Funcția radical de ordinul 3

Un acvariu cubic ține exact $216$ de litri de apă. Cât măsoară latura lui? Cum $216$ de litri înseamnă $216$ decimetri cubi, cauți numărul care ridicat la cub dă $216$ — și găsești $6$, deci latura este de $6$ decimetri, adică $60$ de centimetri. Ai făcut, fără să-i spui pe nume, o extragere de radical de ordinul 3.

Până acum, drumul invers al ridicării la putere te-a obligat mereu la o precauție: funcția radical de ordin 2 refuză numerele negative, pentru că niciun pătrat nu este negativ. Cu cubul, povestea se schimbă radical. Ridicarea la cub păstrează semnul: $2^3=8$, dar $(-2{)}^3=-8$. Rezultatul este că drumul înapoi funcționează pentru orice număr real, iar funcția pe care o obținem, $f(x)=\sqrt[3]{x}$, este definită pe toată axa numerelor. Este prima funcție „de tip radical" fără nicio restricție de domeniu — și tocmai de aceea are un grafic elegant, perfect simetric, și un comportament mult mai prietenos la ecuații.

Ce vei învăța

• Vei ști să justifici de ce funcția radical de ordinul 3 este definită pe tot $\mathbb{R}$, spre deosebire de cea de ordinul 2.
• Vei ști să construiești tabelul de valori și să recunoști forma graficului funcției $f(x)=\sqrt[3]{x}$.
• Vei ști să demonstrezi că funcția este impară și să citești pe grafic simetria față de origine.
• Vei ști să demonstrezi că funcția este strict crescătoare și să folosești monotonia pentru a compara numere.
• Vei ști să explici de ce $f$ este bijectivă și de ce este inversa funcției cub, cu simetria graficelor față de prima bisectoare.
• Vei ști să compari radicalul de ordinul 3 cu cel de ordinul 2 și să spui, în orice situație, care dintre ele cere condiții.

Hai să descoperim împreună

1. De ce există radicalul de ordinul 3 pentru orice număr

Pornim de la funcția putere $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=x^3$, pe care ai întâlnit-o la funcția putere cu exponent întreg.

Proprietate. Funcția $g(x)=x^3$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$.

Demonstrație. Fie $x_1<x_2$ două numere reale. Folosim factorizarea diferenței de cuburi:

$$x_2^3-x_1^3=(x_2-x_1)\left(x_2^2+x_1{x}_2+x_1^2\right).$$

Primul factor este strict pozitiv, din ipoteză. Al doilea factor se scrie ca sumă de pătrate,

$$x_2^2+x_1{x}_2+x_1^2={\left(x_2+\frac{x_1}{2}\right)}^2+\frac{3x_1^2}{4}\ge 0,$$

cu egalitate doar când $x_1=x_2=0$ — situație exclusă, fiindcă $x_1<x_2$. Deci al doilea factor este strict pozitiv, produsul este strict pozitiv și $x_1^3<x_2^3$. $■$

Fiind strict crescătoare, $g$ este injectivă — orice două numere distincte au cuburi distincte. Iar valorile ei acoperă toată axa: cuburile numerelor pozitive sunt oricât de mari, cuburile celor negative sunt oricât de mici, deci $g$ este și surjectivă. Pe scurt, $g$ este bijectivă, exact în sensul studiat la funcții injective, surjective, bijective.

Concluzia: pentru orice număr real $y$ există exact un număr real $x$ cu $x^3=y$. Acest număr unic se numește radicalul de ordinul 3 al lui $y$ și se notează $\sqrt[3]{y}$.

2. Definiția funcției radical de ordinul 3

Definiție. Funcția radical de ordinul 3 este

$$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=\sqrt[3]{x},$$

unde $\sqrt[3]{x}$ este unicul număr real al cărui cub este $x$: $\sqrt[3]{x}=t⟺t^3=x$.

Domeniul de definiție este $D=\mathbb{R}$ — nu există nicio condiție de pus, spre deosebire de radicalul de ordinul 2, unde domeniul se calculează de fiecare dată, cum vei vedea la domeniul funcției cu radical.

Mulțimea valorilor este $\mathrm{Im}f=\mathbb{R}$: orice număr real $t$ este atins, alegând $x=t^3$.

