Funcția modul: definiție, grafic, ecuații cu module

Un GPS îți arată că mai ai $12$ kilometri până la destinație. Nu îți spune $-12$, chiar dacă ai depășit ieșirea și trebuie să te întorci: distanța nu are semn. La fel, când un producător impune ca o piesă să aibă $50$ de milimetri „cu o toleranță de $0,2$ mm", el nu spune că piesa poate fi doar mai mare; spune că abaterea, în orice direcție, trebuie să fie sub $0,2$. Matematica are un instrument exact pentru asta: modulul, adică distanța de la un număr la zero.

Din acest instrument se naște funcția modul, $f(x)=|x|$ — cea mai simplă funcție care nu e afină și totuși se construiește din două funcții afine, lipite pe ramuri. Graficul ei în formă de V îți deschide o întreagă tehnică: scrierea pe ramuri, rezolvarea ecuațiilor prin discuție de cazuri, traducerea inecuațiilor în intervale. Programa de mate-info o cere explicit alături de funcțiile parte întreagă și parte fracționară, iar la Bacalaureatul M1 apare constant.

Ce vei învăța

• Vei ști să scrii definiția pe ramuri a modulului și să explici de ce $|x|$ măsoară o distanță.
• Vei ști să trasezi graficul în V al funcției modul și graficele obținute din el prin translații: $|x-a|$, $|x|+b$, $|ax+b|$.
• Vei ști să demonstrezi proprietățile modulului, inclusiv $|xy|=|x|\cdot |y|$, $\sqrt{x^2}=|x|$ și inegalitatea triunghiului.
• Vei ști să rezolvi ecuații de tipul $|E|=a$, $|E|=|F|$ și ecuații cu mai multe module, prin metoda intervalelor.
• Vei ști să rezolvi inecuații cu module, folosind echivalențele $|t|\le a⟺-a\le t\le a$ și $|t|\ge a⟺t\le -a$ sau $t\ge a$.
• Vei ști să determini imaginea și monotonia unei funcții care conține module, scriind-o pe ramuri.

Hai să descoperim împreună

1. Modulul: definiția pe ramuri și sensul de distanță

Definiție. Pentru orice număr real $x$,

$$|x|=\{\begin{array}{ll}x,& \text{daca˘ }x\ge 0\\ -x,& \text{daca˘ }x<0.\end{array}$$

Citită corect, ramura a doua nu produce numere negative: dacă $x=-5$, atunci $-x=5$. Semnul minus din definiție nu face rezultatul negativ, ci îl face pozitiv. Este cea mai frecventă neînțelegere de la începutul capitolului.

Interpretarea geometrică. Pe axa numerelor, $|x|$ este distanța de la punctul de abscisă $x$ la origine. Mai general,

$$|x-a|=\text{distanța dintre punctele de abscise }x\text{ și }a.$$

Din această citire decurge, aproape fără calcul, tot ce urmează: $|x-3|=2$ înseamnă „numerele aflate la distanța $2$ de $3$", adică $1$ și $5$; iar $|x-3|<2$ înseamnă „numerele aflate la distanță mai mică de $2$ față de $3$", adică intervalul $(1,5)$. Ține minte imaginea aceasta: la inecuații economisește jumătate din muncă.

2. Funcția modul și graficul ei în V

Definiție. Funcția modul este $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x|$, adică

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}x,& x\ge 0\\ -x,& x<0.\end{array}$$

Fiecare ramură este o funcție afină, deci fiecare bucată de grafic este o semidreaptă. Pe $[0,\infty )$ obținem semidreapta $y=x$ (prima bisectoare), pe $(-\infty ,0)$ semidreapta $y=-x$. Cele două se întâlnesc în origine și formează un V cu vârful în $O(0,0)$.

Câteva valori de control: $f(-3)=3$, $f(-1)=1$, $f(0)=0$, $f(2)=2$, $f(4)=4$.

De pe grafic citim imediat proprietățile:

• Imaginea: $\mathrm{Im}f=[0,\infty )$, pentru că graficul se află în întregime deasupra axei $Ox$ și atinge fiecare nivel $y\ge 0$ (chiar de două ori, dacă $y>0$). Metoda de determinare e cea din lecția despre imaginea unei funcții: ecuația $|x|=y$ are soluții exact pentru $y\ge 0$.
• Minimul: valoarea cea mai mică este $0$, atinsă doar în $x=0$.
• Monotonia: $f$ este strict descrescătoare pe $(-\infty ,0]$ și strict crescătoare pe $[0,\infty )$.
• Simetria: cele două ramuri sunt oglindite față de axa $Oy$, deoarece $|-x|=|x|$. Proprietatea aceasta are un nume și o studiezi separat, în lecția despre paritate și simetriile graficului.
• Nu e injectivă ($f(-2)=f(2)=2$) și nu e surjectivă spre $\mathbb{R}$ ($-1$ nu se atinge) — vezi funcții injective, surjective, bijective.

