ✓.

Verificarea finală pe ambele date nu e opțională — este singura ta plasă de siguranță împotriva unei greșeli de semn.

8. Recunoașterea unei dependențe afine dintr-un tabel

În probleme practice primești adesea un tabel de măsurători și trebuie să decizi dacă modelul afin se potrivește. Criteriul este simplu:

Dacă argumentele cresc cu pași egali și valorile se schimbă de fiecare dată cu aceeași cantitate, dependența este afină, iar $a$ este acea cantitate raportată la pas.

Exemplu. Pentru $x = 0, 1, 2, 3, 4$ se obțin valorile $7, 4, 1, - 2, - 5$ . Diferențele succesive sunt $- 3, - 3, - 3, - 3$ — constante. Deci $a = - 3$ , iar $b = f (0) = 7$ : funcția este $f (x) = - 3 x + 7$ . Verificare: $f (4) = - 12 + 7 = - 5$ . ✓

Contraexemplu. Pentru $x = 0, 1, 2, 3$ se obțin $1, 2, 4, 8$ . Diferențele sunt $1, 2, 4$ — nu sunt constante, deci dependența nu este afină. (Aici valorile se înmulțesc cu $2$ la fiecare pas: este o progresie geometrică, model studiat în lecția despre dobânda compusă și dinamica populației.)

Reține paralela, e frumoasă și utilă: șirul valorilor unei funcții afine în punctele $0, 1, 2, 3, \dots$ este întotdeauna o progresie aritmetică de rație $a$ .

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Recunoașterea funcțiilor afine

Care dintre funcțiile următoare, definite pe $R$ , sunt afine? $f (x) = 3 x - 7$ ; $g (x) = x^{2} + 1$ ; $h (x) = 5$ ; $u (x) = \frac{x + 2}{3}$ ; $v (x) = 2 - 4 x$ .

Rezolvare. $f$ este afină, cu $a = 3$ , $b = - 7$ (de gradul întâi).

$g$ nu este afină: conține $x^{2}$ .

$h$ este afină, cu $a = 0$ , $b = 5$ — caz particular, funcție constantă.

$u$ este afină: $u (x) = \frac{1}{3} x + \frac{2}{3}$ , deci $a = \frac{1}{3}$ , $b = \frac{2}{3}$ .

$v$ este afină, scrisă în altă ordine: $v (x) = - 4 x + 2$ , deci $a = - 4$ , $b = 2$ . $■$

Exemplul 2 — Trasarea graficului

Reprezentați grafic funcția $f : R \to R$ , $f (x) = - 3 x + 6$ , folosind două puncte.

Rezolvare. Alegem $x = 0$ și $x = 2$ : $f (0) = 6$ și $f (2) = - 6 + 6 = 0$ . Marcăm $(0, 6)$ și $(2, 0)$ și trasăm dreapta prin ele.

Verificare cu un al treilea punct: $f (1) = 3$ , iar $(1, 3)$ este exact la mijlocul segmentului dintre cele două puncte alese — se potrivește cu desenul. ✓ $■$

Exemplul 3 — Funcția afină din două puncte

Determinați funcția afină $f : R \to R$ al cărei grafic trece prin punctele $A (0, - 2)$ și $B (4, 6)$ .

Rezolvare. Punctul $A$ are abscisa $0$ , deci ne dă direct ordonata la origine: $b = - 2$ .

Panta: $a = \frac{6 - ( - 2 )}{4 - 0} = \frac{8}{4} = 2$ .

Deci $f (x) = 2 x - 2$ . Verificare: $f (4) = 8 - 2 = 6$ . ✓ $■$

Exemplul 4 — Sistem de două condiții

Determinați numerele reale $a$ și $b$ știind că funcția $f : R \to R$ , $f (x) = a x + b$ , satisface $f (- 2) = 7$ și $f (3) = - 3$ .

Rezolvare. Traducem condițiile:

${- 2 a + b = 7 3 a + b = - 3$

Scădem prima ecuație din a doua: $5 a = - 10$ , deci $a = - 2$ . Înlocuim în prima: $4 + b = 7$ , deci $b = 3$ .

