Funcția de gradul al doilea f(x) = ax² + bx + c

Aruncă o minge în sus și privește-o. Nu urcă la nesfârșit și nici nu urcă uniform: încetinește, se oprește o clipă în punctul cel mai de sus, apoi cade tot mai repede. Dacă notezi din secundă în secundă înălțimea ei, obții un șir de numere care urcă, se oprește și coboară — un comportament pe care nicio funcție afină nu îl poate imita, pentru că o funcție afină ori urcă mereu, ori coboară mereu, ori stă pe loc. Ai nevoie de un tip nou de lege de calcul.

Legea aceasta există și este surprinzător de simplă: apare un pătrat. Înălțimea unei mingi aruncate vertical în sus cu viteza de $20$ m/s se scrie, cu foarte bună aproximație, $h (t) = - 5 t^{2} + 20 t$ , unde $t$ este timpul în secunde. Un singur termen cu $t^{2}$ schimbă totul: apare urcarea, apare oprirea, apare coborârea. Aceeași structură descrie aria unei grădini dreptunghiulare cu gard de lungime fixă, venitul unui magazin în funcție de preț, distanța de frânare a unei mașini sau forma unei antene parabolice. Se numește funcție de gradul al doilea și este, după funcția afină, cea mai folosită funcție din toată matematica aplicată.

Ce vei învăța

Vei ști să enunți definiția funcției de gradul al doilea și să explici de ce este obligatorie condiția $a \neq = 0$ .
Vei ști să recunoști o funcție de gradul al doilea și să-i citești coeficienții $a$ , $b$ , $c$ , chiar și când formula e „deghizată" în produs sau în pătrat.
Vei ști să calculezi valori ale funcției și să completezi corect un tabel de valori.
Vei ști să verifici dacă un punct aparține graficului și să determini coeficienții necunoscuți din condiții date.
Vei ști să recunoști modelul pătratic în situații reale: traiectorii, arii, venituri, distanțe de frânare.
Vei ști să observi, direct în tabelul de valori, simetria caracteristică acestor funcții.

Hai să descoperim împreună

1. De ce nu ne mai ajunge funcția afină

O funcție afină $f (x) = m x + n$ are o proprietate care o definește: când $x$ crește cu $1$ , valoarea $f (x)$ crește exact cu $m$ — mereu cu aceeași cantitate. Creșterea e constantă, iar graficul e o dreaptă. Ai văzut asta când ai studiat monotonia funcției afine.

Să punem însă alături tabelul înălțimii mingii, $h (t) = - 5 t^{2} + 20 t$ :

$t$ (s)	0	1	2	3	4
$h (t)$ (m)	0	15	20	15	0

Diferențele de la un pas la altul sunt $+ 15$ , $+ 5$ , $- 5$ , $- 15$ . Nu doar că nu sunt constante — ele scad regulat, cu câte $10$ de fiecare dată. Mingea urcă din ce în ce mai încet, se oprește undeva între secundele $1$ și $3$ , apoi coboară din ce în ce mai repede. Observă și un al doilea lucru, la fel de important: valorile se repetă simetric — $h (1) = h (3) = 15$ și $h (0) = h (4) = 0$ . Tabelul are o oglindă în mijloc. De unde vine oglinda aceasta și cum îi găsim poziția exactă vei afla în lecția despre parabolă: vârf, axă de simetrie, ramuri. Deocamdată reține doar că simetria este semnul distinctiv al noii funcții.

2. Definiția

Definiție. Se numește funcție de gradul al doilea orice funcție $f : R \to R$ de forma

$f (x) = a x^{2} + b x + c,$

unde $a$ , $b$ , $c$ sunt numere reale fixate, iar $a \neq = 0$ .

Numerele $a$ , $b$ , $c$ se numesc coeficienții funcției: $a$ este coeficientul dominant (al lui $x^{2}$ ), $b$ este coeficientul lui $x$ , iar $c$ este termenul liber. Expresia $a x^{2} + b x + c$ se numește forma generală a funcției.

Condiția $a \neq = 0$ nu e un capriciu. Dacă am accepta $a = 0$ , formula ar deveni $f (x) = b x + c$ , adică exact o funcție afină — un obiect pe care îl cunoaștem deja și care are cu totul alte proprietăți: grafic dreaptă, monotonie unică, fără simetrie. Termenul $a x^{2}$ este cel care aduce noutatea, deci trebuie să existe efectiv. De aceea, ori de câte ori într-o problemă apare un parametru în fața lui $x^{2}$ , primul lucru de scris este condiția care îl ține diferit de zero.

Coeficienții $b$ și $c$ , în schimb, au voie să fie nuli. Funcțiile

$f (x) = 3 x^{2} (b = 0, c = 0), g (x) = x^{2} - 4 (b = 0), h (x) = - 2 x^{2} + 5 x (c = 0)$

sunt toate trei funcții de gradul al doilea perfect legitime. Prima este cea mai simplă dintre toate și o vom folosi des ca punct de plecare.