3. Proprietățile modulului, cu demonstrații

Le enunțăm pe cele care se folosesc efectiv la rezolvări.

P1. $|x|\ge 0$ pentru orice $x$, iar $|x|=0⟺x=0$. Demonstrație. Dacă $x\ge 0$, atunci $|x|=x\ge 0$; dacă $x<0$, atunci $|x|=-x>0$. Egalitatea cu zero apare doar pe prima ramură, pentru $x=0$. $■$

P2. $|-x|=|x|$ pentru orice $x$. Demonstrație. Pentru $x>0$: $-x<0$, deci $|-x|=-(-x)=x=|x|$. Pentru $x<0$: $-x>0$, deci $|-x|=-x=|x|$. Pentru $x=0$ ambele sunt $0$. $■$

P3. $|xy|=|x|\cdot |y|$ pentru orice $x,y$. Demonstrație pe cazuri. Dacă $x,y\ge 0$, atunci $xy\ge 0$ și ambii membri sunt $xy$. Dacă $x\ge 0$ și $y<0$, atunci $xy\le 0$, deci membrul stâng e $-xy$, iar cel drept $x\cdot (-y)=-xy$ (cazul simetric e identic). Dacă $x,y<0$, atunci $xy>0$, iar cel drept e $(-x)(-y)=xy$. $■$

P4. $\sqrt{x^2}=|x|$ pentru orice $x$ real. Demonstrație. Radicalul de ordin par e nenegativ prin definiție, iar $|x|\ge 0$ și $|x{|}^2=x^2$ (din P3 cu $y=x$). Două numere nenegative cu pătrate egale sunt egale. $■$ Aceasta justifică regula „la scoaterea de sub radical de ordin par se pune modul".

P5 (încadrarea fundamentală). $-|x|\le x\le |x|$ pentru orice $x$. Demonstrație. Dacă $x\ge 0$: $x=|x|$ și $-|x|\le 0\le x$. Dacă $x<0$: $x=-|x|$ și $x<0\le |x|$. $■$

P6 (inegalitatea triunghiului). $|x+y|\le |x|+|y|$ pentru orice $x,y$. Demonstrație. Din P5 scrisă pentru $x$ și pentru $y$:

$$-|x|\le x\le |x|,-|y|\le y\le |y|.$$

Adunând membru cu membru inegalitățile de același sens, obținem

$$-(|x|+|y|)\le x+y\le |x|+|y|,$$

adică $x+y$ este cuprins între $-c$ și $c$, unde $c=|x|+|y|\ge 0$. Conform echivalenței din secțiunea 6, aceasta înseamnă exact $|x+y|\le |x|+|y|$. $■$

Egalitatea are loc doar când $x$ și $y$ au același semn (sau unul e nul) — verifică: $|3+5|=8=|3|+|5|$, dar $|3+(-5)|=2<8=|3|+|-5|$.

4. Grafice obținute din V: translații

Toate funcțiile de forma $f(x)=|x-a|+b$ au grafic tot în formă de V, doar mutat. Regula:

• $|x-a|$ mută V-ul orizontal, cu $a$ unități (spre dreapta dacă $a>0$); vârful ajunge în $(a,0)$;
• $|x|+b$ mută V-ul vertical, cu $b$ unități (în sus dacă $b>0$); vârful ajunge în $(0,b)$;
• combinate: $f(x)=|x-a|+b$ are vârful în $(a,b)$, iar $\mathrm{Im}f=[b,\infty )$.

Exemplu. $f(x)=|x-1|-2$ are vârful în $(1,-2)$. Zerourile se obțin din $|x-1|=2$, deci $x-1=\pm 2$, adică $x\in \{-1,3\}$; într-adevăr $f(3)=2-2=0$ și $f(-1)=2-2=0$. ✓ Imaginea este $[-2,\infty )$.

Pentru $f(x)=|ax+b|$, vârful se află în zeroul expresiei din modul, $x=-\frac{b}{a}$, iar ramurile au pantele $\pm a$. La $f(x)=|2x-4|$ vârful e în $(2,0)$, iar $f(0)=f(4)=4$: V-ul e mai „ascuțit" decât cel standard.

5. Ecuații cu module

Tipul 1: $|E(x)|=a$. Discuția se face după semnul lui $a$:

• $a<0$: nicio soluție (modulul nu e niciodată negativ);
• $a=0$: ecuația devine $E(x)=0$;
• $a>0$: echivalentă cu $E(x)=a$ sau $E(x)=-a$.

