Funcția logaritmică și graficul ei

Un program de calculator caută un cuvânt într-un dicționar cu un milion de intrări. Nu îl citește pe tot: deschide la mijloc, vede în ce jumătate se află cuvântul, aruncă cealaltă jumătate și repetă. La fiecare pas rămâne cu jumătate din câte avea. Câți pași îi trebuie? Douăzeci. Exact douăzeci, pentru un milion de intrări. Dacă dicționarul ar avea un miliard de intrări, i-ar trebui treizeci. Creșterea numărului de pași e ridicol de lentă în comparație cu explozia datelor — și asta pentru că numărul de pași este, cu foarte bună aproximație, $lo g_{2} n$ .

Această încetineală extraordinară este semnătura funcției logaritmice. În lecția precedentă, despre logaritm, ai învățat ce înseamnă $lo g_{a} b$ ca număr. Acum lăsăm argumentul să varieze și obținem o funcție: $f (x) = lo g_{a} x$ . Îi vom studia domeniul, forma graficului, monotonia și — poate cel mai frumos lucru din lecție — vom descoperi că graficul ei este oglinda perfectă a graficului funcției exponențiale, față de prima bisectoare.

Ce vei învăța

Vei ști să precizezi domeniul de definiție al funcției logaritmice, $(0, + \infty)$ , și să justifici de ce zero și numerele negative sunt excluse.
Vei ști să construiești tabelul de valori și să recunoști forma graficului funcției $f (x) = lo g_{a} x$ .
Vei ști să citești de pe grafic punctele remarcabile $(1, 0)$ și $(a, 1)$ , mulțimea valorilor $R$ și asimptota verticală $x = 0$ .
Vei ști să stabilești monotonia funcției în funcție de bază: crescătoare pentru $a > 1$ , descrescătoare pentru $0 < a < 1$ .
Vei ști să explici simetria față de prima bisectoare dintre graficul logaritmic și cel exponențial.
Vei ști să rezolvi grafic ecuații de forma $lo g_{a} x = m$ și să citești semnul funcției logaritmice.

Hai să descoperim împreună

1. De la logaritm-număr la logaritm-funcție

Până acum ai calculat logaritmi punctuali: $lo g_{2} 8 = 3$ , $lo g_{2} 16 = 4$ , $lo g_{2} \frac{1}{2} = - 1$ . Fixăm baza $a = 2$ și lăsăm argumentul să se plimbe. Fiecărui număr strict pozitiv $x$ îi corespunde atunci un singur număr real $lo g_{2} x$ — adică exact ce cere definiția unei funcții.

Definiție. Fie $a > 0$ , $a \neq = 1$ . Funcția

$f : (0, + \infty) \to R, f (x) = lo g_{a} x$

se numește funcție logaritmică de bază $a$ .

De ce domeniul este $(0, + \infty)$ și nu tot $R$ ? Pentru că logaritmul cere argument strict pozitiv. Nu există niciun exponent $c$ pentru care $2^{c}$ să fie $0$ sau un număr negativ, deci $f (0)$ și $f (- 5)$ pur și simplu nu au sens. Domeniul funcției logaritmice este, așadar, mulțimea numerelor strict pozitive.

De ce codomeniul este tot $R$ ? Pentru că exponentul poate fi orice: pozitiv, negativ sau nul. Vom vedea imediat, pe grafic, că funcția logaritmică ia toate valorile reale — mulțimea valorilor ei este $R$ , nici mai mult, nici mai puțin.

2. Tabelul de valori și graficul, pentru baza 2

Alegem baza $a = 2$ și puncte convenabile — puteri ale lui 2, ca să obținem valori exacte:

$x$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$	$8$	$16$
$lo g_{2} x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$

Citește tabelul de la stânga la dreapta și observă ritmul: ca să crească valoarea funcției cu o unitate, argumentul trebuie înmulțit cu 2. De la $x = 1$ la $x = 2$ : un pas. De la $x = 2$ la $x = 4$ : încă un pas. De la $x = 8$ la $x = 16$ : tot un pas — deși pe axa $O x$ am parcurs opt unități. Aceasta este toată esența funcției logaritmice: înmulțirea argumentului se traduce în adunare la valoare.

Trasând punctele și unindu-le, obținem o curbă care:

vine „de jos", lipită de axa $O y$ , când $x$ se apropie de $0$ ;
taie axa $O x$ exact în punctul $(1, 0)$ ;
urcă apoi tot mai lin, fără să se oprească vreodată.