3. Cum recunoști coeficienții

Cel mai des, formula nu îți este oferită gata desfăcută. Regula de aur este: aduci întâi expresia la forma generală, abia apoi citești coeficienții. Trei situații apar tot timpul.

Produs de doi factori de gradul întâi. $f (x) = (x - 1) (x + 4)$ . Desfacem parantezele: $x^{2} + 4 x - x - 4 = x^{2} + 3 x - 4$ . Deci $a = 1$ , $b = 3$ , $c = - 4$ .

Pătrat al unui binom. $f (x) = (2 x - 1)^{2} = 4 x^{2} - 4 x + 1$ , deci $a = 4$ , $b = - 4$ , $c = 1$ .

Ordine amestecată sau termeni lipsă. $f (x) = 3 - x^{2}$ se rescrie $f (x) = - x^{2} + 0 \cdot x + 3$ , deci $a = - 1$ , $b = 0$ , $c = 3$ . Atenție la semn: coeficientul este $- 1$ , nu $1$ . Este cea mai frecventă greșeală de la această lecție.

Și o capcană esențială. Funcția $f (x) = (x + 2)^{2} - x^{2}$ pare de gradul al doilea, dar dacă desfaci obții $x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} = 4 x + 4$ . Pătratele s-au anulat, $a = 0$ , iar funcția este de fapt afină. Verdictul se dă numai după aducerea la forma generală, niciodată după prima impresie.

4. Calculul valorilor și tabelul

A calcula $f (x_{0})$ înseamnă a înlocui peste tot $x$ cu $x_{0}$ și a efectua operațiile, exact ca la orice funcție studiată în lecția despre noțiunea de funcție. Singura precauție nouă: numărul înlocuit se pune în paranteză, altfel semnele se pierd la ridicarea la pătrat.

Pentru $f (x) = 2 x^{2} - 3 x + 1$ :

$f (- 1) = 2 \cdot (- 1)^{2} - 3 \cdot (- 1) + 1 = 2 + 3 + 1 = 6.$

Fără paranteză ai fi scris $- 1^{2} = - 1$ și ai fi obținut $- 2 + 3 + 1 = 2$ , un rezultat greșit. Restul valorilor: $f (0) = 1$ , $f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} + 1 = 0$ , $f (1) = 2 - 3 + 1 = 0$ , $f (2) = 8 - 6 + 1 = 3$ , $f (3) = 18 - 9 + 1 = 10$ .

O observație pe care o vei folosi mereu: $f (0) = c$ . Înlocuind $x = 0$ , primii doi termeni dispar și rămâne exact termenul liber. Este cea mai ieftină informație pe care o poți obține despre o funcție de gradul al doilea.

Un tabel de valori se completează pe o listă de valori consecutive ale lui $x$ , alese în jurul zonei care ne interesează. Pentru $f (x) = - x^{2} + 2 x + 3$ :

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f (x)$	$- 5$	$0$	$3$	$4$	$3$	$0$	$- 5$

Citește tabelul de la stânga la dreapta: valorile urcă până la $4$ , apoi coboară. Și citește-l acum din ambele capete spre mijloc: $- 5$ și $- 5$ , $0$ și $0$ , $3$ și $3$ . Oglinda este chiar în dreptul lui $x = 1$ . Tabelul te avertizează singur unde se află „mijlocul" funcției.

5. Puncte pe grafic

Graficul funcției $f$ este mulțimea punctelor $(x, f (x))$ din reperul cartezian, exact ca la graficul unei funcții și lectura grafică. Curba pe care o obții se numește parabolă — un nume pe care îl vei folosi în toate lecțiile următoare.

Un punct $A (x_{0}, y_{0})$ aparține graficului dacă și numai dacă $f (x_{0}) = y_{0}$ . Verificarea este un simplu calcul. Pentru $f (x) = 2 x^{2} - x - 3$ :

$A (2, 3)$ : $f (2) = 8 - 2 - 3 = 3$ . Coincide, deci $A \in G_{f}$ .
$B (- 1, 1)$ : $f (- 1) = 2 + 1 - 3 = 0 \neq = 1$ , deci $B \in / G_{f}$ .

Aceeași idee, citită invers, rezolvă probleme cu parametru. Dacă știm că punctul $A (2, 0)$ aparține graficului funcției $f (x) = x^{2} + m x - 6$ , atunci $f (2) = 0$ , adică $4 + 2 m - 6 = 0$ , de unde $m = 1$ . Funcția este $f (x) = x^{2} + x - 6$ .

6. Determinarea coeficienților din condiții

Trei coeficienți necunoscuți înseamnă trei informații necesare. Fiecare condiție de tipul „ $f (ceva) = ceva$ " se transformă într-o ecuație, iar sistemul obținut se rezolvă prin metodele deja cunoscute.

Exemplu. Determinăm $f (x) = a x^{2} + b x + c$ știind că $f (0) = 3$ , $f (1) = 2$ și $f (- 1) = 6$ .