Exemplu. $|x-2|=5⟺x-2=5$ sau $x-2=-5$, deci $x\in \{7,-3\}$. Verificare: $|7-2|=5$ ✓ și $|-3-2|=|-5|=5$ ✓.

Tipul 2: $|E(x)|=|F(x)|$. Două numere au module egale exact când sunt egale sau opuse:

$$|E|=|F|⟺E=F\text{ sau }E=-F.$$

Exemplu. $|x-1|=|2x+3|$. Prima ramură: $x-1=2x+3\Rightarrow x=-4$. A doua: $x-1=-(2x+3)=-2x-3\Rightarrow 3x=-2\Rightarrow x=-\frac{2}{3}$. Verificăm ambele: pentru $x=-4$, $|-5|=5$ și $|-5|=5$ ✓; pentru $x=-\frac{2}{3}$, $\left|-\frac{5}{3}\right|=\frac{5}{3}$ și $\left|\frac{5}{3}\right|=\frac{5}{3}$ ✓.

Tipul 3: $|E(x)|=G(x)$, cu $G$ oarecare. Aici apare o condiție suplimentară: membrul drept trebuie să fie nenegativ. Se rezolvă pe ramuri, verificând la final atât condiția ramurii, cât și semnul membrului drept.

Exemplu. $|x-1|=3x-5$. Pe ramura $x\ge 1$: $x-1=3x-5\Rightarrow 2x=4\Rightarrow x=2$, care respectă $x\ge 1$ și dă membrul drept $1\ge 0$ ✓. Pe ramura $x<1$: $1-x=3x-5\Rightarrow 4x=6\Rightarrow x=\frac{3}{2}$, care nu respectă condiția $x<1$, deci se respinge. Soluția: $x=2$.

Tipul 4: mai multe module — metoda intervalelor. Când apar două sau mai multe module, se procedează sistematic:

1. Găsești punctele critice, adică zerourile expresiilor din module.
2. Împarți axa în intervalele determinate de ele.
3. Pe fiecare interval explicitezi toate modulele (fiecare expresie are semn constant acolo) și rezolvi ecuația obținută.
4. Reții doar soluțiile care aparțin intervalului pe care ai lucrat.

Pasul 4 este esențial: o valoare găsită pe un interval, dar care nu îi aparține, este soluție falsă și se respinge. Vezi Exemplul 2, unde metoda e aplicată complet.

6. Inecuații cu module

Totul se sprijină pe două echivalențe, pe care le justificăm cu interpretarea de distanță.

E1. Pentru $a>0$: $|t|\le a⟺-a\le t\le a$. Într-adevăr, „$t$ se află la distanță cel mult $a$ de origine" înseamnă exact că $t$ e în segmentul $[-a,a]$. Analog, $|t|<a⟺t\in (-a,a)$.

E2. Pentru $a>0$: $|t|\ge a⟺t\le -a$ sau $t\ge a$. „Distanță cel puțin $a$ de origine" înseamnă în afara segmentului, deci reuniune de două intervale.

Cazurile-limită merită reținute: $|t|\ge 0$ este adevărată mereu; $|t|<0$ e imposibilă; $|t|>0$ înseamnă $t\ne 0$.

Exemplu 1. $|2x-3|\le 5$. Aplicăm E1: $-5\le 2x-3\le 5$. Adunăm $3$: $-2\le 2x\le 8$. Împărțim la $2$: $-1\le x\le 4$. Deci $S=[-1,4]$. Control în capete: $|2\cdot (-1)-3|=5$ ✓ și $|2\cdot 4-3|=5$ ✓.

Exemplu 2. $|3x+1|>4$. Aplicăm E2 (cu inegalitate strictă): $3x+1>4$ sau $3x+1<-4$, deci $x>1$ sau $x<-\frac{5}{3}$. Așadar $S=\left(-\infty ,-\frac{5}{3}\right)\cup (1,\infty )$.

Exemplu 3, cu citire de distanță. $|x-3|<2$ înseamnă „numerele aflate la distanță mai mică de $2$ față de $3$", deci $S=(1,5)$ — fără niciun calcul. Grafic, sunt abscisele punctelor în care V-ul cu vârful în $(3,0)$ se află sub orizontala $y=2$, exact tehnica din lecția despre ecuații și inecuații rezolvate grafic.

7. Funcții definite cu module: scrierea pe ramuri

Când o funcție conține module, prima mișcare este întotdeauna aceeași: o scrii pe ramuri. Abia apoi discuți grafic, monotonie, imagine, injectivitate.

Exemplu. $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x-|x|$. Explicităm:

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}3x-x=2x,& x\ge 0\\ 3x+x=4x,& x<0.\end{array}$$

Graficul e format din două semidrepte care pleacă din origine, cu pantele $2$ și $4$. Ambele ramuri sunt strict crescătoare, iar cele două seturi de valori nu se suprapun (prima dă $[0,\infty )$, a doua $(-\infty ,0)$), deci $f$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$ și $\mathrm{Im}f=\mathbb{R}$.