3. Proprietățile citite de pe grafic (baza supraunitară)

Pentru $a > 1$ — cazul cel mai frecvent, cu bazele 2, 10 sau $e$ — graficul ne spune tot:

Domeniul: $(0, + \infty)$ . Graficul există doar în dreapta axei $O y$ .
Mulțimea valorilor: $R$ . Curba coboară oricât de mult spre stânga și urcă oricât de mult spre dreapta: orice orizontală $y = m$ o taie.
Intersecția cu axa $O x$ : punctul $(1, 0)$ , pentru că $lo g_{a} 1 = 0$ indiferent de bază. Toate funcțiile logaritmice trec prin acest punct.
Un al doilea punct sigur: $(a, 1)$ , pentru că $lo g_{a} a = 1$ . La baza 2 este $(2, 1)$ ; la baza 10 este $(10, 1)$ .
Intersecția cu axa $O y$ : nu există. Valoarea $x = 0$ nu aparține domeniului.
Monotonia: funcția este strict crescătoare. Dacă $0 < x_{1} < x_{2}$ , atunci $lo g_{a} x_{1} < lo g_{a} x_{2}$ .
Asimptota verticală: dreapta $x = 0$ (axa $O y$ ). Când $x$ se apropie de zero, valorile coboară nemărginit, dar curba nu atinge niciodată axa.
Semnul funcției: $lo g_{a} x < 0$ pentru $x \in (0, 1)$ , $lo g_{a} x = 0$ pentru $x = 1$ , $lo g_{a} x > 0$ pentru $x > 1$ .

Ultima proprietate se citește direct: graficul e sub axa $O x$ la stânga lui 1 și deasupra ei la dreapta. Merită memorată ca imagine, pentru că apare la aproape orice exercițiu cu semnul unei expresii logaritmice.

Monotonia are o consecință practică imediată: comparăm logaritmi comparând argumentele. Cum $5 < 9$ , rezultă imediat $lo g_{2} 5 < lo g_{2} 9$ (într-adevăr, $2, 32 < 3, 17$ ). Nu ai nevoie de calculator.

4. Ce se schimbă la o bază subunitară

Dacă baza este cuprinsă între 0 și 1 — de exemplu $a = \frac{1}{2}$ — totul se răstoarnă. Să facem tabelul:

$x$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$	$8$
$lo g_{1/2} x$	$3$	$2$	$1$	$0$	$- 1$	$- 2$	$- 3$

Verifică un rând: $lo g_{1/2} 8 = - 3$ , pentru că $(\frac{1}{2})^{- 3} = 2^{3} = 8$ . ✓

Graficul este acum strict descrescător: coboară de sus, taie axa $O x$ tot în $(1, 0)$ și continuă să scadă. Domeniul, mulțimea valorilor și asimptota rămân neschimbate; se schimbă doar sensul de parcurgere și semnul:

$0 < a < 1 : lo g_{a} x > 0 pentru x \in (0, 1), lo g_{a} x < 0 pentru x > 1.$

Regula de reținut, valabilă și la exponențială, și la logaritmică: baza supraunitară păstrează ordinea, baza subunitară o inversează.

5. Oglinda: logaritmica și exponențiala, față de prima bisectoare

Aici se ascunde cea mai elegantă idee a lecției. Compară cele două tabele, pentru baza 2:

Funcția exponențială $g (x) = 2^{x}$		Funcția logaritmică $f (x) = lo g_{2} x$
$x$	$2^{x}$	$x$	$lo g_{2} x$
$- 2$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$- 2$
$0$	$1$	$1$	$0$
$1$	$2$	$2$	$1$
$3$	$8$	$8$	$3$

Coloanele sunt aceleași, doar schimbate între ele! Punctul $(3, 8)$ de pe graficul exponențialei are drept corespondent punctul $(8, 3)$ pe graficul logaritmicei. Or, două puncte de forma $(u, v)$ și $(v, u)$ sunt simetrice față de prima bisectoare, dreapta $y = x$ . Prin urmare:

Graficele funcțiilor $g (x) = a^{x}$ și $f (x) = lo g_{a} x$ sunt simetrice față de dreapta $y = x$ .

Motivul profund îl cunoști din lecția despre funcția inversă: cele două funcții sunt inverse una alteia. Exponențiala duce exponentul în putere, logaritmul aduce puterea înapoi în exponent. Egalitățile $lo g_{a} a^{x} = x$ și $a^{l o g_{a} x} = x$ spun exact acest lucru, iar simetria față de prima bisectoare este semnătura grafică a oricărei perechi de funcții inverse.

