Ce tip de funcție este $$f(x) = \sqrt[3]{x}$$, în privința parității?

nu se poate stabili fără grafic

Cât este radicalul de ordinul 3 din minus 8?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Funcția radical de ordinul 3

Rezultatul este $- 2$ , fiindcă $(- 2)^{3} = - 8$ . Radicalul de ordinul trei păstrează semnul numărului de sub el, deci există și pentru numere negative, spre deosebire de cel de ordinul doi. La fel, radicalul de ordinul trei din $- 64$ este $- 4$ . Funcția $f (x) = 3 x$ este definită pe toată axa reală și ia toate valorile reale.

Ridicarea la cub păstrează semnul ( $2^{3} = 8$ , dar $(- 2)^{3} = - 8$ ), deci funcția cub $g (x) = x^{3}$ este bijectivă pe $R$ . De aici rezultă funcția radical de ordinul 3, $f : R \to R$ , $f (x) = 3 x$ , cu domeniul $R$ și mulțimea valorilor $R$ — spre deosebire de radicalul de ordinul 2, definit doar pe $[0, + \infty)$ .

$3 x$ păstrează semnul lui $x$ . Funcția este impară ( $3 - x = - 3 x$ ), deci graficul este simetric față de origine, și este strict crescătoare pe tot $R$ , ceea ce o face injectivă; fiind și surjectivă, este bijectivă — chiar inversa funcției cub, cu graficele simetrice față de dreapta $y = x$ .

Consecința practică cea mai importantă: la ecuații și inecuații cu radical de ordinul 3 nu se pun condiții de existență, iar $3 A = B ⟺ A = B^{3}$ este o echivalență perfectă, fără soluții străine — spre deosebire de ordinul 2. Comparând cele două ordine pe $(0, 1)$ și $(1, + \infty)$ : pe $(0, 1)$ radicalul de ordin mai mare e mai mare, pe $(1, + \infty)$ e mai mic, iar în $0$ și $1$ coincid.

De reținut

$3 x$ are domeniul și imaginea $R$
funcție impară și strict crescătoare
$3 A = B ⟺ A = B^{3}$ , fără condiții

Greșeala tipică

Se cere ca numărul de sub radical să fie nenegativ, ca la ordinul doi, iar rezultatele negative se pierd; la ordin impar nu se pune nicio condiție de existență.

Exerciții din această mini-lecție

Care este domeniul de definiție al funcției $f (x) = 3 x$ ?
- a) $R$
- b) $[0, + \infty)$
- c) $(0, + \infty)$
- d) $R ∖ {0}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $R$

Ridicarea la cub păstrează semnul, deci orice număr real are un radical de ordinul 3; funcția este definită pe tot $R$ , spre deosebire de radicalul de ordinul 2.
Ce tip de funcție este $f (x) = 3 x$ , în privința parității?
- a) pară
- b) impară
- c) nici pară, nici impară
- d) nu se poate stabili fără grafic
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) impară

Din $t = 3 x$ rezultă $(- t)^{3} = - x$ , deci $3 - x = - 3 x$ : funcția este impară, iar graficul este simetric față de origine.
Rezolvați în $R$ ecuația $3 2 x - 1 = 3$ .
- a) $x = 14$
- b) $x = 13$
- c) $x = 4$
- d) ecuația nu are soluție
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $x = 14$

Radicalul de ordinul 3 nu cere nicio condiție; ridicăm la cub: $2 x - 1 = 27$ , deci $x = 14$ .

Întrebări conexe

Ce domeniu și ce imagine are funcția radical de ordinul 3?

Amândouă sunt mulțimea numerelor reale. Orice număr are un singur radical de ordinul trei, iar orice număr este radicalul de ordinul trei al cubului său. De aceea funcția este bijectivă, spre deosebire de radicalul de ordinul doi, mărginit la numere nenegative.

Este funcția radical de ordinul 3 crescătoare?

Da, strict crescătoare pe toată axa. Dacă un număr este mai mic decât altul, și cuburile lor păstrează ordinea, deci ordinea se păstrează și la radicali. Din $8 < 10$ rezultă că radicalul de ordinul trei din $10$ depășește $2$ .

Cum scot un factor de sub radicalul de ordinul 3?

Cauți cuburi în descompunerea numărului, nu pătrate. Din $354$ scoți $3$ , fiindcă $54 = 27 \cdot 2$ , și rămâne $332$ . La ordin impar nu ai nevoie de condiții de semn, deci metoda merge și pentru numere negative.

Ce legătură are radicalul de ordinul 3 cu ridicarea la a treia?

Sunt operații care se desfac una pe alta: cubul unui radical de ordinul trei dă numărul de la care ai plecat, și invers. Prin urmare cele două funcții sunt inverse, iar graficele lor se oglindesc față de dreapta $y = x$ .

Cum calculez radicalul de ordinul 3 dintr-o fracție?

Iei radicalul separat la numărător și la numitor, fiindcă proprietatea câtului funcționează fără condiții la ordin impar. Din $3 \frac{8}{27}$ obții $\frac{2}{3}$ . Dacă numitorul nu este cub, poți raționaliza amplificând până se completează un cub.

Oamenii mai întreabă și: radical de ordinul 3 dintr-un număr negativ · cât este radical de ordin 3 din minus 8 · funcția radical de ordinul trei · rădăcina cubică a unui număr negativ