Când funcția este o sumă de două module de forma $|x-p|+|x-q|$, apar trei ramuri, iar cea din mijloc are o particularitate: acolo cele două module „se anulează reciproc" și funcția devine constantă. Graficul capătă un palier orizontal între punctele critice, în loc de un vârf ascuțit. Explicația cu distanțe este limpede: $|x-p|+|x-q|$ este suma distanțelor de la $x$ la $p$ și la $q$, iar această sumă rămâne egală cu distanța dintre $p$ și $q$ pentru orice $x$ situat între ele. Cazul complet îl tratăm în Exemplul 6.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Ecuație de tip $|E|=a$, cu discuție

Rezolvați în $\mathbb{R}$: a) $|x-2|=5$; b) $2|x|-3=5$; c) $|x+4|=-1$.

Rezolvare. a) Cum $5>0$: $x-2=5$ sau $x-2=-5$, deci $S=\{7,-3\}$.

b) Izolăm întâi modulul: $2|x|=8\Rightarrow |x|=4\Rightarrow x=\pm 4$. Deci $S=\{-4,4\}$. Verificare: $2\cdot 4-3=5$ ✓.

c) Membrul drept este negativ, iar modulul este întotdeauna nenegativ, deci $S=\varnothing$. Nu se face niciun calcul — se invocă direct proprietatea P1. $■$

Exemplul 2 — Ecuație cu două module

Rezolvați $|x+2|+|x-1|=7$.

Rezolvare. Puncte critice: $-2$ și $1$.

Pe $(-\infty ,-2)$: $-(x+2)-(x-1)=7\Rightarrow -2x-1=7\Rightarrow x=-4$. Cum $-4<-2$, soluția se acceptă.

Pe $[-2,1)$: $(x+2)-(x-1)=3\ne 7$, deci nicio soluție.

Pe $[1,\infty )$: $(x+2)+(x-1)=2x+1=7\Rightarrow x=3\ge 1$, se acceptă.

$S=\{-4,3\}$. Verificare: $|-4+2|+|-4-1|=2+5=7$ ✓ și $|3+2|+|3-1|=5+2=7$ ✓. $■$

Observă rolul palierului: pe intervalul din mijloc suma modulelor este constant $3$ — distanța dintre punctele critice —, deci acolo ecuația are soluții doar dacă membrul drept ar fi fost exact $3$.

Exemplul 3 — Ecuație cu modul egal cu o expresie

Rezolvați $|x-1|=3x-5$.

Rezolvare. Metoda ramurilor, cu verificarea condiției de semn.

Ramura $x\ge 1$: $x-1=3x-5\Rightarrow -2x=-4\Rightarrow x=2$. Condiția ramurii e respectată ($2\ge 1$), iar membrul drept este $3\cdot 2-5=1\ge 0$ ✓.

Ramura $x<1$: $-(x-1)=3x-5\Rightarrow 1-x=3x-5\Rightarrow 4x=6\Rightarrow x=\frac{3}{2}$. Dar $\frac{3}{2}\nless 1$, deci soluția se respinge.

$S=\{2\}$. $■$ Morala: la ecuațiile cu modul, verificarea nu e o formalitate, ci parte din rezolvare.

Exemplul 4 — Inecuații, ambele tipuri

Rezolvați: a) $|2x-3|\le 5$; b) $|1-2x|<7$; c) $|x-1|\ge 3$.

Rezolvare. a) $-5\le 2x-3\le 5\Rightarrow -2\le 2x\le 8\Rightarrow x\in [-1,4]$.

b) $-7<1-2x<7$. Scădem $1$: $-8<-2x<6$. Împărțim la $-2$ și inversăm sensul: $4>x>-3$, adică $S=(-3,4)$. Verificare în capete: $|1-2\cdot 4|=7$ și $|1-2\cdot (-3)|=7$ — valorile-limită, excluse corect ✓.

c) $x-1\ge 3$ sau $x-1\le -3$, deci $x\ge 4$ sau $x\le -2$: $S=(-\infty ,-2]\cup [4,\infty )$. Citire cu distanțe: numerele aflate la distanță cel puțin $3$ de $1$. ✓ $■$

Exemplul 5 — Studiul complet al unei funcții cu modul

Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x-1|-2$. a) Scrieți $f$ pe ramuri. b) Trasați graficul și precizați vârful. c) Determinați $\mathrm{Im}f$ și zerourile funcției. d) Rezolvați $f(x)\le 0$.

Rezolvare. a) Punct critic: $x=1$.