Din $f (0) = 3$ obținem direct $c = 3$ — de aceea condiția în $0$ se folosește întotdeauna prima. Mai departe:

$f (1) = a + b + 3 = 2 ⟹ a + b = - 1, f (- 1) = a - b + 3 = 6 ⟹ a - b = 3.$

Adunând cele două relații: $2 a = 2$ , deci $a = 1$ și apoi $b = - 2$ . Funcția este $f (x) = x^{2} - 2 x + 3$ . Verificăm: $f (1) = 1 - 2 + 3 = 2$ ✓ și $f (- 1) = 1 + 2 + 3 = 6$ ✓.

Reține tiparul: $f (0)$ dă $c$ , iar $f (1)$ și $f (- 1)$ dau împreună, prin adunare și scădere, pe $a$ și pe $b$ . Este cea mai rapidă combinație de trei condiții și apare des în probleme.

7. Funcția de gradul al doilea ca model al realității

Modelul pătratic nu e o invenție a manualelor. Apare ori de câte ori două mărimi se înmulțesc între ele și una dintre ele depinde liniar de cealaltă.

Traiectorii. Orice corp aruncat, dacă neglijăm frecarea aerului, are înălțimea dată de o funcție de gradul al doilea în timp, cu $a < 0$ (gravitația trage în jos). Exemplu: o piatră aruncată de pe o platformă de $20$ m cu viteza de $15$ m/s are $h (t) = - 5 t^{2} + 15 t + 20$ .

Arii cu perimetru fixat. Ai $40$ m de gard și vrei o grădină dreptunghiulară. Dacă o latură este $x$ , cealaltă este $20 - x$ , iar aria devine

$A (x) = x (20 - x) = - x^{2} + 20 x .$

Valorile: $A (5) = 75$ , $A (10) = 100$ , $A (15) = 75$ . Din nou simetrie, din nou o „culme" pe la mijloc.

Venituri. Un cinema vinde $300$ de bilete la prețul de $20$ lei. Studiile de piață arată că la fiecare leu în plus se vând cu $10$ bilete mai puțin. La prețul $p$ se vând $300 - 10 (p - 20) = 500 - 10 p$ bilete, deci venitul este

$V (p) = p (500 - 10 p) = - 10 p^{2} + 500 p .$

$V (20) = 6000$ , $V (25) = 6250$ , $V (30) = 6000$ — se vede că există un preț mai bun decât cel curent.

Distanțe de frânare. Distanța parcursă de o mașină din momentul apăsării frânei crește cu pătratul vitezei: un model uzual este $d (v) = 0, 01 v^{2} + 0, 2 v$ , în metri, pentru $v$ în km/h. La $50$ km/h obții $d = 25 + 10 = 35$ m, iar la $100$ km/h obții $d = 100 + 20 = 120$ m. Viteza s-a dublat, distanța de oprire s-a mai mult decât triplat. Aceasta e diferența dintre un model liniar și unul pătratic, spusă în metri de asfalt.

8. Ce urmează

Din acest moment ai definiția, ai coeficienții și ai valorile. Cu ele poți deja desena, punct cu punct, orice parabolă. Rămân întrebările pe care tabelul le-a ridicat singur: unde este exact oglinda, cât de sus (sau de jos) urcă funcția, unde taie axele. Fiecare dintre ele are o lecție a ei în continuare — iar toate pornesc din cele trei numere $a$ , $b$ , $c$ pe care le știi acum să le citești.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Recunoaștere și coeficienți

Stabiliți care dintre următoarele funcții sunt de gradul al doilea și precizați coeficienții: $f (x) = 5 - 3 x^{2}$ ; $g (x) = 4 x + 7$ ; $h (x) = (x - 3) (x + 5)$ ; $p (x) = (x + 1)^{2} - x^{2}$ .

Rezolvare. $f (x) = - 3 x^{2} + 0 \cdot x + 5$ : este de gradul al doilea, cu $a = - 3$ , $b = 0$ , $c = 5$ .

$g$ nu conține $x^{2}$ , deci $a = 0$ : este funcție afină, nu de gradul al doilea.

$h (x) = x^{2} + 5 x - 3 x - 15 = x^{2} + 2 x - 15$ : este de gradul al doilea, cu $a = 1$ , $b = 2$ , $c = - 15$ .

$p (x) = x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} = 2 x + 1$ : pătratele se anulează, $a = 0$ , deci $p$ este afină. $■$

Exemplul 2 — Tabel de valori și simetrie

Completați tabelul de valori al funcției $f (x) = x^{2} - 2 x - 3$ pentru $x \in {- 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4}$ și comentați rezultatul.

Rezolvare. Calculăm pe rând, cu paranteze la numerele negative:

$f (- 2) = 4 + 4 - 3 = 5$ ; $f (- 1) = 1 + 2 - 3 = 0$ ; $f (0) = - 3$ ; $f (1) = 1 - 2 - 3 = - 4$ ; $f (2) = 4 - 4 - 3 = - 3$ ; $f (3) = 9 - 6 - 3 = 0$ ; $f (4) = 16 - 8 - 3 = 5$ .