Funcția este $f (x) = - 2 x + 3$ . Verificare pe ambele condiții: $f (- 2) = 4 + 3 = 7$ ✓, $f (3) = - 6 + 3 = - 3$ ✓. $■$

Exemplul 5 — Model practic cu rată de schimbare

Un rezervor conține $60$ de litri de apă și se golește uniform, cu $4$ litri pe minut. a) Scrieți funcția care dă volumul rămas după $t$ minute. b) Cât mai este după $5$ minute? c) După cât timp se golește complet?

Rezolvare. a) Pornim de la $60$ de litri și scădem câte $4$ la fiecare minut:

$V (t) = 60 - 4 t, t \geq 0.$

Este o funcție afină cu $b = 60$ (valoarea de pornire) și $a = - 4$ (rata de schimbare: minus $4$ litri pe minut).

b) $V (5) = 60 - 20 = 40$ de litri.

c) Rezolvăm $60 - 4 t = 0$ , deci $t = 15$ minute. Domeniul cu sens fizic al funcției este $[0, 15]$ — după acest moment formula ar da volume negative, imposibile. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x - 3$ . a) Arătați că $f (1) + f (2) = 0$ . b) Determinați numărul real $a$ pentru care punctul $A (a, 5)$ aparține graficului funcției $f$ .

Rezolvare. a) $f (1) = 2 - 3 = - 1$ și $f (2) = 4 - 3 = 1$ , deci $f (1) + f (2) = - 1 + 1 = 0$ . ✓

b) Condiția de apartenență: $f (a) = 5$ , adică $2 a - 3 = 5$ , de unde $2 a = 8$ și $a = 4$ . Verificare: $f (4) = 8 - 3 = 5$ . ✓ $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La toate cerințele cu determinarea coeficienților, verificarea finală pe datele din enunț face parte din rezolvare.

1. Care dintre funcțiile definite pe $R$ sunt afine? Pentru cele afine, precizează $a$ și $b$ : a) $f (x) = 4 x - 9$ ; b) $g (x) = x^{2} - 3$ ; c) $h (x) = - 7$ ; d) $u (x) = \frac{2 x + 5}{4}$ ; e) $v (x) = \frac{3}{x}$ .

2. Alcătuiește tabelul de valori pentru $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x - 3$ , cu $x \in {- 1, 0, 1, 2, 3}$ , apoi trasează graficul prin două dintre puncte și verifică-l pe celelalte trei.

3. Fie $f : R \to R$ , $f (x) = - 3 x + 6$ . Calculează $f (0)$ , $f (1)$ și $f (2)$ , precizează ordonata la origine și trasează graficul.

4. Determină funcția afină al cărei grafic trece prin punctele $A (- 1, 2)$ și $B (3, 10)$ .

5. Determină numerele reale $a$ și $b$ astfel încât funcția $f (x) = a x + b$ să verifice $f (- 2) = 7$ și $f (3) = - 3$ .

6. Fie $f : R \to R$ , $f (x) = 5 x - 1$ . a) Cu cât se modifică valoarea funcției dacă argumentul crește cu $1$ ? b) Dar dacă argumentul crește cu $3$ ? Verifică prin calcul direct, folosind $f (2)$ și $f (5)$ .

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Graficul oricărei funcții afine trece prin originea reperului."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $a = 0$ , graficul funcției $f (x) = a x + b$ este o dreaptă orizontală."

9. (Problemă aplicată.) Un rezervor conține $60$ de litri de apă și pierde $4$ litri pe minut. a) Scrie funcția $V (t)$ . b) Calculează $V (0)$ și $V (5)$ . c) După cât timp rezervorul se golește?

10. Determină funcția afină al cărei grafic taie axa $O y$ în punctul $(0, - 2)$ și trece prin $(4, 6)$ .

11. Fie $f (x) = 3 x + 1$ și $g (x) = 3 x - 4$ , definite pe $R$ . Ce poziție au una față de alta dreptele care le reprezintă graficele? Justifică folosind coeficienții.