Din simetrie deducem instantaneu tot ce știm deja, fără niciun calcul nou:

Funcția exponențială $a^{x}$ , $a > 1$	Funcția logaritmică $lo g_{a} x$ , $a > 1$
domeniul $R$	mulțimea valorilor $R$
valorile în $(0, + \infty)$	domeniul $(0, + \infty)$
trece prin $(0, 1)$	trece prin $(1, 0)$
trece prin $(1, a)$	trece prin $(a, 1)$
asimptotă orizontală $y = 0$	asimptotă verticală $x = 0$
strict crescătoare	strict crescătoare

Fiecare rând este oglinda celuilalt: „orizontal" devine „vertical", perechea $(0, 1)$ devine $(1, 0)$ . Dacă memorezi bine graficul exponențialei — pe care l-ai studiat la funcția exponențială — îl ai gratis și pe cel al logaritmicei.

6. Cât de lent crește logaritmul

Funcția logaritmică este crescătoare, dar cu o încetineală greu de imaginat. Comparăm trei funcții pe același domeniu:

$x$	$lo g_{2} x$	$x$	$x$
$4$	$2$	$2$	$4$
$100$	$\approx 6, 64$	$10$	$100$
$1000$	$\approx 9, 97$	$\approx 31, 6$	$1000$
$1000000$	$\approx 19, 93$	$1000$	$1000000$

De la o mie la un milion argumentul s-a înmulțit cu o mie, radicalul din lecția despre funcția radical de ordin 2 a crescut de peste 31 de ori, dar logaritmul abia s-a dublat. Este exact opusul creșterii exponențiale: dacă exponențiala explodează, logaritmul se târăște.

Această încetineală nu e un defect, ci motivul pentru care logaritmul e atât de util. El comprimă mărimile uriașe într-un interval mic și comod — ideea care stă la baza scărilor logaritmice din chimie, acustică și seismologie, subiectul lecției despre scări logaritmice. Și tot ea explică de ce căutarea binară din deschiderea lecției rezolvă un milion de intrări în douăzeci de pași.

7. Lecturi grafice: ecuații și inecuații citite de pe curbă

Programa cere să folosim graficul ca instrument de lucru. Iată cele trei citiri esențiale.

Ecuația $lo g_{a} x = m$ . Intersectăm graficul cu dreapta orizontală $y = m$ . Cum funcția este strict monotonă și ia toate valorile reale, orice orizontală taie curba în exact un punct: ecuația are întotdeauna o singură soluție, oricare ar fi $m$ real. Pentru $lo g_{2} x = 3$ citim $x = 8$ ; pentru $lo g_{2} x = - 2$ citim $x = \frac{1}{4}$ .

Inecuația $lo g_{2} x > 0$ . Căutăm porțiunea de grafic aflată deasupra axei $O x$ : este partea din dreapta lui 1, deci soluția este $x \in (1, + \infty)$ . Analog, $lo g_{2} x < 0$ dă $x \in (0, 1)$ — atenție să nu uiți capătul din stânga, impus de domeniu.

Ecuația $f (x) = g (x)$ . Se citește ca abscisa punctului de intersecție a celor două grafice. De exemplu, graficele lui $y = lo g_{2} x$ și $y = 2^{x}$ nu se intersectează deloc: prima curbă stă în întregime sub prima bisectoare, a doua în întregime deasupra ei.

Reține și cazul limită: dacă $x$ nu este o putere frumoasă a bazei, citirea grafică dă doar o aproximare. Din grafic, soluția ecuației $lo g_{2} x = 2, 5$ se află între 5 și 6; valoarea exactă este $x = 2^{2, 5} \approx 5, 66$ .

8. Ce nu facem acum

Rezolvarea algebrică a ecuațiilor și inecuațiilor logaritmice, precum și proprietățile operatorii ale logaritmilor, sunt materie de clasa a X-a. În clasa a IX-a observăm funcția: domeniul, forma graficului, monotonia, semnul, asimptota, simetria cu exponențiala și lecturile grafice. Instrumentele digitale (GeoGebra, Desmos) sunt aliați legitimi — programa le recomandă explicit pentru trasarea graficelor.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Tabel de valori și puncte remarcabile

Construiți tabelul de valori al funcției $f (x) = lo g_{3} x$ pentru $x \in {\frac{1}{9}, \frac{1}{3}, 1, 3, 9, 27}$ și precizați două puncte remarcabile de pe grafic.

Rezolvare. Scriem fiecare argument ca putere a lui 3:

$x$	$\frac{1}{9} = 3^{- 2}$	$\frac{1}{3} = 3^{- 1}$	$1 = 3^{0}$	$3 = 3^{1}$	$9 = 3^{2}$	$27 = 3^{3}$
$lo g_{3} x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$

Punctele remarcabile: $(1, 0)$ — intersecția cu axa $O x$ , comună tuturor funcțiilor logaritmice — și $(3, 1)$ , care „arată" baza. ✓

Exemplul 2 — Domeniul unei funcții logaritmice compuse

Determinați domeniul maxim de definiție al funcțiilor $f (x) = lo g_{2} (x - 3)$ și $g (x) = lo g_{5} (4 - x)$ .

