Ce este funcția de gradul al doilea?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Funcția de gradul al doilea

Este o funcție care se scrie sub forma $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , unde $a$ , $b$ , $c$ sunt numere reale, iar $a$ trebuie să fie diferit de zero. Dacă $a$ se anulează, rămâne o funcție de gradul întâi. Coeficienții se citesc abia după desfacerea parantezelor: din $(2 x - 3) (x + 1) = 2 x^{2} - x - 3$ ies $a = 2$ , $b = - 1$ și $c = - 3$ . Graficul ei se numește parabolă.

Se numește funcție de gradul al doilea orice funcție $f : R \to R$ de forma $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , cu $a, b, c \in R$ și $a \neq = 0$ . Coeficientul $a$ este coeficientul dominant, $b$ este coeficientul lui $x$ , iar $c$ este termenul liber. Condiția $a \neq = 0$ este esențială: dacă $a = 0$ , formula devine $f (x) = b x + c$ , adică o funcție afină, cu totul alte proprietăți.

Coeficienții se citesc numai după aducerea la forma generală: desfaci parantezele, reduci termenii asemenea, ordonezi după puterile lui $x$ . Atenție la expresii „deghizate": $(x + 3)^{2} - x^{2}$ pare de gradul al doilea, dar după desfacere pătratele se anulează și rămâne o funcție afină.

O observație rapidă și des folosită: $f (0) = c$ , deoarece pentru $x = 0$ ceilalți doi termeni se anulează.

Un punct $A (x_{0}, y_{0})$ aparține graficului (numit parabolă) dacă și numai dacă $f (x_{0}) = y_{0}$ — o verificare simplă, care servește și la determinarea unor parametri necunoscuți din condiții date.

Pentru a determina $a, b, c$ din trei condiții, cel mai comod este: $f (0)$ dă direct $c$ , apoi $f (1)$ și $f (- 1)$ dau, prin adunare și scădere, pe $a$ și $b$ .

Tabelul de valori al oricărei funcții de gradul al doilea are întotdeauna valori care se repetă simetric în jurul unui mijloc — semnul distinctiv al parabolei, spre deosebire de funcția afină, și modelul potrivit pentru traiectorii, arii sau venituri.

De reținut

$f (x) = a x^{2} + b x + c$ cu $a \neq = 0$
$f (0) = c$ , deci graficul taie $O y$ în $c$
coeficienții se citesc după aducerea la forma generală

Greșeala tipică

Se citesc coeficienții direct din forma cu paranteze, fără desfacere, și iese alt rezultat; adu întâi expresia la forma obișnuită, ordonată după puterile variabilei.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre următoarele patru funcții ESTE o funcție de gradul al doilea?
- a) $f (x) = (x - 2) (x + 2)$
- b) $g (x) = (x + 1)^{2} - x^{2}$
- c) $h (x) = 5$
- d) $p (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $f (x) = (x - 2) (x + 2)$

$f (x) = (x - 2) (x + 2) = x^{2} - 4$ , deci $a = 1 \neq = 0$ : este de gradul al doilea. La $g$ , desfăcând, $(x + 1)^{2} - x^{2} = x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} = 2 x + 1$ — pătratele se anulează, $a = 0$ , deci $g$ este afină. $h$ este constantă (grad $0$ ), iar $p$ are gradul $3$ . Verdictul se dă întotdeauna după aducerea la forma generală, niciodată după prima impresie.
Coeficienții $a$ , $b$ , $c$ ai funcției $f (x) = (2 x - 3) (x + 1)$ sunt:
- a) $a = 2, b = - 1, c = - 3$
- b) $a = 2, b = - 5, c = - 3$
- c) $a = 2, b = 1, c = 3$
- d) $a = - 1, b = 2, c = - 3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $a = 2, b = - 1, c = - 3$

Desfacem paranteza: $(2 x - 3) (x + 1) = 2 x^{2} + 2 x - 3 x - 3 = 2 x^{2} - x - 3$ . Ordonat sub forma generală $a x^{2} + b x + c$ , obținem $a = 2$ , $b = - 1$ , $c = - 3$ .
Știind că punctul $A (1, 2)$ aparține graficului funcției $f (x) = 3 x^{2} + m x - 5$ , valoarea lui $m$ este:
- a) $4$
- b) $- 4$
- c) $2$
- d) $- 2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $4$

Condiția $A \in G_{f}$ înseamnă $f (1) = 2$ : $3 \cdot 1^{2} + m \cdot 1 - 5 = 2 \Leftrightarrow 3 + m - 5 = 2 \Leftrightarrow m - 2 = 2 \Leftrightarrow m = 4$ . Verificare: $f (x) = 3 x^{2} + 4 x - 5$ , iar $f (1) = 3 + 4 - 5 = 2$ ✓.

Întrebări conexe

Cum calculez valoarea funcției de gradul al doilea într-un punct?

Înlocuiești variabila cu numărul cerut și faci calculele, cu atenție la puteri și la semne. Pentru $f (x) = - x^{2} + 6 x - 2$ și $x = 2$ obții $- 4 + 12 - 2 = 6$ . Ridicarea la pătrat se face înaintea înmulțirii cu coeficientul, iar la numere negative pătratul iese pozitiv.

Ce formă are graficul funcției de gradul al doilea?

Este o curbă deschisă numită parabolă, cu o axă verticală de simetrie și un punct extrem numit vârf. Când coeficientul de la pătrat este pozitiv, ramurile urcă; când este negativ, coboară. Tabelul de valori arată același lucru: valorile se repetă simetric în jurul vârfului.

Ce ne spune semnul lui a despre deschiderea parabolei?

Un coeficient dominant pozitiv deschide ramurile în sus, deci funcția are un punct de minim. Un coeficient negativ le deschide în jos, deci apare un punct de maxim. Cu cât valoarea absolută a coeficientului este mai mare, cu atât parabola iese mai îngustă.

Care este forma canonică a funcției de gradul al doilea?

Este scrierea $f (x) = a (x - x_{V})^{2} + y_{V}$ , în care apar direct coordonatele vârfului. Se obține prin completarea unui pătrat, de exemplu $x^{2} - 6 x + 11 = (x - 3)^{2} + 2$ . Din ea se citesc imediat valoarea extremă, axa de simetrie și mulțimea valorilor.

Cum scriu funcția de gradul al doilea dacă știu vârful și un punct?

Pornești de la forma cu vârf, $f (x) = a (x - x_{V})^{2} + y_{V}$ , în care necunoscut rămâne doar coeficientul dominant. Înlocuiești coordonatele punctului dat, afli acel coeficient și apoi desfaci parantezele dacă ți se cere forma obișnuită.

Ce diferență este între funcția afină și cea de gradul al doilea?

La cea afină variabila apare doar la puterea întâi, iar graficul este o dreaptă cu creștere constantă. La cea de gradul al doilea apare pătratul, graficul este o parabolă, iar creșterea se schimbă tot timpul. Atenție la expresii care par pătratice: în $(x + 1)^{2} - x^{2}$ pătratele dispar.

Oamenii mai întreabă și: funcția de gradul 2 · ce este o funcție pătratică · forma ax la pătrat plus bx plus c · coeficienții funcției de gradul al doilea