12. Un tabel dă, pentru $x = 0, 1, 2, 3, 4$ , valorile $7, 4, 1, - 2, - 5$ . Arată că dependența este afină și determină formula funcției.

13. Un alt tabel dă, pentru $x = 0, 1, 2, 3$ , valorile $1, 2, 4, 8$ . Arată că dependența nu este afină, folosind metoda diferențelor.

14. Fie $f : R \to R$ , $f (x) = {x + 2, - 2 x + 2, x \leq 0 x > 0$ . Calculează $f (- 3)$ , $f (0)$ , $f (1)$ , $f (3)$ și descrie în cuvinte forma graficului.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x - 3$ . a) Arătați că $f (1) + f (2) = 0$ . b) Determinați numărul real $a$ pentru care punctul $A (a, 5)$ aparține graficului funcției $f$ .

16. Fie $f : R \to R$ , $f (x) = (m - 2) x + 3$ , unde $m$ este un parametru real. a) Pentru ce valori ale lui $m$ funcția este de gradul întâi? b) Determină $m$ astfel încât graficul să treacă prin punctul $(1, 6)$ .

17. (Problemă aplicată.) Legătura dintre temperatura în grade Celsius și cea în grade Fahrenheit este $F (c) = 1, 8 c + 32$ . a) Câte grade Fahrenheit înseamnă $0$ , $25$ și $100$ de grade Celsius? b) Ce temperatură Celsius corespunde valorii de $59$ grade Fahrenheit? c) Ce semnificație practică au coeficienții $1, 8$ și $32$ ?

18. (Provocare.) Fie $f : R \to R$ o funcție afină, $f (x) = a x + b$ , și două numere reale oarecare $x_{1}$ și $x_{2}$ . Demonstrează că

$f (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}) = \frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} )}{2} .$

Interpretează geometric rezultatul, folosind lecția despre coordonatele mijlocului unui segment, și verifică egalitatea pentru $f (x) = 3 x - 1$ , $x_{1} = 2$ , $x_{2} = 6$ .

Răspunsuri și explicații

1. a) Afină, $a = 4$ , $b = - 9$ . b) Nu este afină (conține $x^{2}$ ). c) Afină și constantă: $a = 0$ , $b = - 7$ . d) Afină: $u (x) = \frac{1}{2} x + \frac{5}{4}$ , deci $a = \frac{1}{2}$ , $b = \frac{5}{4}$ . e) Nu este afină: necunoscuta apare la numitor, iar funcția nici măcar nu e definită în $0$ .

2. Valorile sunt $- 5, - 3, - 1, 1, 3$ pentru $x = - 1, 0, 1, 2, 3$ . Trasăm dreapta prin $(0, - 3)$ și $(2, 1)$ ; celelalte trei puncte cad pe ea, pentru că la fiecare pas de $1$ pe orizontală valoarea urcă exact cu $2$ .

3. $f (0) = 6$ , $f (1) = 3$ , $f (2) = 0$ . Ordonata la origine este $6$ , deci graficul taie $O y$ în $(0, 6)$ ; dreapta se trasează prin $(0, 6)$ și $(2, 0)$ .

4. $a = \frac{10 - 2}{3 - ( - 1 )} = 2$ ; din $f (- 1) = 2$ rezultă $- 2 + b = 2$ , deci $b = 4$ . Funcția este $f (x) = 2 x + 4$ . Verificare: $f (3) = 10$ ✓.

5. Sistemul $- 2 a + b = 7$ , $3 a + b = - 3$ dă, prin scădere, $5 a = - 10$ , deci $a = - 2$ și $b = 3$ . Funcția este $f (x) = - 2 x + 3$ ; verificare pe ambele condiții ✓.

6. a) Cu exact $a = 5$ , pentru că $f (x + 1) - f (x) = a$ . b) Cu $3 \cdot 5 = 15$ . Verificare: $f (2) = 9$ , $f (5) = 24$ , iar $24 - 9 = 15$ ✓.