Rezolvare. Condiția de existență cere ca argumentul logaritmului să fie strict pozitiv.

Pentru $f$ : $x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3$ , deci domeniul este $(3, + \infty)$ .

Pentru $g$ : $4 - x > 0 \Rightarrow x < 4$ , deci domeniul este $(- \infty, 4)$ .

Observă că graficul lui $f$ este graficul lui $lo g_{2} x$ translatat cu 3 unități la dreapta, iar asimptota lui verticală devine dreapta $x = 3$ . ✓

Exemplul 3 — Comparații prin monotonie

Comparați, fără calculator: a) $lo g_{2} 7$ și $lo g_{2} 12$ ; b) $lo g_{1/2} 4$ și $lo g_{1/2} 8$ ; c) $lo g_{3} 1$ și $lo g_{3} 5$ .

Rezolvare. a) Baza $2 > 1$ , deci funcția e strict crescătoare și ordinea se păstrează: din $7 < 12$ rezultă $lo g_{2} 7 < lo g_{2} 12$ .

b) Baza $\frac{1}{2} < 1$ , deci funcția e strict descrescătoare și ordinea se inversează: din $4 < 8$ rezultă $lo g_{1/2} 4 > lo g_{1/2} 8$ . (Verificare: $- 2 > - 3$ ✓.)

c) $lo g_{3} 1 = 0$ , iar $lo g_{3} 5 > 0$ pentru că $5 > 1$ și baza e supraunitară. Deci $lo g_{3} 1 < lo g_{3} 5$ . ✓

Exemplul 4 — Simetria față de prima bisectoare

Punctul $A (4, 16)$ aparține graficului funcției $g (x) = 2^{x}$ . Determinați punctul corespunzător de pe graficul funcției $f (x) = lo g_{2} x$ și verificați rezultatul prin calcul.

Rezolvare. Simetricul lui $A (4, 16)$ față de dreapta $y = x$ este $A^{'} (16, 4)$ — se schimbă între ele coordonatele.

Verificare: $f (16) = lo g_{2} 16 = 4$ , pentru că $2^{4} = 16$ . Într-adevăr, $A^{'} (16, 4)$ este pe graficul funcției logaritmice. ✓

Generalizare utilă: dacă $(u, v)$ este pe graficul lui $a^{x}$ , atunci $(v, u)$ este pe graficul lui $lo g_{a} x$ . Nu ai nevoie de niciun calcul, doar de schimbarea coordonatelor.

Exemplul 5 — Lectură grafică a unei ecuații

Folosind graficul funcției $f (x) = lo g_{2} x$ , rezolvați $lo g_{2} x = 5$ și aproximați soluția ecuației $lo g_{2} x = 3, 5$ .

Rezolvare. Intersectăm graficul cu orizontala $y = 5$ : soluția este abscisa punctului de intersecție. Din definiție, $lo g_{2} x = 5 ⟺ x = 2^{5} = 32$ . Soluția este $x = 32$ , unică — funcția fiind strict crescătoare, orizontala taie curba o singură dată.

Pentru $m = 3, 5$ : soluția este între cea corespunzătoare lui $m = 3$ (adică $x = 8$ ) și cea corespunzătoare lui $m = 4$ (adică $x = 16$ ). Cu calculatorul, $x = 2^{3, 5} \approx 11, 31$ . ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră funcția $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = lo g_{3} x$ . a) Calculați $f (1) + f (3) + f (9)$ . b) Determinați valorile lui $x$ pentru care graficul funcției se află sub axa $O x$ . c) Arătați că ecuația $f (x) = 5$ are exact o soluție și determinați-o.

Rezolvare. a) $f (1) = lo g_{3} 1 = 0$ ; $f (3) = lo g_{3} 3 = 1$ ; $f (9) = lo g_{3} 9 = 2$ . Suma este $0 + 1 + 2 = 3$ .

b) Graficul e sub axa $O x$ acolo unde $f (x) < 0$ , adică unde $lo g_{3} x < 0$ . Cum baza $3 > 1$ , funcția e crescătoare și se anulează în $x = 1$ ; deci $f (x) < 0$ exact pe $(0, 1)$ . Nu uita restricția de domeniu: soluția este $x \in (0, 1)$ , nu $x < 1$ .

c) Funcția este strict crescătoare pe tot domeniul, deci orice orizontală $y = m$ intersectează graficul în cel mult un punct; cum mulțimea valorilor este $R$ , orizontala $y = 5$ chiar îl intersectează. Rezultă exact o soluție, iar din definiție $x = 3^{5} = 243$ . ✓

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Unde ți se cere o citire grafică, desenează schița graficului — o schiță corectă valorează cât o rezolvare.