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f (x)$	$5$	$0$	$- 3$	$- 4$	$- 3$	$0$	$5$

Valorile coboară până la $- 4$ și apoi urcă. Perechile simetrice $(- 2, 4)$ , $(- 1, 3)$ , $(0, 2)$ dau valori egale, iar mijlocul lor comun este $x = 1$ — exact locul celei mai mici valori. Verificarea rapidă a unui tabel de valori este chiar această simetrie: dacă nu apare, undeva e o greșeală de calcul. $■$

Exemplul 3 — Punct pe grafic, cu parametru

Determinați numărul real $m$ știind că punctul $A (- 2, 5)$ aparține graficului funcției $f (x) = 2 x^{2} + m x - 3$ . Verificați apoi dacă $B (1, 0)$ aparține graficului funcției obținute.

Rezolvare. Condiția $A \in G_{f}$ înseamnă $f (- 2) = 5$ :

$2 \cdot (- 2)^{2} + m \cdot (- 2) - 3 = 5 ⟺ 8 - 2 m - 3 = 5 ⟺ 5 - 2 m = 5 ⟺ m = 0.$

Deci $f (x) = 2 x^{2} - 3$ . Pentru $B$ : $f (1) = 2 - 3 = - 1 \neq = 0$ , deci $B \in / G_{f}$ . $■$

Exemplul 4 — Trei condiții, trei coeficienți

Determinați funcția de gradul al doilea $f (x) = a x^{2} + b x + c$ care satisface $f (0) = 6$ , $f (1) = 0$ și $f (2) = 0$ .

Rezolvare. Din $f (0) = 6$ : $c = 6$ .

Din $f (1) = 0$ : $a + b + 6 = 0$ , deci $a + b = - 6$ .

Din $f (2) = 0$ : $4 a + 2 b + 6 = 0$ , deci, împărțind la $2$ , $2 a + b = - 3$ .

Scădem prima relație din a doua: $a = 3$ . Atunci $b = - 6 - 3 = - 9$ .

Funcția este $f (x) = 3 x^{2} - 9 x + 6$ . Verificare: $f (1) = 3 - 9 + 6 = 0$ ✓, $f (2) = 12 - 18 + 6 = 0$ ✓, $f (0) = 6$ ✓. Cum $a = 3 \neq = 0$ , este într-adevăr de gradul al doilea. $■$

Exemplul 5 — Un model din viața reală

Un fermier are $24$ m de gard și vrea să împrejmuiască o parcelă dreptunghiulară. Notând cu $x$ una dintre laturi, exprimați aria ca funcție de $x$ , precizați coeficienții și calculați aria pentru $x \in {2, 4, 6, 8, 10}$ .

Rezolvare. Perimetrul este $24$ , deci suma a două laturi alăturate este $12$ , iar cealaltă latură măsoară $12 - x$ . Aria:

$A (x) = x (12 - x) = - x^{2} + 12 x .$

Este o funcție de gradul al doilea cu $a = - 1$ , $b = 12$ , $c = 0$ . Valorile:

$x$ (m)	$2$	$4$	$6$	$8$	$10$
$A (x)$ (m²)	$20$	$32$	$36$	$32$	$20$

Cea mai mare arie din tabel apare la $x = 6$ , adică atunci când parcela este pătrat. Observă și că valorile lui $x$ au sens doar în intervalul $(0, 12)$ : în afara lui, una dintre laturi ar fi nulă sau negativă. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x^{2} - 3 x + 1$ . a) Calculați $f (0) + f (1)$ . b) Arătați că $f (\frac{1}{2}) = 0$ . c) Determinați numerele reale $x$ pentru care $f (x) = 1$ .

Rezolvare. a) $f (0) = 1$ (termenul liber) și $f (1) = 2 - 3 + 1 = 0$ , deci $f (0) + f (1) = 1$ .

b) $f (\frac{1}{2}) = 2 \cdot \frac{1}{4} - 3 \cdot \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} + 1 = 0$ . ✓

c) Condiția $f (x) = 1$ devine $2 x^{2} - 3 x + 1 = 1$ , adică $2 x^{2} - 3 x = 0$ . Dăm factor comun: $x (2 x - 3) = 0$ , deci $x = 0$ sau $x = \frac{3}{2}$ .

Interpretare: graficul funcției trece prin punctele $(0, 1)$ și $(\frac{3}{2}, 1)$ — două puncte diferite la aceeași înălțime, încă o urmă a simetriei. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare calcul de valoare, pune numărul înlocuit în paranteză — este regula care salvează cele mai multe puncte.