Semnul. $\sqrt[3]{x}$ are întotdeauna același semn cu $x$: este pozitiv pentru $x>0$, negativ pentru $x<0$ și zero doar pentru $x=0$. Prin urmare graficul trece prin origine și traversează acolo axa $Ox$ — singurul lui punct comun cu axele.

3. Tabelul de valori și graficul

Alegem ca abscise cuburi perfecte, ca valorile să iasă rotunde:

Unind punctele, obții o curbă continuă care vine de jos, din stânga, urcă mereu, trece prin origine și continuă să urce spre dreapta, aplatizându-se treptat. În jurul originii curba este foarte abruptă — între $-0,125$ și $0,125$ valorile trec de la $-0,5$ la $0,5$ — iar departe de origine devine tot mai lină: ca să treci de la $2$ la $3$ ai nevoie de un salt de la $8$ la $27$.

4. Funcția este impară

Proprietate. Pentru orice $x\in \mathbb{R}$ avem $f(-x)=-f(x)$, adică $\sqrt[3]{-x}=-\sqrt[3]{x}$.

Demonstrație. Notăm $t=\sqrt[3]{x}$, deci $t^3=x$. Atunci $(-t{)}^3=-t^3=-x$, ceea ce înseamnă că $-t$ este numărul real al cărui cub este $-x$. Cum un asemenea număr este unic, rezultă $\sqrt[3]{-x}=-t=-\sqrt[3]{x}$. $■$

O funcție cu această proprietate se numește impară, iar graficul ei este simetric față de origine: dacă punctul $(a,b)$ este pe grafic, atunci și $(-a,-b)$ este pe grafic. Verifică pe tabel: perechile $(8,2)$ și $(-8,-2)$, $(27,3)$ și $(-27,-3)$. Practic, jumătatea din stânga a graficului se obține rotind cu $180^{\circ }$ jumătatea din dreapta în jurul originii.

Aceasta este o diferență majoră față de radicalul de ordinul 2, care nu are nicio simetrie — pur și simplu pentru că nu există nimic la stânga originii.

5. Monotonia: strict crescătoare pe tot $\mathbb{R}$

Proprietate. Funcția $f(x)=\sqrt[3]{x}$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$: dacă $x_1<x_2$, atunci $\sqrt[3]{x_1}<\sqrt[3]{x_2}$.

Demonstrație (prin reducere la absurd). Presupunem contrariul, adică $\sqrt[3]{x_1}\ge \sqrt[3]{x_2}$. Ridicarea la cub este strict crescătoare (secțiunea 1), deci păstrează inegalitatea: ${\left(\sqrt[3]{x_1}\right)}^3\ge {\left(\sqrt[3]{x_2}\right)}^3$, adică $x_1\ge x_2$. Contradicție cu ipoteza $x_1<x_2$. Prin urmare $\sqrt[3]{x_1}<\sqrt[3]{x_2}$. $■$

Monotonia strictă este unealta ta de comparare fără calculator, în ambele sensuri:

• $\sqrt[3]{10}>2$, pentru că $2=\sqrt[3]{8}$ și $8<10$;
• $\sqrt[3]{-30}<-3$, pentru că $-3=\sqrt[3]{-27}$ și $-30<-27$.

Reține pasul-cheie: scrii numărul întreg ca radical de ordinul 3 dintr-un cub perfect, apoi compari ce e sub radical.

6. Bijectivitate, inversa funcției cub și simetria graficelor

Fiind strict crescătoare, $f$ este injectivă; iar orice număr real $t$ este atins (în $x=t^3$), deci $f$ este și surjectivă. Așadar:

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt[3]{x}$ este bijectivă.

Mai mult, compunând-o cu funcția cub în ambele ordini obținem funcția identică:

$$f(g(x))=\sqrt[3]{x^3}=x,g(f(x))={\left(\sqrt[3]{x}\right)}^3=x,\text{pentru orice }x\in \mathbb{R}.$$

Adică $f=g^{-1}$: radicalul de ordinul 3 este inversa funcției cub, în sensul studiat la funcția inversă. Consecința grafică este imediată: graficele funcțiilor $y=x^3$ și $y=\sqrt[3]{x}$ sunt simetrice față de prima bisectoare, dreapta $y=x$.