1. Completează tabelul de valori pentru $f (x) = lo g_{2} x$ la $x \in {\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 1, 2, 4, 8, 16}$ și trasează schița graficului.

2. Care este domeniul de definiție al funcției $f (x) = lo g_{5} x$ ? Dă două exemple de numere care nu aparțin domeniului și explică de ce.

3. Precizează patru puncte prin care trece graficul funcției $f (x) = lo g_{3} x$ , alegând argumente convenabile.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Graficul funcției logaritmice intersectează axa $O y$ ."

5. Compară, fără calculator: a) $lo g_{2} 5$ și $lo g_{2} 9$ ; b) $lo g_{3} 20$ și $lo g_{3} 8$ ; c) $lo g_{10} 1$ și $lo g_{10} 100$ .

6. Compară $lo g_{1/3} 9$ și $lo g_{1/3} 27$ . Explică de ce ordinea se inversează față de exercițiul precedent.

7. Determină domeniul maxim de definiție pentru: a) $f (x) = lo g_{2} (x - 5)$ ; b) $g (x) = lo g_{3} (x + 1)$ ; c) $h (x) = lo g_{10} (7 - x)$ .

8. Care este mulțimea valorilor funcției $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = lo g_{2} x$ ? Justifică folosind graficul.

9. Rezolvă, citind de pe graficul funcției $lo g_{2}$ : a) $lo g_{2} x = 4$ ; b) $lo g_{2} x = - 3$ ; c) $lo g_{2} x = 0$ .

10. Stabilește semnul funcției $f (x) = lo g_{2} x$ pe domeniul ei și scrie rezultatul sub formă de intervale.

11. Stabilește semnul funcției $g (x) = lo g_{1/2} x$ pe domeniul ei. Compară cu exercițiul anterior.

12. Punctul $B (5, 32)$ aparține graficului funcției $y = 2^{x}$ . Ce punct îi corespunde pe graficul funcției $y = lo g_{2} x$ ? Verifică prin calcul.

13. Care este asimptota graficului funcției $f (x) = lo g_{2} x$ ? Ce se întâmplă cu valorile funcției când $x$ se apropie de $0$ ?

14. (Problemă aplicată.) Un algoritm de căutare binară face aproximativ $lo g_{2} n$ pași pentru a găsi un element într-o listă ordonată cu $n$ elemente. Câți pași sunt necesari pentru $n = 1024$ ? Dar pentru $n = 1048576$ ? Comentează raportul dintre creșterea lui $n$ și creșterea numărului de pași.

15. (Problemă aplicată.) Completează tabelul cu valorile lui $lo g_{2} x$ pentru $x = 100$ , $x = 1000$ și $x = 1000000$ (rotunjite la două zecimale, cu calculatorul) și explică în scris de ce spunem că funcția logaritmică „comprimă" numerele mari.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = lo g_{2} x$ . a) Calculați $f (2) + f (8) - f (1)$ . b) Arătați că funcția este strict crescătoare. c) Determinați numărul soluțiilor ecuației $f (x) = - 1$ și rezolvați-o.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = lo g_{3} x$ . Determinați mulțimea valorilor lui $x$ pentru care graficul funcției se află deasupra dreptei $y = 2$ .

18. (Provocare.) Desenează în același reper graficele funcțiilor $y = 2^{x}$ , $y = lo g_{2} x$ și dreapta $y = x$ . Argumentează, folosind faptul că $2^{x} > x$ pentru orice $x$ real, că graficul funcției $lo g_{2} x$ nu intersectează prima bisectoare. Ce concluzie tragi despre ecuația $lo g_{2} x = x$ ?

Răspunsuri și explicații

1. $lo g_{2} \frac{1}{4} = - 2$ ; $lo g_{2} \frac{1}{2} = - 1$ ; $lo g_{2} 1 = 0$ ; $lo g_{2} 2 = 1$ ; $lo g_{2} 4 = 2$ ; $lo g_{2} 8 = 3$ ; $lo g_{2} 16 = 4$ . Graficul urcă lin de la stânga jos spre dreapta sus, taie axa $O x$ în $(1, 0)$ și se lipește de axa $O y$ .

2. Domeniul este $(0, + \infty)$ . Nu aparțin domeniului, de exemplu, $x = 0$ și $x = - 3$ : nu există niciun exponent $c$ cu $5^{c} = 0$ sau $5^{c} = - 3$ , pentru că orice putere cu bază pozitivă este strict pozitivă.

3. $(1, 0)$ căci $lo g_{3} 1 = 0$ ; $(3, 1)$ căci $lo g_{3} 3 = 1$ ; $(9, 2)$ căci $3^{2} = 9$ ; $(\frac{1}{3}, - 1)$ căci $3^{- 1} = \frac{1}{3}$ .