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}-(x-1)-2=-x-1,& x<1\\ (x-1)-2=x-3,& x\ge 1.\end{array}$$

b) Două semidrepte cu pantele $-1$ și $1$, care se întâlnesc în punctul $(1,-2)$ — vârful V-ului.

c) Valoarea minimă este $-2$ (atinsă în $x=1$), iar funcția crește nemărginit în ambele direcții, deci $\mathrm{Im}f=[-2,\infty )$. Zerourile: $|x-1|=2\Rightarrow x-1=\pm 2\Rightarrow x\in \{-1,3\}$.

d) $f(x)\le 0⟺|x-1|\le 2⟺-2\le x-1\le 2⟺x\in [-1,3]$ — exact porțiunea de V aflată sub axa $Ox$, între cele două zerouri. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x+1|+|x-2|$. a) Scrieți $f$ pe ramuri. b) Determinați $\mathrm{Im}f$. c) Rezolvați inecuația $f(x)\le 5$.

Rezolvare. a) Puncte critice: $-1$ și $2$.

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}-2x+1,& x<-1\\ 3,& -1\le x<2\\ 2x-1,& x\ge 2.\end{array}$$

b) Pe prima ramură, din $x<-1$ rezultă $-2x>2$, deci $f(x)>3$. Pe ramura din mijloc, $f(x)=3$. Pe ultima, din $x\ge 2$ rezultă $2x-1\ge 3$. Reunind cele trei imagini: $\mathrm{Im}f=[3,\infty )$, cu minimul $3$ atins pe tot intervalul $[-1,2]$.

c) Rezolvăm pe fiecare ramură:

• $x<-1$: $-2x+1\le 5\Rightarrow -2x\le 4\Rightarrow x\ge -2$, deci $x\in [-2,-1)$;
• $-1\le x<2$: $3\le 5$, adevărat mereu, deci tot intervalul $[-1,2)$;
• $x\ge 2$: $2x-1\le 5\Rightarrow x\le 3$, deci $x\in [2,3]$.

Reunind: $S=[-2,3]$. Verificare în capete: $f(-2)=1+4=5$ ✓ și $f(3)=4+1=5$ ✓, iar în interior $f(0)=1+2=3\le 5$ ✓. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare ecuație cu module, notează întâi punctele critice; la fiecare inecuație, verifică rezultatul cu un martor din interiorul intervalului.

1. Calculează: $|-7|$, $|3-8|$, $|5|-|-5|$, $\left||-2|-6\right|$ și $\sqrt{(-4{)}^2}$.

2. Scrie pe ramuri funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x-3|$, și precizează vârful graficului.

3. Trasează graficul funcției $f(x)=|x|+1$ și determină $\mathrm{Im}f$.

4. Rezolvă în $\mathbb{R}$: a) $|x-2|=5$; b) $|2x+6|=0$; c) $|x+3|=-2$.

5. Rezolvă ecuația $2|x|-3=5$.

6. Rezolvă ecuația $|x-1|=|2x+3|$ și verifică ambele soluții.

7. Rezolvă ecuația $|x|=|x-4|$ și explică rezultatul folosind interpretarea cu distanțe.

8. Rezolvă inecuația $|2x-3|\le 5$ și scrie mulțimea soluțiilor ca interval.

9. Rezolvă inecuația $|3x+1|>4$.

10. Rezolvă inecuația $|x-3|<2$ în două moduri: prin echivalență și prin interpretarea cu distanțe.

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice număr real $x$ avem $|x|=x$."

12. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Ecuația $|E(x)|=a$ are întotdeauna două soluții."

13. Rezolvă ecuația $|x-1|+|x+2|=5$ prin metoda intervalelor.

14. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|2x-4|$. a) Scrie funcția pe ramuri. b) Determină vârful graficului și $\mathrm{Im}f$. c) Rezolvă $f(x)<6$.

15. (Problemă aplicată.) O piesă trebuie să aibă lungimea de $50$ mm, cu o toleranță de $0,2$ mm. Scrie condiția de acceptare ca inecuație cu modul și determină intervalul lungimilor admise. Ce înseamnă, în acest context, $|L-50|>0,2$?

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x-|x|$. a) Scrieți $f$ pe ramuri. b) Arătați că $f$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$. c) Determinați $\mathrm{Im}f$.

17. (Raționament.) Demonstrează inegalitatea $|x-y|\ge |x|-|y|$ pentru orice numere reale $x$ și $y$. (Indicație: pornește de la $x=(x-y)+y$ și aplică inegalitatea triunghiului.)

18. (Provocare.) Rezolvă ecuația $|x|+|x-3|=3$ și arată că mulțimea soluțiilor este un interval întreg. Explică rezultatul geometric, folosind interpretarea sumei de module ca sumă de distanțe.

