Rezolvați ecuația $$|x+2|=|3x-4|$$.

$$\left\{3,\ \dfrac{1}{2}\right\}$$

$$\left\{-3,\ \dfrac{1}{2}\right\}$$

$$\left\{3,\ -\dfrac{1}{2}\right\}$$

$$\left\{-3,\ -\dfrac{1}{2}\right\}$$

Cum rezolv o ecuație cu modul?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Funcția modul: grafic, ecuații, inecuații

Scapi de bare punând ambele posibilități. Dacă $∣ E ∣ = a$ cu $a > 0$ , atunci $E = a$ sau $E = - a$ ; dacă $a < 0$ nu există soluții, fiindcă modulul nu coboară sub zero. Din $∣ x - 3∣ = 7$ ies $x = 10$ și $x = - 4$ . Când în dreapta stă o expresie cu $x$ , ceri în plus ca ea să fie nenegativă, iar la mai multe bare împarți axa în intervale și rezolvi separat pe fiecare.

Modulul $∣ x ∣$ este distanța de la $x$ la origine, definit pe ramuri: $∣ x ∣ = x$ dacă $x \geq 0$ și $∣ x ∣ = - x$ dacă $x < 0$ (semnul minus face rezultatul pozitiv, nu negativ). Mai general, $∣ x - a ∣$ este distanța dintre $x$ și $a$ . Funcția modul $f (x) = ∣ x ∣$ are grafic în formă de V, cu vârful în origine, $Im f = [0, \infty)$ , simetric față de $O y$ ; $f (x) = ∣ x - a ∣ + b$ mută vârful în $(a, b)$ .

Proprietăți esențiale: $∣ x ∣ \geq 0$ , $∣ - x ∣ = ∣ x ∣$ , $∣ x y ∣ = ∣ x ∣ \cdot ∣ y ∣$ , $x^{2} = ∣ x ∣$ și inegalitatea triunghiului $∣ x + y ∣ \leq ∣ x ∣ + ∣ y ∣$ .

La ecuații: $∣ E ∣ = a$ nu are soluții dacă $a < 0$ , iar dacă $a > 0$ este echivalentă cu $E = a$ sau $E = - a$ ; $∣ E ∣ = ∣ F ∣ ⟺ E = F$ sau $E = - F$ ; la ecuații de tipul $∣ E ∣ = G (x)$ se impune condiția $G (x) \geq 0$ ; la mai multe module se aplică metoda intervalelor, cu verificarea apartenenței fiecărei soluții la intervalul de lucru. La inecuații, pentru $a > 0$ : $∣ t ∣ \leq a ⟺ - a \leq t \leq a$ (un interval), iar $∣ t ∣ \geq a ⟺ t \leq - a$ sau $t \geq a$ (reuniune de două intervale). Interpretarea cu distanțe transformă multe dintre ele în răspunsuri imediate.

De reținut

$∣ E ∣ = a > 0 ⟺ E = a$ sau $E = - a$
$∣ E ∣ = ∣ F ∣ ⟺ E = F$ sau $E = - F$
$∣ E ∣ = G (x)$ cere în plus $G (x) \geq 0$

Greșeala tipică

După împărțirea pe ramuri se sare peste verificare, iar valori care nu respectă condiția din care au ieșit rămân în răspuns; fiecare rezultat se pune înapoi în ecuația de la care ai pornit.

Exerciții din această mini-lecție

Rezolvați în $R$ ecuația $∣ x - 3∣ = 7$ . Mulțimea soluțiilor este:
- a) ${10, - 4}$
- b) ${10, 4}$
- c) ${- 10, 4}$
- d) ${- 10, - 4}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) ${10, - 4}$

