Ce domeniu are funcția logaritmică?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Funcția logaritmică și oglinda ei

Domeniul este $(0, \infty)$ : se pot logaritma doar numerele strict pozitive, fiindcă nicio putere cu bază pozitivă nu dă zero sau un rezultat negativ. Mulțimea valorilor este, în schimb, toată axa reală. Graficul are axa verticală drept asimptotă și trece mereu prin punctul $(1, 0)$ . La o funcție de forma $lo g_{a} (2 x - 6)$ ceri $2 x - 6 > 0$ , deci $x > 3$ .

Funcția logaritmică de bază $a$ (cu $a > 0$ , $a \neq = 1$ ) este $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = lo g_{a} x$ . Domeniul este $(0, + \infty)$ , pentru că logaritmul cere argument strict pozitiv — nu există $lo g_{a} 0$ și nici logaritm dintr-un număr negativ. Mulțimea valorilor este întreg $R$ : exponentul poate fi orice număr real.

Graficul trece întotdeauna prin $(1, 0)$ , indiferent de bază, pentru că $lo g_{a} 1 = 0$ ; un al doilea punct sigur este $(a, 1)$ , pentru că $lo g_{a} a = 1$ . Dreapta $x = 0$ (axa $O y$ ) este asimptotă verticală: graficul se apropie oricât de mult de ea, fără să o atingă.

Monotonia depinde de bază: pentru $a > 1$ funcția este strict crescătoare (curbă ce urcă lin, tot mai încet, spre dreapta); pentru $0 < a < 1$ este **strict descrescătoare**. Semnul se citește direct din monotonie: pentru $a > 1$ , $lo g_{a} x < 0$ pe $(0, 1)$ și $lo g_{a} x > 0$ pe $(1, + \infty)$ .

Ideea cea mai frumoasă a lecției: graficele funcțiilor $g (x) = a^{x}$ și $f (x) = lo g_{a} x$ sunt simetrice față de prima bisectoare $y = x$ , fiind funcții inverse — punctului $(u, v)$ de pe una îi corespunde $(v, u)$ pe cealaltă. De exemplu, din $2^{3} = 8$ obținem punctul corespondent $(8, 3)$ pe graficul lui $lo g_{2} x$ .

De reținut

$f (x) = lo g_{a} x$ are domeniul $(0, \infty)$ și imaginea $R$
graficul trece prin $(1, 0)$ și prin $(a, 1)$
axa $O y$ este asimptotă verticală

Greșeala tipică

Se caută rădăcinile expresiei de sub logaritm și se scot doar ele din domeniu, ca la o fracție; aici condiția este ca întreaga expresie să fie strict pozitivă.

Exerciții din această mini-lecție

Care este domeniul de definiție al funcției $f (x) = lo g_{3} x$ ?
- a) $R$
- b) $(0, + \infty)$
- c) $[0, + \infty)$
- d) $R ∖ {0}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(0, + \infty)$

Logaritmul cere argument strict pozitiv: nu există niciun exponent $c$ cu $3^{c} \leq 0$ . Domeniul funcției logaritmice este întotdeauna $(0, + \infty)$ .
Prin ce punct trece graficul oricărei funcții logaritmice $f (x) = lo g_{a} x$ , indiferent de bază?
- a) $(0, 1)$
- b) $(1, 0)$
- c) $(1, 1)$
- d) $(0, 0)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(1, 0)$

$lo g_{a} 1 = 0$ pentru orice bază admisibilă $a$ (pentru că $a^{0} = 1$ ), deci punctul $(1, 0)$ este comun tuturor graficelor funcțiilor logaritmice.
Cum este funcția $g (x) = lo g_{1/2} x$ ?
- a) strict crescătoare
- b) strict descrescătoare
- c) constantă
- d) nu este monotonă
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) strict descrescătoare

Baza $\frac{1}{2}$ este subunitară ( $0 < a < 1$ ), deci funcția logaritmică este strict descrescătoare. Verificare: $lo g_{1/2} 4 = - 2$ și $lo g_{1/2} 8 = - 3$ ; din $4 < 8$ rezultă $- 2 > - 3$ , deci ordinea se inversează.

Întrebări conexe

Cum arată graficul funcției logaritm în baza 2?

Pornește lipit de axa verticală, de foarte jos, urcă repede până taie axa orizontală în punctul $(1, 0)$ , apoi continuă să urce tot mai încet. Trece și prin $(2, 1)$ , fiindcă baza ridicată la puterea întâi dă chiar baza. Nu are nici capăt de sus, nici de jos.

Ce valori poate lua funcția logaritmică?

Toate numerele reale. Exponentul la care ridici baza poate fi oricât de mare sau de mic, deci rezultatul acoperă întreaga axă. De aceea funcția este surjectivă spre mulțimea numerelor reale, spre deosebire de exponențială, ale cărei valori rămân pozitive.

Este funcția logaritmică injectivă?

Da, fiind strict monotonă: crescătoare pentru bază supraunitară și descrescătoare pentru bază subunitară. Prin urmare, dintr-o egalitate între doi logaritmi cu aceeași bază se poate trece direct la egalitatea numerelor. Pe asta se sprijină rezolvarea ecuațiilor logaritmice.

Cum compar logaritm din 5 cu logaritm din 7 în aceeași bază?

Te uiți la bază. Dacă este mai mare decât unu, funcția crește, deci logaritmul lui $5$ este mai mic. Dacă baza se află între zero și unu, ordinea se întoarce, iar logaritmul lui $5$ devine mai mare. Fără bază, comparația nu se poate face.

Ce condiție pun la funcția logaritm din 2x minus 6?

Ceri ca expresia de sub logaritm să fie strict pozitivă: $2 x - 6 > 0$ , deci $x > 3$ . Domeniul este intervalul $(3, \infty)$ , cu capătul exclus, fiindcă acolo expresia s-ar anula. Condiția se scrie înainte de orice calcul cu logaritmi.

Oamenii mai întreabă și: domeniul funcției logaritmice · condiția de existență a logaritmului · unde este definită funcția log · funcția logaritmică și graficul ei