Răspunsuri și explicații

1. $|-7|=7$; $|3-8|=|-5|=5$; $|5|-|-5|=5-5=0$; $\left||-2|-6\right|=|2-6|=4$; $\sqrt{(-4{)}^2}=\sqrt{16}=4=|-4|$ (aplicarea proprietății P4).

2. $f(x)=x-3$ pentru $x\ge 3$ și $f(x)=3-x$ pentru $x<3$. Vârful este în $(3,0)$ — V-ul standard, translatat cu $3$ unități la dreapta.

3. Graficul este V-ul standard ridicat cu o unitate: vârful în $(0,1)$, ramuri cu pantele $\pm 1$. Cum $|x|\ge 0$, avem $f(x)\ge 1$, iar orice $y\ge 1$ se atinge (de exemplu în $x=y-1$). Deci $\mathrm{Im}f=[1,\infty )$.

4. a) $x-2=\pm 5$, deci $S=\{7,-3\}$. b) Modulul e nul doar când expresia e nulă: $2x+6=0\Rightarrow x=-3$, deci $S=\{-3\}$. c) Membrul drept e negativ, deci $S=\varnothing$.

5. $2|x|=8\Rightarrow |x|=4\Rightarrow x\in \{-4,4\}$. Verificare: $2\cdot |-4|-3=8-3=5$ ✓.

6. $x-1=2x+3\Rightarrow x=-4$; sau $x-1=-2x-3\Rightarrow 3x=-2\Rightarrow x=-\frac{2}{3}$. Verificări: pentru $x=-4$, ambii membri dau $5$ ✓; pentru $x=-\frac{2}{3}$, ambii dau $\frac{5}{3}$ ✓. Deci $S=\left\{-4,-\frac{2}{3}\right\}$.

7. $x=x-4$ e imposibilă; rămâne $x=-(x-4)=-x+4\Rightarrow 2x=4\Rightarrow x=2$. Deci $S=\{2\}$. Interpretare: căutăm numerele egal depărtate de $0$ și de $4$ — adică mijlocul segmentului, $2$.

8. $-5\le 2x-3\le 5\Rightarrow -2\le 2x\le 8\Rightarrow S=[-1,4]$. Martor: $x=0$ dă $|-3|=3\le 5$ ✓.

9. $3x+1>4$ sau $3x+1<-4$, deci $x>1$ sau $x<-\frac{5}{3}$. Așadar $S=\left(-\infty ,-\frac{5}{3}\right)\cup (1,\infty )$. Martor: $x=2$ dă $|7|=7>4$ ✓; $x=0$ dă $|1|=1<4$, deci $0$ nu e soluție ✓.

10. Prin echivalență: $-2<x-3<2\Rightarrow 1<x<5$, deci $S=(1,5)$. Prin distanțe: căutăm numerele aflate la distanță mai mică de $2$ față de $3$; ele umplu intervalul deschis centrat în $3$, de rază $2$, adică $(1,5)$.

11. Fals. Egalitatea are loc doar pentru $x\ge 0$. Contraexemplu: $x=-3$ dă $|-3|=3\ne -3$. Formularea corectă este $|x|=x$ dacă $x\ge 0$ și $|x|=-x$ dacă $x<0$.

12. Fals. Numărul soluțiilor depinde de $a$ și de expresia $E$. Dacă $a<0$ nu există nicio soluție; dacă $a=0$ rămâne ecuația $E(x)=0$, care poate avea o singură soluție (de exemplu $|2x+6|=0$ dă doar $x=-3$). Două soluții apar doar în cazul favorabil $a>0$, cu $E$ afină neconstantă.

13. Puncte critice $-2$ și $1$. Pe $(-\infty ,-2)$: $-2x-1=5\Rightarrow x=-3$ ✓. Pe $[-2,1)$: expresia devine constanta $3\ne 5$, deci nicio soluție. Pe $[1,\infty )$: $2x+1=5\Rightarrow x=2$ ✓. Deci $S=\{-3,2\}$, iar verificarea directă dă $4+1=5$ și $1+4=5$ ✓.

14. a) $f(x)=2x-4$ pentru $x\ge 2$ și $f(x)=4-2x$ pentru $x<2$. b) Vârful este în $(2,0)$, iar $\mathrm{Im}f=[0,\infty )$, pentru că modulul e nenegativ și orice valoare $y\ge 0$ se atinge (de exemplu în $x=2+\frac{y}{2}$). c) $|2x-4|<6⟺-6<2x-4<6⟺-2<2x<10⟺x\in (-1,5)$.

15. Condiția de acceptare: $|L-50|\le 0,2$, unde $L$ este lungimea măsurată în milimetri. Rezultă $-0,2\le L-50\le 0,2$, deci $L\in [49,8;50,2]$. Inecuația $|L-50|>0,2$ descrie exact piesele respinse: abaterea de la lungimea nominală depășește toleranța, indiferent dacă piesa e prea scurtă sau prea lungă.