1. Care dintre funcțiile următoare sunt de gradul al doilea? a) $f (x) = 3 x^{2} - x + 5$ ; b) $f (x) = 2 x - 7$ ; c) $f (x) = - x^{2} + 4$ ; d) $f (x) = 5$ ; e) $f (x) = x^{3} - x^{2} + 1$ ; f) $f (x) = (x + 1)^{2} - x^{2}$ .

2. Precizează coeficienții $a$ , $b$ , $c$ pentru: $f (x) = - 2 x^{2} + 7 x - 3$ ; $g (x) = x^{2} - 9$ ; $h (x) = 4 x - x^{2}$ ; $p (x) = (x - 3) (x + 5)$ ; $q (x) = (3 x - 2)^{2}$ .

3. Pentru $f (x) = x^{2} - 3 x + 2$ , calculează $f (0)$ , $f (1)$ , $f (2)$ , $f (- 1)$ , $f (3)$ și $f (\frac{1}{2})$ .

4. Completează tabelul de valori al funcției $f (x) = - x^{2} + 2 x + 3$ pentru $x \in {- 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4}$ și indică perechile de valori egale.

5. Verifică dacă punctele $A (2, 3)$ , $B (- 1, 1)$ și $C (0, - 3)$ aparțin graficului funcției $f (x) = 2 x^{2} - x - 3$ .

6. Pentru ce valori ale parametrului real $m$ funcția $f (x) = (m - 2) x^{2} + 3 x - 1$ este de gradul al doilea? Ce devine funcția pentru valoarea exclusă?

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice funcție de gradul al doilea $f (x) = a x^{2} + b x + c$ avem $f (0) = c$ ."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Funcția $f (x) = (x + 2)^{2} - (x - 2)^{2}$ este de gradul al doilea."

9. Determină $a$ , $b$ , $c$ știind că $f (0) = - 1$ , $f (1) = 2$ și $f (- 1) = - 2$ .

10. Fie $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ . Rezolvă ecuația $f (x) = 3$ și explică de ce cele două soluții găsite erau de așteptat să dea aceeași valoare.

11. (Problemă aplicată.) O piatră este aruncată de pe o platformă, iar înălțimea ei este $h (t) = - 5 t^{2} + 15 t + 20$ (metri, $t$ în secunde). a) De la ce înălțime a fost aruncată? b) Calculează $h (1)$ , $h (2)$ și $h (3)$ . c) Verifică prin calcul că $h (4) = 0$ și interpretează rezultatul.

12. (Problemă aplicată.) Ai $24$ m de gard pentru o parcelă dreptunghiulară cu latura $x$ . Scrie aria $A (x)$ sub forma $a x^{2} + b x + c$ și calculează $A (2)$ , $A (4)$ , $A (6)$ , $A (8)$ , $A (10)$ . Ce valori ale lui $x$ au sens practic?

13. Se știe că $f (x) = 2 x^{2} + b x + 3$ și $f (1) = 7$ . Determină $b$ , apoi calculează $f (- 2)$ .

14. Scrie sub forma $a x^{2} + b x + c$ : $f (x) = (2 x - 3) (x + 1)$ ; $g (x) = 3 (x - 1)^{2} - 4$ ; $h (x) = x (5 - 2 x) + 7$ .

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 5 x + 6$ . a) Calculează $f (0) + f (5)$ . b) Arată că $f (2) = f (3) = 0$ . c) Determină numerele reale $x$ pentru care $f (x) = 6$ .

16. (Problemă aplicată.) Venitul unui cinema la prețul $p$ al biletului este $V (p) = - 10 p^{2} + 500 p$ (lei). Calculează $V (20)$ , $V (22)$ , $V (25)$ , $V (28)$ , $V (30)$ și spune ce preț pare cel mai bun dintre acestea.

17. Determină funcția de gradul al doilea $f$ pentru care $f (1) = 0$ , $f (2) = 0$ și $f (0) = 6$ . Este ea unică?

18. (Provocare.) Fie $f (x) = a x^{2} + b x + c$ și șirul valorilor $f (0), f (1), f (2), f (3), \dots$ . a) Arată că diferențele consecutive $f (n + 1) - f (n)$ formează o progresie aritmetică și determină rația ei în funcție de $a$ . b) Folosește rezultatul pentru a găsi funcția de gradul al doilea ale cărei valori în $0, 1, 2, 3, 4$ sunt $1, 4, 11, 22, 37$ .

Răspunsuri și explicații

1. De gradul al doilea sunt a) și c). b) e afină ( $a = 0$ ); d) e constantă; e) are grad $3$ ; f) $(x + 1)^{2} - x^{2} = 2 x + 1$ , deci afină — pătratele se anulează.

2. $f$ : $a = - 2$ , $b = 7$ , $c = - 3$ . $g$ : $a = 1$ , $b = 0$ , $c = - 9$ . $h = - x^{2} + 4 x$ : $a = - 1$ , $b = 4$ , $c = 0$ . $p = x^{2} + 2 x - 15$ : $a = 1$ , $b = 2$ , $c = - 15$ . $q = 9 x^{2} - 12 x + 4$ : $a = 9$ , $b = - 12$ , $c = 4$ .