7. Fals. Graficul trece prin origine doar când $b = 0$ . Contraexemplu: $f (x) = 2 x + 3$ are $f (0) = 3 \neq = 0$ , deci taie axa $O y$ în $(0, 3)$ , nu în origine.

8. Adevărat. Dacă $a = 0$ , funcția devine $f (x) = b$ : toate punctele graficului au ordonata $b$ , deci graficul este dreapta orizontală $y = b$ , paralelă cu axa $O x$ (sau chiar $O x$ , dacă $b = 0$ ).

9. a) $V (t) = 60 - 4 t$ . b) $V (0) = 60$ litri, $V (5) = 40$ de litri. c) $60 - 4 t = 0 \Rightarrow t = 15$ minute.

10. Din intersecția cu $O y$ : $b = - 2$ . Panta: $a = \frac{6 - ( - 2 )}{4 - 0} = 2$ . Deci $f (x) = 2 x - 2$ ; verificare: $f (4) = 6$ ✓.

11. Dreptele sunt paralele: au aceeași pantă, $a = 3$ , dar ordonate la origine diferite ( $1$ și $- 4$ ). Diferența $f (x) - g (x) = 5$ este constantă — a doua dreaptă este prima translatată cu $5$ unități în jos.

12. Diferențele succesive ale valorilor sunt $4 - 7 = - 3$ , $1 - 4 = - 3$ , $- 2 - 1 = - 3$ , $- 5 - (- 2) = - 3$ — constante, iar pasul argumentelor este $1$ . Deci $a = - 3$ și $b = f (0) = 7$ : $f (x) = - 3 x + 7$ . Verificare: $f (3) = - 2$ ✓, $f (4) = - 5$ ✓.

13. Diferențele sunt $2 - 1 = 1$ , $4 - 2 = 2$ , $8 - 4 = 4$ — diferite între ele. La o funcție afină, rata de schimbare este constantă, deci dependența nu poate fi afină. (Aici valorile se dublează la fiecare pas: este o creștere de tip progresie geometrică.)

14. $f (- 3) = - 1$ (prima ramură), $f (0) = 2$ (prima ramură, pentru că $x \leq 0$ ), $f (1) = 0$ și $f (3) = - 4$ (a doua ramură). Graficul este o linie frântă: un segment de dreaptă care urcă până în punctul $(0, 2)$ și, din acel vârf, o semidreaptă care coboară de două ori mai repede. Cele două formule dau în $x = 0$ aceeași valoare, $2$ , deci desenul nu are salt.

15. a) $f (1) = - 1$ , $f (2) = 1$ , suma este $0$ ✓. b) $2 a - 3 = 5 \Rightarrow a = 4$ ; verificare: $f (4) = 5$ ✓.

16. a) Funcția este de gradul întâi dacă și numai dacă $m - 2 \neq = 0$ , adică $m \neq = 2$ . (Pentru $m = 2$ rămâne funcția constantă $f (x) = 3$ .) b) Condiția $f (1) = 6$ dă $(m - 2) \cdot 1 + 3 = 6$ , deci $m - 2 = 3$ și $m = 5$ . Atunci $f (x) = 3 x + 3$ , iar $f (1) = 6$ ✓.

17. a) $F (0) = 32$ , $F (25) = 45 + 32 = 77$ , $F (100) = 180 + 32 = 212$ grade Fahrenheit. b) $1, 8 c + 32 = 59 \Rightarrow 1, 8 c = 27 \Rightarrow c = 15$ grade Celsius. c) $32$ este valoarea de pornire (temperatura de îngheț a apei, $0$ grade Celsius, înseamnă $32$ Fahrenheit), iar $1, 8$ este rata de schimbare: fiecare grad Celsius în plus înseamnă $1, 8$ grade Fahrenheit în plus.