Observă și că această relație de inversare funcționează pe tot $\mathbb{R}$, fără nicio restricție. La ordinul 2, ca să obții o inversă a fost nevoie să tai jumătate din parabolă, restrângând domeniul la $[0,+\infty )$.

7. Ordinul 2 față de ordinul 3: tabelul comparativ

Aceasta este secțiunea de reținut înainte de teză. Cele două funcții radical seamănă la prima vedere, dar se comportă complet diferit.

Cine e mai mare, $\sqrt{x}$ sau $\sqrt[3]{x}$? Depinde de zonă, exact ca la comparația dintre $\sqrt{x}$, $x$ și $x^2$:

Regula: pe $(0,1)$ radicalul de ordin mai mare dă valori mai mari, pe $(1,+\infty )$ dă valori mai mici, iar în $0$ și în $1$ toate coincid. Intuitiv, radicalii „trag" numerele către $1$, iar cu cât ordinul e mai mare, cu atât trag mai tare.

8. Lecturi grafice și transformări

Pe grafic se citesc direct răspunsurile la întrebările clasice, în spiritul lecției despre lectura grafică.

Ecuația $\sqrt[3]{x}=m$ are exact o soluție, oricare ar fi $m$ real: dreapta orizontală $y=m$ taie graficul o singură dată (o dată, pentru că funcția e surjectivă; cel mult o dată, pentru că e injectivă). Soluția se scrie imediat, cubând: $x=m^3$.

Inecuațiile se rezolvă doar prin monotonie, fără nicio condiție de existență:

$$\sqrt[3]{x}<m⟺x<m^3,\sqrt[3]{x}>m⟺x>m^3.$$

Translațiile funcționează ca la orice funcție: graficul lui $h(x)=\sqrt[3]{x-a}+b$ este graficul lui $\sqrt[3]{x}$ mutat cu $a$ unități pe orizontală și cu $b$ pe verticală. Punctul de simetrie se mută și el, din origine în $(a,b)$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Calcule directe

Calculați $\sqrt[3]{-64}$, $\sqrt[3]{\frac{1}{8}}$, $\sqrt[3]{0,027}$ și $\sqrt[3]{(-4{)}^3}$.

Rezolvare. $\sqrt[3]{-64}=-4$, pentru că $(-4{)}^3=-64$. Apoi $\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{1}{2}$, deoarece ${\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{8}$. Mai departe $\sqrt[3]{0,027}=0,3$, pentru că $0,3^3=0,027$. În fine, $\sqrt[3]{(-4{)}^3}=-4$, aplicând identitatea $\sqrt[3]{a^3}=a$, valabilă pentru orice $a$ real — fără modul, spre deosebire de ordinul 2. $■$

Exemplul 2 — Comparări fără calculator

Ordonați crescător numerele $1,5$, $\sqrt[3]{7}$, $2$ și $\sqrt[3]{9}$.

Rezolvare. Scriem toate numerele ca radicali de ordinul 3: $1,5=\sqrt[3]{3,375}$ (căci $1,5^3=3,375$) și $2=\sqrt[3]{8}$.

Comparăm acum ce se află sub radicali: $3,375<7<8<9$. Funcția radical de ordinul 3 fiind strict crescătoare, ordinea se păstrează:

$$1,5<\sqrt[3]{7}<2<\sqrt[3]{9}.$$

$■$

Exemplul 3 — O ecuație și contrastul cu ordinul 2

Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuațiile: a) $\sqrt[3]{2x-1}=3$; b) $\sqrt[3]{x+5}=-2$.