Cum $7 > 0$ , ecuația e echivalentă cu $x - 3 = 7$ sau $x - 3 = - 7$ , deci $x = 10$ sau $x = - 4$ . Verificare: $∣10 - 3∣ = 7$ ✓ și $∣ - 4 - 3∣ = ∣ - 7∣ = 7$ ✓. $S = {10, - 4}$ .
Rezolvați ecuația $∣ x + 2∣ = ∣3 x - 4∣$ .
- a) ${3, \frac{1}{2}}$
- b) ${- 3, \frac{1}{2}}$
- c) ${3, - \frac{1}{2}}$
- d) ${- 3, - \frac{1}{2}}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) ${3, \frac{1}{2}}$

Din $∣ E ∣ = ∣ F ∣ ⟺ E = F$ sau $E = - F$ : $x + 2 = 3 x - 4 \Rightarrow - 2 x = - 6 \Rightarrow x = 3$ ; sau $x + 2 = - (3 x - 4) \Rightarrow x + 2 = - 3 x + 4 \Rightarrow 4 x = 2 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$ . Verificare: pentru $x = 3$ , $∣5∣ = 5 = ∣9 - 4∣$ ✓; pentru $x = \frac{1}{2}$ , $\frac{5}{2} = \frac{5}{2} = \frac{3}{2} - 4$ ✓.
Rezolvați inecuația $∣2 x + 1∣ \leq 7$ .
- a) $[- 4, 3]$
- b) $[- 3, 4]$
- c) $(- 4, 3)$
- d) $[- 7, 7]$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $[- 4, 3]$

Aplicăm echivalența $∣ t ∣ \leq a ⟺ - a \leq t \leq a$ : $- 7 \leq 2 x + 1 \leq 7$ . Scădem $1$ : $- 8 \leq 2 x \leq 6$ . Împărțim la $2$ : $- 4 \leq x \leq 3$ . Deci $S = [- 4, 3]$ .

Întrebări conexe

Ce fac dacă în ecuație apar două module diferite?

Găsești valorile care anulează fiecare expresie de sub bare și împarți axa în intervale cu ele. Pe fiecare interval știi semnul fiecărei expresii, deci scoți barele și rezolvi o ecuație obișnuită. La final păstrezi doar rezultatele care aparțin chiar intervalului pe care le-ai obținut.

De ce ecuația cu modul egal cu un număr negativ nu are soluții?

Modulul măsoară o distanță până la origine, iar distanțele nu sunt negative. Oricât ai schimba variabila, rezultatul rămâne cel puțin zero, deci nu poate egala un număr aflat sub zero. Scrii direct că mulțimea soluțiilor este vidă, fără alt calcul.

Cum interpretez modulul unei diferențe ca distanță?

Expresia $∣ x - a ∣$ arată cât de departe este $x$ de $a$ pe axă. Astfel $∣ x - 3∣ = 7$ cere numerele aflate la șapte unități de $3$ , adică $10$ și $- 4$ . Tot așa, $∣ x - 3∣ \leq 7$ înseamnă numerele din intervalul dintre ele.

Unde este vârful graficului funcției modul de x minus a plus b?

Vârful stă în punctul de coordonate $(a, b)$ . Expresia de sub bare se anulează în $a$ , acolo unde funcția atinge cea mai mică valoare, egală cu $b$ . Ramurile urcă simetric de o parte și de alta, iar mulțimea valorilor începe de la $b$ .

Care este mulțimea valorilor funcției modul?

Funcția $f (x) = ∣ x ∣$ ia toate numerele de la zero în sus, deci imaginea ei este $[0, \infty)$ . Zero apare o singură dată, în origine, iar orice număr pozitiv apare de două ori, pentru $x$ și pentru opusul lui. De aceea graficul are formă de V.

Ce condiție pun când modulul este egal cu o expresie cu x?

Ceri ca membrul din dreapta să fie mai mare sau egal cu zero, fiindcă modulul nu poate da un rezultat negativ. Rezolvi apoi cele două cazuri și păstrezi doar valorile care respectă condiția. La $∣ x - 2∣ = 2 x - 1$ rămâne $x = 1$ .

Oamenii mai întreabă și: ecuații cu modul rezolvate · cum scap de modul într-o ecuație · ecuația modul de x egal a · rezolvarea ecuațiilor cu bare de modul