3. $f (0) = 2$ ; $f (1) = 1 - 3 + 2 = 0$ ; $f (2) = 4 - 6 + 2 = 0$ ; $f (- 1) = 1 + 3 + 2 = 6$ ; $f (3) = 9 - 9 + 2 = 2$ ; $f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 2 = \frac{3}{4}$ .

4. Valorile: $- 5$ , $0$ , $3$ , $4$ , $3$ , $0$ , $- 5$ . Perechi egale: $f (- 2) = f (4) = - 5$ , $f (- 1) = f (3) = 0$ , $f (0) = f (2) = 3$ . Mijlocul fiecărei perechi este $x = 1$ , unde funcția atinge valoarea cea mai mare din tabel, $4$ .

5. $f (2) = 8 - 2 - 3 = 3$ , deci $A \in G_{f}$ . $f (- 1) = 2 + 1 - 3 = 0 \neq = 1$ , deci $B \in / G_{f}$ . $f (0) = - 3$ , deci $C \in G_{f}$ (era previzibil: $f (0) = c = - 3$ ).

6. Este de gradul al doilea pentru $m - 2 \neq = 0$ , adică $m \in R ∖ {2}$ . Pentru $m = 2$ rămâne $f (x) = 3 x - 1$ , funcție afină.

7. Adevărat. $f (0) = a \cdot 0^{2} + b \cdot 0 + c = c$ : primii doi termeni se anulează, indiferent de $a$ și $b$ .

8. Fals. $(x + 2)^{2} - (x - 2)^{2} = (x^{2} + 4 x + 4) - (x^{2} - 4 x + 4) = 8 x$ . Coeficientul lui $x^{2}$ este $0$ , deci funcția este $f (x) = 8 x$ , liniară. Verdictul se dă abia după aducerea la forma generală.

9. $f (0) = c = - 1$ . Din $f (1) = a + b - 1 = 2$ : $a + b = 3$ . Din $f (- 1) = a - b - 1 = - 2$ : $a - b = - 1$ . Adunând: $2 a = 2$ , deci $a = 1$ , $b = 2$ . Funcția este $f (x) = x^{2} + 2 x - 1$ ; verificare: $f (1) = 1 + 2 - 1 = 2$ ✓.

10. $x^{2} - 4 x + 3 = 3 \Leftrightarrow x^{2} - 4 x = 0 \Leftrightarrow x (x - 4) = 0$ , deci $x = 0$ sau $x = 4$ . Erau de așteptat: sunt simetrice față de mijlocul $x = 2$ , iar valorile funcției se repetă simetric — la fel cum s-a văzut în toate tabelele de mai sus.

11. a) $h (0) = 20$ m — chiar termenul liber. b) $h (1) = - 5 + 15 + 20 = 30$ ; $h (2) = - 20 + 30 + 20 = 30$ ; $h (3) = - 45 + 45 + 20 = 20$ . c) $h (4) = - 80 + 60 + 20 = 0$ : după $4$ secunde piatra ajunge la sol (înălțime zero). Observă că $h (1) = h (2) = 30$ : mijlocul lor, $t = 1, 5$ , este momentul în care piatra e cel mai sus.

12. Cealaltă latură este $12 - x$ , deci $A (x) = x (12 - x) = - x^{2} + 12 x$ ( $a = - 1$ , $b = 12$ , $c = 0$ ). Valorile: $A (2) = 20$ , $A (4) = 32$ , $A (6) = 36$ , $A (8) = 32$ , $A (10) = 20$ (m²). Practic au sens doar $x \in (0, 12)$ ; în rest o latură ar fi nulă sau negativă. Cea mai mare arie apare la pătrat, $x = 6$ .

13. $f (1) = 2 + b + 3 = 7$ , deci $b = 2$ și $f (x) = 2 x^{2} + 2 x + 3$ . Atunci $f (- 2) = 2 \cdot 4 + 2 \cdot (- 2) + 3 = 8 - 4 + 3 = 7$ .

14. $f = 2 x^{2} + 2 x - 3 x - 3 = 2 x^{2} - x - 3$ . $g = 3 (x^{2} - 2 x + 1) - 4 = 3 x^{2} - 6 x - 1$ . $h = 5 x - 2 x^{2} + 7 = - 2 x^{2} + 5 x + 7$ .

15. a) $f (0) = 6$ , $f (5) = 25 - 25 + 6 = 6$ , deci suma este $12$ . b) $f (2) = 4 - 10 + 6 = 0$ și $f (3) = 9 - 15 + 6 = 0$ . ✓ c) $x^{2} - 5 x + 6 = 6 \Leftrightarrow x^{2} - 5 x = 0 \Leftrightarrow x (x - 5) = 0$ , deci $x = 0$ sau $x = 5$ — exact valorile din punctul a), care dădeau aceeași imagine.