16. a) $f(x)=2x$ pentru $x\ge 0$ și $f(x)=4x$ pentru $x<0$. b) Fiecare ramură e strict crescătoare (pante $2$ și $4$), iar ramurile nu se „încalecă": pentru $x<0$ valorile sunt strict negative, pentru $x\ge 0$ sunt nenegative. Deci $x_1<x_2$ implică $f(x_1)<f(x_2)$ în toate situațiile posibile — funcția e strict crescătoare pe $\mathbb{R}$. c) Reuniunea imaginilor ramurilor: $(-\infty ,0)\cup [0,\infty )$, deci $\mathrm{Im}f=\mathbb{R}$.

17. Scriem $x=(x-y)+y$ și aplicăm inegalitatea triunghiului: $|x|=|(x-y)+y|\le |x-y|+|y|$. Scăzând $|y|$ din ambii membri obținem $|x|-|y|\le |x-y|$, adică exact inegalitatea cerută. $■$ (Schimbând rolurile lui $x$ și $y$ se obține și $|y|-|x|\le |x-y|$, deci de fapt $||x|-|y||\le |x-y|$.)

18. Puncte critice: $0$ și $3$. Pe $(-\infty ,0)$: $-x+3-x=3-2x=3\Rightarrow x=0$, care nu aparține intervalului, deci se respinge. Pe $[0,3]$: $x+3-x=3$, egalitate adevărată pentru orice $x$ din interval. Pe $(3,\infty )$: $x+x-3=2x-3=3\Rightarrow x=3$, care nu aparține intervalului deschis, deci se respinge. Prin urmare $S=[0,3]$. Explicația geometrică: $|x|+|x-3|$ este suma distanțelor de la $x$ la $0$ și la $3$. Această sumă este cel puțin egală cu distanța dintre cele două puncte, adică $3$, iar egalitatea are loc exact când $x$ se află între ele. Ecuația cere tocmai cazul de egalitate, deci soluțiile umplu tot segmentul $[0,3]$.

De reținut

• Definiția pe ramuri: $|x|=x$ pentru $x\ge 0$ și $|x|=-x$ pentru $x<0$; geometric, $|x-a|$ este distanța dintre $x$ și $a$.
• Graficul funcției modul este un V cu vârful în origine; $f(x)=|x-a|+b$ are vârful în $(a,b)$ și $\mathrm{Im}f=[b,\infty )$.
• Proprietăți-cheie: $|x|\ge 0$, $|-x|=|x|$, $|xy|=|x||y|$, $\sqrt{x^2}=|x|$ și inegalitatea triunghiului $|x+y|\le |x|+|y|$.
• Ecuații: $|E|=a$ are soluții doar pentru $a\ge 0$; $|E|=|F|⟺E=F$ sau $E=-F$; la mai multe module se aplică metoda intervalelor, cu verificarea apartenenței fiecărei soluții.
• Inecuații: pentru $a>0$, $|t|\le a⟺-a\le t\le a$ (un singur interval), iar $|t|\ge a⟺t\le -a$ sau $t\ge a$ (reuniune de două intervale).

Greșeli frecvente

• Crezi că $-x$ este negativ. În ramura a doua a definiției, $x$ este deja negativ, deci $-x$ iese pozitiv: $|-5|=-(-5)=5$. Modulul nu produce niciodată valori negative.
• Rezolvi $|E|=G(x)$ fără condiția de semn. Membrul drept trebuie să fie nenegativ, iar soluțiile găsite pe fiecare ramură trebuie să respecte condiția ramurii. Fără verificare apar soluții false, ca $x=\frac{3}{2}$ la ecuația $|x-1|=3x-5$.
• Scrii $|x+y|=|x|+|y|$. Egalitatea are loc doar când termenii au același semn; în general este doar inegalitate. Contraexemplu: $|3+(-5)|=2$, dar $|3|+|-5|=8$.
• Confunzi cele două tipuri de inecuații. „Mai mic" dă un interval centrat, „mai mare" dă două intervale, spre exterior. Interpretarea cu distanțe te salvează de fiecare dată.
• La împărțirea cu un număr negativ, uiți să inversezi sensul. La $-8<-2x<6$, împărțirea la $-2$ dă $4>x>-3$, deci $S=(-3,4)$ — nu $(-4,3)$ și nici $(4,-3)$.

Aplică acasă

1. Toleranțe din bucătărie. Citește pe câteva ambalaje cantitatea declarată și abaterea admisă (de exemplu „$500$ g $\pm 5$ g"). Scrie pentru fiecare condiția de acceptare ca inecuație cu modul, rezolv-o și cântărește produsul, dacă ai cântar. Ai găsit vreun produs în afara intervalului?