4. Fals. Axa $O y$ este dreapta $x = 0$ , iar $x = 0$ nu aparține domeniului $(0, + \infty)$ . Graficul se apropie oricât de mult de axa $O y$ , dar nu o atinge — axa $O y$ este asimptotă verticală.

5. a) $5 < 9$ și baza $2 > 1$ (funcție crescătoare), deci $lo g_{2} 5 < lo g_{2} 9$ . b) $20 > 8$ și baza $3 > 1$ , deci $lo g_{3} 20 > lo g_{3} 8$ . c) $lo g_{10} 1 = 0 < 2 = lo g_{10} 100$ .

6. Baza $\frac{1}{3} < 1$ , deci funcția e strict descrescătoare: din $9 < 27$ rezultă $lo g_{1/3} 9 > lo g_{1/3} 27$ . Verificare: $lo g_{1/3} 9 = - 2$ și $lo g_{1/3} 27 = - 3$ , iar $- 2 > - 3$ ✓. Ordinea se inversează pentru că, la bază subunitară, exponentul trebuie să crească în modul (spre valori tot mai negative) ca argumentul să crească.

7. a) $x - 5 > 0 \Rightarrow x \in (5, + \infty)$ . b) $x + 1 > 0 \Rightarrow x \in (- 1, + \infty)$ . c) $7 - x > 0 \Rightarrow x \in (- \infty, 7)$ .

8. Mulțimea valorilor este $R$ . Grafic: curba coboară nemărginit când $x$ se apropie de $0$ și urcă nemărginit când $x$ crește, deci orice dreaptă orizontală $y = m$ o intersectează — adică orice număr real este atins de funcție.

9. a) $x = 2^{4} = 16$ . b) $x = 2^{- 3} = \frac{1}{8}$ . c) $x = 2^{0} = 1$ . În fiecare caz soluția e unică, pentru că funcția e strict crescătoare.

10. $f (x) < 0$ pentru $x \in (0, 1)$ ; $f (x) = 0$ pentru $x = 1$ ; $f (x) > 0$ pentru $x \in (1, + \infty)$ . Grafic: sub axa $O x$ la stânga lui 1, deasupra la dreapta.

11. Invers: $g (x) > 0$ pentru $x \in (0, 1)$ ; $g (x) = 0$ pentru $x = 1$ ; $g (x) < 0$ pentru $x \in (1, + \infty)$ . Cele două grafice sunt simetrice față de axa $O x$ , pentru că bazele $2$ și $\frac{1}{2}$ sunt inverse una alteia.

12. Punctul corespunzător este $B^{'} (32, 5)$ — se schimbă între ele coordonatele, prin simetrie față de dreapta $y = x$ . Verificare: $lo g_{2} 32 = 5$ , pentru că $2^{5} = 32$ ✓.

13. Asimptota este dreapta $x = 0$ , adică axa $O y$ . Când $x$ se apropie de $0$ prin valori pozitive, $lo g_{2} x$ scade nemărginit: $lo g_{2} \frac{1}{1024} = - 10$ , $lo g_{2} \frac{1}{2 ^{100}} = - 100$ și așa mai departe. Curba coboară la nesfârșit, dar rămâne mereu în dreapta axei.

14. Pentru $n = 1024 = 2^{10}$ : $lo g_{2} 1024 = 10$ pași. Pentru $n = 1048576 = 2^{20}$ : $lo g_{2} 1048576 = 20$ pași. Comentariu: lista a devenit de 1024 de ori mai mare, dar numărul de pași doar s-a dublat — exact încetineala caracteristică funcției logaritmice, care face căutarea binară atât de eficientă.

15. $lo g_{2} 100 \approx 6, 64$ ; $lo g_{2} 1000 \approx 9, 97$ ; $lo g_{2} 1000000 \approx 19, 93$ . „Comprimă" înseamnă că argumente aflate la distanțe uriașe (de la 100 la un milion, adică de 10 000 de ori mai mult) produc valori aflate la distanțe mici (de la 6,64 la 19,93, adică de exact trei ori mai mult — și nu întâmplător, pentru că $1 0^{6} = (1 0^{2})^{3}$ ). Un interval imens de pe axa $O x$ se strânge într-unul mic pe axa $O y$ .

16. a) $f (2) = 1$ , $f (8) = 3$ , $f (1) = 0$ , deci $1 + 3 - 0 = 4$ . b) Fie $0 < x_{1} < x_{2}$ . Baza fiind supraunitară, exponentul care produce numărul mai mare este el însuși mai mare, deci $lo g_{2} x_{1} < lo g_{2} x_{2}$ : funcția e strict crescătoare. c) Fiind strict crescătoare cu mulțimea valorilor $R$ , orizontala $y = - 1$ taie graficul în exact un punct: o soluție. Din definiție, $x = 2^{- 1} = \frac{1}{2}$ .