16. $V (20) = - 4000 + 10000 = 6000$ ; $V (22) = - 4840 + 11000 = 6160$ ; $V (25) = - 6250 + 12500 = 6250$ ; $V (28) = - 7840 + 14000 = 6160$ ; $V (30) = - 9000 + 15000 = 6000$ . Dintre acestea, cel mai bun preț este $25$ lei, cu $6250$ lei venit. Din nou simetrie: $V (22) = V (28)$ și $V (20) = V (30)$ , iar mijlocul e $25$ .

17. $c = f (0) = 6$ ; $a + b + 6 = 0$ și $4 a + 2 b + 6 = 0$ , adică $a + b = - 6$ și $2 a + b = - 3$ . Scăzând: $a = 3$ , deci $b = - 9$ . Funcția este $f (x) = 3 x^{2} - 9 x + 6$ și este unică: cele trei condiții au dat un sistem cu soluție unică, iar $a = 3 \neq = 0$ confirmă gradul al doilea.

18. a) $f (n + 1) - f (n) = a [(n + 1)^{2} - n^{2}] + b [(n + 1) - n] = a (2 n + 1) + b = 2 an + (a + b)$ . Este o expresie de gradul întâi în $n$ , deci diferențele formează o progresie aritmetică cu rația $2 a$ (de la $n$ la $n + 1$ expresia crește cu $2 a$ ).

b) Diferențele consecutive ale șirului $1, 4, 11, 22, 37$ sunt $3, 7, 11, 15$ , iar rația lor este $4$ . Din $2 a = 4$ obținem $a = 2$ . Apoi $f (0) = c = 1$ și $f (1) = 2 + b + 1 = 4$ , deci $b = 1$ . Funcția este $f (x) = 2 x^{2} + x + 1$ . Verificare: $f (2) = 8 + 2 + 1 = 11$ ✓, $f (3) = 18 + 3 + 1 = 22$ ✓, $f (4) = 32 + 4 + 1 = 37$ ✓. Este metoda „diferențelor de ordinul al doilea", folosită și astăzi pentru a recunoaște un tipar pătratic într-un set de măsurători.

De reținut

Definiția: $f : R \to R$ , $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , cu $a, b, c \in R$ și $a \neq = 0$ . Dacă $a = 0$ , funcția devine afină și pierde toate proprietățile studiate aici.
Coeficienții se citesc numai după aducerea la forma generală: desfaci parantezele, reduci termenii asemenea, ordonezi după puterile lui $x$ , abia apoi identifici $a$ , $b$ , $c$ .
$f (0) = c$ — termenul liber este valoarea funcției în zero, cea mai rapidă informație disponibilă.
La calculul valorilor, numărul înlocuit se scrie în paranteză: $f (- 1)$ cere $(- 1)^{2} = 1$ , nu $- 1$ .
Tabelul de valori al unei funcții de gradul al doilea are întotdeauna valori care se repetă simetric în jurul unui mijloc; graficul este o curbă numită parabolă.

Greșeli frecvente

Uiți semnul minus la coeficientul dominant. În $f (x) = 3 - x^{2}$ , coeficientul lui $x^{2}$ este $- 1$ , nu $1$ . Rescrie întotdeauna funcția în ordinea $a x^{2} + b x + c$ înainte de a citi ceva.
Declari „gradul al doilea" fără să verifici $a \neq = 0$ . La expresii ca $(x + 2)^{2} - x^{2}$ sau la funcții cu parametru, pătratele se pot anula. Desfaci întâi, decizi după.
Calculezi $f (- 2)$ fără paranteză. Scriind $- 2^{2}$ obții $- 4$ în loc de $4$ și tot exercițiul cade. Paranteza este obligatorie la orice număr negativ înlocuit.
Confuzi $f (x) = 0$ cu $f (0)$ . $f (0)$ este o valoare a funcției (egală cu $c$ ), în timp ce $f (x) = 0$ este o ecuație cu necunoscuta $x$ . Sunt întrebări complet diferite.
Într-o problemă aplicată, uiți condițiile de sens. La aria unei parcele cu latura $x$ și perimetru $24$ m, doar $x \in (0, 12)$ are semnificație; valorile negative sau prea mari rezolvă formula, dar nu și problema.