18. Calculăm separat cei doi membri. Membrul stâng:

$f (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}) = a \cdot \frac{x _{1} + x _{2}}{2} + b = \frac{a x _{1} + a x _{2} + 2 b}{2} .$

Membrul drept:

$\frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} )}{2} = \frac{( a x _{1} + b ) + ( a x _{2} + b )}{2} = \frac{a x _{1} + a x _{2} + 2 b}{2} .$

Cele două expresii coincid, deci egalitatea este adevărată. $■$ Geometric: dacă $P (x_{1}, f (x_{1}))$ și $Q (x_{2}, f (x_{2}))$ sunt două puncte de pe grafic, mijlocul segmentului $P Q$ are abscisa $\frac{x _{1} + x _{2}}{2}$ și ordonata $\frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} )}{2}$ — iar egalitatea demonstrată spune tocmai că acest mijloc se află tot pe grafic. Era de așteptat: graficul este o dreaptă, iar mijlocul unui segment de pe o dreaptă rămâne pe dreaptă. Verificare numerică pentru $f (x) = 3 x - 1$ , $x_{1} = 2$ , $x_{2} = 6$ : $f (4) = 11$ , iar $\frac{f ( 2 ) + f ( 6 )}{2} = \frac{5 + 17}{2} = 11$ ✓.

De reținut

O funcție afină are forma $f (x) = a x + b$ cu $a, b$ reale; este de gradul întâi dacă $a \neq = 0$ , constantă dacă $a = 0$ și liniară dacă $b = 0$ .
Graficul este dreapta $y = a x + b$ ; ca să-l trasezi îți sunt suficiente două puncte, iar al treilea servește la verificare.
$b$ este ordonata la origine: graficul taie axa $O y$ în $(0, b)$ . Schimbarea lui $b$ translatează dreapta pe verticală.
$a$ este panta, adică rata de schimbare: $f (x + 1) - f (x) = a$ , iar pentru orice două argumente distincte raportul $\frac{f ( x _{2} ) - f ( x _{1} )}{x _{2} - x _{1}}$ este constant și egal cu $a$ .
Două funcții afine cu același $a$ au graficele drepte paralele. Într-un tabel, dependența e afină exact când diferențele valorilor sunt constante la pași egali ai argumentului.

Greșeli frecvente

Confunzi rolurile lui $a$ și $b$ . $b$ spune unde pornește dreapta pe verticală, $a$ spune cât de înclinată este. La $f (x) = - 3 x + 6$ , ordonata la origine este $6$ , nu $- 3$ .
Tragi dreapta printr-un singur punct. Un punct nu determină o dreaptă — ai nevoie de două, iar al treilea îți semnalează greșelile de calcul.
Crezi că orice funcție afină este de proporționalitate directă. Numai cele cu $b = 0$ sunt. Pentru $f (x) = 2 x + 10$ , dublarea argumentului nu dublează valoarea.
Uiți să verifici pe a doua condiție când determini $a$ și $b$ . O greșeală de semn în sistem trece neobservată dacă nu reînlocuiești în ambele ecuații din enunț.
Declari afină o dependență fără să verifici pașii argumentului. Metoda diferențelor funcționează numai dacă argumentele cresc cu pași egali; altfel trebuie calculat raportul variațiilor.

Aplică acasă

Factura ca funcție. Ia o factură reală (energie, apă, internet cu depășiri) și identifică partea fixă și partea variabilă. Scrie funcția $C (x) = a x + b$ corespunzătoare, precizând ce reprezintă $a$ și $b$ și în ce unități se măsoară. Calculează apoi cât ai plăti pentru un consum dublu față de luna trecută — și compară cu intuiția ta inițială.
Panta scărilor din bloc. Măsoară înălțimea unei trepte și adâncimea ei, apoi scrie funcția afină care dă înălțimea la care ai urcat în funcție de numărul de trepte parcurse. Care este $a$ ? Dar $b$ , dacă pornești de la primul palier aflat deja la $1, 5$ metri?
Două drepte pe ecran. În GeoGebra sau Desmos trasează $y = 2 x - 3$ și adaugă un cursor pentru $b$ , apoi pentru $a$ . Mișcă întâi cursorul lui $b$ și observă că dreapta doar urcă și coboară; apoi mișcă-l pe al lui $a$ și observă cum se schimbă înclinarea, punctul de pe $O y$ rămânând fix. Notează în caiet, în două propoziții, ce ai văzut.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce prima familie de funcții studiată complet în liceu. Cheia întregii unități este înțelegerea rolului celor doi coeficienți: $b$ ca valoare de pornire, $a$ ca rată de schimbare. Elevii care rețin doar „graficul e o dreaptă" rămân descoperiți la aplicații; cei care înțeleg că $a$ înseamnă „cu cât se schimbă valoarea la creșterea argumentului cu o unitate" traduc fără efort orice problemă practică în formulă.