2. V-uri în GeoGebra. Trasează $y=|x|$, $y=|x-2|$, $y=|x|-3$, $y=|2x-4|$ și $y=|x+1|+|x-2|$. Notează pentru fiecare vârful (sau palierul) și imaginea, apoi verifică prin calcul pe ramuri. Ce se schimbă la ultimul grafic?

3. Harta distanțelor. Pe o hartă rutieră, notează kilometrajul câtorva localități de pe același drum, față de un reper comun. Scrie ca modul distanța dintre două dintre ele, apoi formulează și rezolvă o inecuație de tipul „ce localități sunt la mai puțin de $40$ km de X?". Verifică răspunsul pe hartă.

Pentru părinți și profesori

Funcția modul apare în programa de mate-info alături de partea întreagă și partea fracționară, ca prim exemplu de funcție definită pe ramuri. Lecția urmărește trei obiective: definiția riguroasă și interpretarea cu distanțe, graficul în V cu translațiile lui și tehnica de rezolvare a ecuațiilor și inecuațiilor prin discuție de cazuri. Elevul trebuie să iasă de aici cu reflexul „văd modul, scriu pe ramuri".

Întrebări bune de control: „De ce $-x$ nu e un număr negativ când $x<0$?"; „Câte soluții are $|E(x)|=a$ și de ce depinde asta?"; „De ce inecuația cu $\le$ dă un interval, iar cea cu $\ge$ dă două?"; „Ce reprezintă geometric $|x-3|$?". Semne că a înțeles: scrie punctele critice înainte de a rezolva, verifică apartenența soluțiilor la intervalul de lucru, distinge cazul $a<0$ (mulțime vidă) fără să calculeze și explică graficul în V prin cele două semidrepte.

La Bacalaureatul M1, modulul apare în trei forme recurente: studiul unei funcții de tip $f(x)=ax+b|x|$ (monotonie, injectivitate, imagine), rezolvarea de ecuații și inecuații cu module și scoaterea de sub radical, unde regula $\sqrt{x^2}=|x|$ face diferența dintre un răspuns corect și unul incomplet.

Întrebări frecvente

Ce este modulul unui număr real? Este distanța de la acel număr la zero, pe axa numerelor. Se definește prin $|x|=x$ dacă $x\ge 0$ și $|x|=-x$ dacă $x<0$, deci rezultatul este întotdeauna un număr nenegativ.

Cum arată graficul funcției modul? Este un V cu vârful în origine, format din semidreapta $y=x$ pentru $x\ge 0$ și semidreapta $y=-x$ pentru $x<0$. Ramurile sunt simetrice față de axa $Oy$, iar valoarea minimă, $0$, se atinge o singură dată.

Cum rezolv o ecuație cu modul? La $|E(x)|=a$: pentru $a<0$ nu are soluții, pentru $a=0$ rezolvi $E(x)=0$, pentru $a>0$ rezolvi $E(x)=\pm a$. Cu mai multe module, împarți axa după punctele critice și păstrezi doar soluțiile care aparțin intervalului pe care le-ai găsit.

Cum rezolv o inecuație cu modul? Pentru $a>0$: $|t|\le a$ este echivalent cu $-a\le t\le a$, adică un singur interval; $|t|\ge a$ este echivalent cu $t\le -a$ sau $t\ge a$, adică o reuniune de două intervale. Interpretarea cu distanțe îți spune imediat care dintre cele două forme se aplică.

De ce se pune modul la scoaterea de sub radical de ordin par? Pentru că $\sqrt{x^2}$ este, prin definiție, un număr nenegativ, iar $x$ poate fi negativ. Egalitatea corectă este $\sqrt{x^2}=|x|$: la $x=-4$ obținem $\sqrt{16}=4$, nu $-4$.

Ce este inegalitatea triunghiului și la ce folosește? Este relația $|x+y|\le |x|+|y|$, valabilă pentru orice numere reale. Ea spune că „drumul direct nu e mai lung decât ocolul" și se folosește la estimări, la demonstrarea unor inegalități și în forma derivată $||x|-|y||\le |x-y|$.

Poate o ecuație cu module să aibă o infinitate de soluții? Da. Ecuația $|x|+|x-3|=3$ este verificată de orice $x$ din intervalul $[0,3]$, pentru că suma distanțelor de la $x$ la $0$ și la $3$ este constantă atunci când $x$ se află între cele două puncte.

De ce funcția modul nu este injectivă? Pentru că numerele opuse au același modul: $f(-2)=f(2)=2$. Grafic, orice orizontală $y=m$ cu $m>0$ taie V-ul în două puncte. Restrânsă la $[0,\infty )$, funcția devine injectivă.