Aplică acasă

Mingea filmată. Filmează cu telefonul o minge aruncată vertical în sus, în fața unui perete cu repere (de exemplu, rândurile de gresie sau o ușă). Oprește filmul din $0, 2$ în $0, 2$ secunde și notează înălțimea aproximativă. Fă tabelul, calculează diferențele consecutive și verifică dacă acestea scad cu o cantitate aproape constantă — semnul modelului pătratic. Compară apoi valorile tale cu $h (t) = - 5 t^{2} + v_{0} t$ , alegând $v_{0}$ cât mai potrivit.
Grădina optimă. Măsoară cu pasul o bucată de teren (curte, balcon, parc) și presupune că ai exact $30$ m de gard. Scrie funcția ariei $A (x) = x (15 - x)$ , completează un tabel pentru $x$ din metru în metru de la $1$ la $14$ și desenează punctele pe hârtie milimetrică. Ce formă are norul de puncte? Unde este cea mai mare arie?
Frânarea în cifre. Caută pe internet tabelul distanțelor de oprire pentru un autoturism la $30$ , $50$ , $70$ , $90$ și $110$ km/h. Verifică dacă valorile se potrivesc mai bine cu un model liniar sau cu unul pătratic, calculând de fiecare dată de câte ori crește distanța când viteza se dublează. Scrie apoi într-o frază de ce limitele de viteză în localitate nu sunt o formalitate.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce funcția de gradul al doilea la nivelul trunchiului comun: definiția cu condiția esențială $a \neq = 0$ , citirea coeficienților după aducerea la forma generală, calculul valorilor, tabelul de valori și recunoașterea modelului pătratic în contexte reale. Nu se cer încă vârful, axa de simetrie sau intersecțiile cu axele — ele urmează în lecțiile imediat următoare; aici elevul trebuie doar să observe, în tabelele proprii, că valorile se repetă simetric.

Întrebări bune de control: „De ce trebuie $a \neq = 0$ ?" (altfel funcția e afină); „Cât este $f (0)$ și de ce?" ( $c$ , pentru că ceilalți termeni se anulează); „Este $(x + 3)^{2} - x^{2}$ o funcție de gradul al doilea?" (nu — desfăcută, dă $6 x + 9$ ); „Cum verifici dacă un punct este pe grafic?" (înlocuiești abscisa și compari cu ordonata). Semne că a înțeles: pune paranteze la numerele negative înlocuite, ordonează expresia înainte de a citi coeficienții și sesizează singur simetria valorilor din tabel.

La teze și la examenul de Bacalaureat, această lecție apare aproape întotdeauna în primele cerințe ale subiectului: calcule de tipul $f (0) + f (1)$ , verificarea unei egalități de valori, determinarea unui parametru dintr-o condiție de apartenență la grafic. Sunt puncte care se iau integral dacă aritmetica este curată — motiv suficient ca exercițiile 1–5 și 13–15 să fie făcute în întregime, nu selectiv.

Întrebări frecvente

Ce este funcția de gradul al doilea? Este o funcție $f : R \to R$ de forma $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , unde $a$ , $b$ , $c$ sunt numere reale, iar coeficientul $a$ este obligatoriu diferit de zero. Graficul ei este o curbă numită parabolă.

De ce trebuie ca $a$ să fie diferit de zero? Pentru că termenul $a x^{2}$ este exact ceea ce deosebește această funcție de una afină. Dacă $a = 0$ , formula devine $f (x) = b x + c$ , graficul se transformă în dreaptă și dispar simetria, vârful și toate proprietățile specifice.

Cum aflu coeficienții $a$ , $b$ și $c$ dintr-o formulă cu paranteze? Desfaci parantezele, reduci termenii asemenea și ordonezi expresia după puterile descrescătoare ale lui $x$ . Abia atunci citești: $a$ este numărul din fața lui $x^{2}$ , $b$ cel din fața lui $x$ , iar $c$ termenul fără $x$ .

Cât este $f (0)$ la o funcție de gradul al doilea? Este întotdeauna egal cu $c$ , termenul liber, deoarece pentru $x = 0$ ceilalți doi termeni se anulează. Grafic, înseamnă că parabola trece prin punctul $(0, c)$ .

Cum verific dacă un punct aparține graficului? Înlocuiești abscisa punctului în formulă și compari rezultatul cu ordonata. Dacă cele două numere coincid, punctul aparține graficului; dacă nu, nu aparține. De exemplu, $A (2, 3)$ aparține graficului lui $f (x) = 2 x^{2} - x - 3$ pentru că $f (2) = 3$ .

Cum determin funcția dacă știu trei valori ale ei? Fiecare valoare dată produce o ecuație în $a$ , $b$ , $c$ , deci obții un sistem cu trei ecuații. Cel mai comod este să folosești $f (0)$ (care dă direct $c$ ), apoi $f (1)$ și $f (- 1)$ , a căror sumă și diferență dau imediat pe $a$ și pe $b$ .

Unde se întâlnește funcția de gradul al doilea în viața reală? La traiectoria oricărui obiect aruncat, la aria unei figuri cu perimetru fixat, la venitul obținut dintr-un preț variabil, la distanța de frânare a unui vehicul și la forma antenelor sau a farurilor parabolice. Apare ori de câte ori două mărimi se înmulțesc, iar una depinde liniar de cealaltă.

De ce se repetă valorile în tabelul unei funcții de gradul al doilea? Pentru că graficul are o axă de simetrie verticală: două valori ale lui $x$ situate la distanțe egale față de ea produc aceeași imagine. Poziția exactă a acestei axe și formula ei se studiază în lecția despre parabolă, vârf și axă de simetrie.