Întrebări bune de control: „Ce reprezintă $b$ pe grafic?" (ordonata punctului de intersecție cu $O y$ ); „Cu cât crește $f$ dacă $x$ crește cu $1$ ?" ( $a$ ); „De câte puncte am nevoie ca să trasez graficul?" (două, al treilea pentru verificare); „Cum arată graficul dacă $a = 0$ ?" (dreaptă orizontală); „Ce funcție are graficul o dreaptă care trece prin origine?" (cea liniară, $b = 0$ ). Semne că a înțeles: alege argumente comode la trasare, verifică rezultatul pe ambele date din enunț și recunoaște dependența afină dintr-un tabel prin diferențe constante.

La teze și la Bacalaureat, funcția afină apare masiv: „determinați $a$ și $b$ știind că…", „arătați că punctul $A$ aparține graficului", „calculați $f (1) + f (2)$ ", precum și în cerințe combinate cu geometria analitică (paralelism, intersecții de drepte). Este și baza pentru lecțiile imediat următoare — monotonia și semnul — care se citesc, amândouă, din semnul coeficientului $a$ .

Întrebări frecvente

Ce este o funcție afină? O funcție de forma $f (x) = a x + b$ , unde $a$ și $b$ sunt numere reale fixate. Graficul ei este întotdeauna o dreaptă, iar valorile se schimbă cu aceeași cantitate la fiecare creștere cu o unitate a argumentului.

Care este diferența dintre funcție afină și funcție liniară? Funcția liniară este cazul particular cu $b = 0$ , adică $f (x) = a x$ : graficul ei trece prin origine și descrie o proporționalitate directă. Funcția afină permite și $b \neq = 0$ , caz în care graficul este o dreaptă care nu trece prin origine.

Ce reprezintă coeficientul $b$ din $f (x) = a x + b$ ? Este ordonata la origine: valoarea funcției în $0$ și, pe grafic, ordonata punctului în care dreapta taie axa $O y$ . În aplicații, este valoarea de pornire — taxa fixă, nivelul inițial, prețul de bază.

Ce reprezintă coeficientul $a$ ? Panta dreptei, adică rata de schimbare a funcției: cu cât se modifică valoarea când argumentul crește cu o unitate. Pentru $f (x) = 5 x - 1$ , orice creștere cu $1$ a argumentului urcă valoarea cu $5$ .

Cum trasez graficul unei funcții afine? Calculezi valorile în două argumente comode (de obicei $x = 0$ și încă unul care dă rezultat întreg), marchezi cele două puncte în reperul cartezian și trasezi dreapta prin ele. Un al treilea punct verifică desenul.

Cum determin funcția afină dacă știu două puncte de pe grafic? Calculezi panta ca raport al variațiilor, $a = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ , apoi înlocuiești unul dintre puncte în $y = a x + b$ pentru a afla $b$ . La final verifici cu celălalt punct.

Când este graficul unei funcții afine o dreaptă orizontală? Când $a = 0$ , adică funcția este constantă, $f (x) = b$ . Toate valorile sunt egale, deci toate punctele graficului stau la aceeași înălțime $b$ .

Poate o dreaptă verticală să fie graficul unei funcții afine? Nu, și nici al vreunei funcții. O verticală $x = c$ ar asocia argumentului $c$ o infinitate de valori, ceea ce contrazice definiția funcției; de altfel, ea nu se poate scrie sub forma $y = a x + b$ .