17. Graficul e deasupra dreptei $y = 2$ acolo unde $lo g_{3} x > 2$ . Cum $lo g_{3} 9 = 2$ și funcția e strict crescătoare, condiția revine la $x > 9$ . Ținând cont și de domeniu, soluția este $x \in (9, + \infty)$ .

18. Graficul lui $2^{x}$ stă în întregime deasupra dreptei $y = x$ , pentru că $2^{x} > x$ pentru orice $x$ real (pentru $x \leq 0$ este evident, fiindcă $2^{x} > 0 \geq x$ ; pentru $x > 0$ se verifică pe grafic, cea mai mică valoare a diferenței $2^{x} - x$ fiind de aproximativ $0, 91$ ). Cum graficul lui $lo g_{2} x$ este simetricul celui al lui $2^{x}$ față de dreapta $y = x$ , el stă în întregime sub aceeași dreaptă. Prin urmare cele două grafice nu au niciun punct comun cu bisectoarea, deci ecuația $lo g_{2} x = x$ nu are soluții reale. (Iar ecuația $lo g_{2} x = 2^{x}$ nu are, la rândul ei, soluții: o curbă e mereu sub bisectoare, cealaltă mereu deasupra.)

De reținut

Funcția logaritmică $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = lo g_{a} x$ (cu $a > 0$ , $a \neq = 1$ ) are domeniul $(0, + \infty)$ și mulțimea valorilor $R$ .
Graficul trece întotdeauna prin $(1, 0)$ , indiferent de bază, și prin $(a, 1)$ . Nu intersectează niciodată axa $O y$ : dreapta $x = 0$ este asimptotă verticală.
Monotonia depinde de bază: strict crescătoare pentru $a > 1$ , strict descrescătoare pentru $0 < a < 1$ . De aici se citesc direct comparațiile de logaritmi.
Semnul (pentru $a > 1$ ): negativ pe $(0, 1)$ , nul în $1$ , pozitiv pe $(1, + \infty)$ . La bază subunitară semnele se inversează.
Graficele funcțiilor $a^{x}$ și $lo g_{a} x$ sunt simetrice față de prima bisectoare $y = x$ , fiind funcții inverse: punctului $(u, v)$ de pe una îi corespunde $(v, u)$ pe cealaltă.

Greșeli frecvente

Se uită restricția de domeniu la inecuații. Din $lo g_{2} x < 0$ nu rezultă $x < 1$ , ci $x \in (0, 1)$ : capătul din stânga vine de la domeniul funcției, nu din inecuație.
„Graficul taie axa $O y$ undeva foarte jos." Nu o taie niciodată. Cu cât $x$ e mai aproape de zero, cu atât valorile coboară mai mult — dar axa $O y$ rămâne asimptotă.
Se aplică monotonia crescătoare pentru orice bază. La bază subunitară funcția e descrescătoare, deci comparațiile se inversează: $lo g_{1/2} 4 > lo g_{1/2} 8$ .
Confuzia dintre $(1, 0)$ și $(0, 1)$ . Funcția logaritmică trece prin $(1, 0)$ , cea exponențială prin $(0, 1)$ . Sunt puncte simetrice față de bisectoare, dar a le inversa înseamnă a schimba funcția.
Se crede că logaritmul „se oprește" undeva. Mulțimea valorilor este tot $R$ : funcția crește la nesfârșit, chiar dacă foarte încet, și coboară la nesfârșit lângă zero. Lent nu înseamnă mărginit.

Aplică acasă

Oglinda pe ecran. Deschide GeoGebra sau Desmos și trasează în același reper $y = 2^{x}$ , $y = lo g_{2} x$ și $y = x$ . Alege un punct pe curba exponențială, citește-i coordonatele și găsește punctul corespunzător pe curba logaritmică. Repetă de cinci ori, cu puncte diferite, și notează perechile într-un tabel.
Rigla logaritmică improvizată. Pe o bandă de hârtie de 20 cm, marchează pozițiile numerelor 1, 2, 4, 8, 16 la distanțe egale (câte 4 cm). Ai construit o scară logaritmică în baza 2. Unde ar cădea numărul 6? Estimează, apoi verifică: $lo g_{2} 6 \approx 2, 58$ , deci la aproximativ $10, 3$ cm de origine.
Câți pași? Alege trei liste ordonate din viața ta (numele colegilor din catalog, contactele din telefon, cuvintele dintr-un dicționar) și estimează pentru fiecare $lo g_{2} n$ , adică de câte ori trebuie să înjumătățești lista până rămâi cu un singur element. Verifică practic pe catalogul clasei — vei fi surprins cât de puțini pași sunt.

Pentru părinți și profesori

Lecția tratează funcția logaritmică exact în spiritul programei de trunchi comun: prin lecturi grafice. Elevul trebuie să plece de aici cu imaginea corectă a graficului (domeniu $(0, + \infty)$ , punctul $(1, 0)$ , asimptota verticală, monotonia dictată de bază) și cu reflexul de a citi de pe curbă semnul funcției și soluția unei ecuații $lo g_{a} x = m$ . Punctul central al lecției este simetria față de prima bisectoare cu graficul funcției exponențiale, care valorifică noțiunea de funcție inversă și transformă memorarea în înțelegere.

Rezolvarea algebrică a ecuațiilor logaritmice, precum și proprietățile operatorii ale logaritmilor, nu fac obiectul clasei a IX-a. În schimb, determinarea domeniului unei funcții de tip $lo g_{a} (x - c)$ este perfect accesibilă și utilă, pentru că impune disciplina condițiilor de existență.

Întrebări bune de control: „Prin ce punct trece graficul oricărei funcții logaritmice?" ( $(1, 0)$ ); „De ce nu are sens $lo g_{2} 0$ ?" (nu există exponent care să dea zero); „Care e legătura dintre graficul lui $2^{x}$ și cel al lui $lo g_{2} x$ ?" (simetrie față de $y = x$ , sunt funcții inverse); „Ce se întâmplă cu monotonia dacă baza e $\frac{1}{2}$ ?" (devine descrescătoare). Semne că a înțeles: scrie soluția unei inecuații logaritmice ca interval inclus în $(0, + \infty)$ , nu confundă $(1, 0)$ cu $(0, 1)$ și poate compara doi logaritmi fără calculator, invocând monotonia.

La Bacalaureat, funcția logaritmică apare atât în calcule directe de valori, cât și în cerințe de tip „determinați domeniul", „studiați monotonia", „rezolvați $f (x) = m$ ". Imaginea grafică solidă construită acum se dovedește decisivă în clasele următoare, la ecuații, inecuații și, mai târziu, la derivate.

Întrebări frecvente

Ce este funcția logaritmică? Este funcția $f (x) = lo g_{a} x$ , definită pe $(0, + \infty)$ cu valori în $R$ , unde baza $a$ este strict pozitivă și diferită de 1. Fiecărui număr strict pozitiv îi asociază exponentul la care trebuie ridicată baza pentru a-l obține.

Care este domeniul funcției logaritmice și de ce? Domeniul este $(0, + \infty)$ , adică numerele strict pozitive. Motivul: o putere cu bază pozitivă este întotdeauna strict pozitivă, deci nu există niciun exponent care să producă zero sau un număr negativ.

Prin ce punct trece graficul oricărei funcții logaritmice? Prin punctul $(1, 0)$ , pentru că $lo g_{a} 1 = 0$ indiferent de bază. Un al doilea punct sigur este $(a, 1)$ , care „arată" baza pe grafic.

Când este funcția logaritmică crescătoare și când descrescătoare? Este strict crescătoare dacă baza este supraunitară ( $a > 1$ ) și strict descrescătoare dacă baza este subunitară ( $0 < a < 1$ ). Regula se reține împreună cu cea de la funcția exponențială: baza supraunitară păstrează ordinea, cea subunitară o inversează.

Ce este asimptota verticală a funcției logaritmice? Este dreapta $x = 0$ , adică axa $O y$ . Când $x$ se apropie de zero prin valori pozitive, valorile funcției coboară nemărginit, dar graficul nu atinge niciodată axa.

De ce sunt simetrice graficele funcțiilor exponențială și logaritmică? Pentru că cele două funcții sunt inverse una alteia: una duce exponentul în putere, cealaltă recuperează exponentul. Grafic, aceasta se traduce prin schimbarea coordonatelor, $(u, v) \to (v, u)$ , adică prin simetrie față de prima bisectoare $y = x$ .

De ce crește logaritmul atât de încet? Pentru că, la baza 2, argumentul trebuie înmulțit cu 2 pentru ca valoarea să crească cu o singură unitate. Trecând de la 1000 la un milion — de o mie de ori mai mult — logaritmul crește doar de la aproximativ 9,97 la 19,93.

Cum rezolv grafic o ecuație de forma $lo g_{a} x = m$ ? Intersectezi graficul funcției logaritmice cu dreapta orizontală $y = m$ și citești abscisa punctului de intersecție. Cum funcția este strict monotonă, soluția este întotdeauna unică, oricare ar fi $m$ real; valoarea exactă se obține din definiție, $x = a^{m}$ .