Rezolvare. a) Radicalul de ordinul 3 e definit pentru orice argument, deci nu punem nicio condiție. Ridicăm la cub — operație care este o echivalență, fiind bijectivă:

$$\sqrt[3]{2x-1}=3⟺2x-1=27⟺x=14.$$

b) La fel, fără condiții și fără grijă la semnul din dreapta: $x+5=(-2{)}^3=-8$, deci $x=-13$. Verificare: $\sqrt[3]{-13+5}=\sqrt[3]{-8}=-2$. ✓

Contrastul. Ecuația $\sqrt{x+5}=-2$ nu are nicio soluție, pentru că un radical de ordinul 2 nu poate fi negativ. La ordinul 3, membrul drept negativ e perfect acceptabil. Aceasta e cea mai importantă diferență practică dintre cele două ordine. $■$

Exemplul 4 — Grafic prin translație

Se consideră $h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $h(x)=\sqrt[3]{x+8}$. Determinați intersecțiile graficului cu axele și descrieți forma graficului.

Rezolvare. Cu axa $Oy$: $h(0)=\sqrt[3]{8}=2$, deci punctul $(0,2)$.

Cu axa $Ox$: rezolvăm $h(x)=0⟺x+8=0⟺x=-8$, deci punctul $(-8,0)$.

Forma: graficul lui $h$ este graficul lui $\sqrt[3]{x}$ translatat cu $8$ unități spre stânga. Rămâne strict crescător pe $\mathbb{R}$ și impar față de noul centru de simetrie, punctul $(-8,0)$. $■$

Exemplul 5 — Bijectivitate și inversă

Arătați că $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt[3]{x-1}+2$ este bijectivă și determinați inversa ei.

Rezolvare. Injectivitatea. Presupunem $f(x_1)=f(x_2)$, adică $\sqrt[3]{x_1-1}+2=\sqrt[3]{x_2-1}+2$. Scădem $2$ și ridicăm la cub: $x_1-1=x_2-1$, deci $x_1=x_2$. ✓

Surjectivitatea. Fie $y\in \mathbb{R}$ oarecare. Rezolvăm $\sqrt[3]{x-1}+2=y$: obținem $\sqrt[3]{x-1}=y-2$, apoi $x-1=(y-2{)}^3$, deci $x=(y-2{)}^3+1\in \mathbb{R}$. Am găsit o soluție pentru orice $y$. ✓

Deci $f$ este bijectivă, iar inversa ei este $f^{-1}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f^{-1}(y)=(y-2{)}^3+1$.

Verificare rapidă: $f(1)=\sqrt[3]{0}+2=2$, iar $f^{-1}(2)=0^3+1=1$. ✓ $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt[3]{x}+x$. a) Arătați că $f$ este strict crescătoare. b) Arătați că ecuația $\sqrt[3]{x}+x=2$ are soluție unică și determinați-o.

Rezolvare. a) Fie $x_1<x_2$. Atunci $\sqrt[3]{x_1}<\sqrt[3]{x_2}$ (radicalul de ordinul 3 e strict crescător) și $x_1<x_2$ (evident). Adunând două inegalități de același sens obținem

$$\sqrt[3]{x_1}+x_1<\sqrt[3]{x_2}+x_2,\text{adica˘}f(x_1)<f(x_2).$$

Deci $f$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$. ✓

b) Fiind strict crescătoare, $f$ este injectivă, deci ecuația $f(x)=2$ are cel mult o soluție. Căutăm una prin încercări cu cuburi perfecte: $f(1)=\sqrt[3]{1}+1=1+1=2$. ✓

Prin urmare $x=1$ este soluție, și este singura. $■$ Reține tiparul, foarte des întâlnit la Bacalaureatul M1: monotonie strictă $\Rightarrow$ injectivitate $\Rightarrow$ cel mult o soluție; apoi ghicești soluția evidentă și ai încheiat, riguros, demonstrația.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, cu justificare. Ține minte întrebarea de control la fiecare pas: „ordinul 3 cere vreo condiție?" — răspunsul este mereu nu.

1. Calculează: $\sqrt[3]{8}$, $\sqrt[3]{-125}$, $\sqrt[3]{0}$, $\sqrt[3]{\frac{1}{27}}$, $\sqrt[3]{0,064}$.

2. Completează tabelul de valori al funcției $f(x)=\sqrt[3]{x}$ pentru $x\in \{-27,-8,-1,0,1,8,27\}$ și schițează graficul pe caiet cu pătrățele.

3. Precizează domeniul de definiție, mulțimea valorilor și punctele de intersecție ale graficului lui $f(x)=\sqrt[3]{x}$ cu axele.

4. Compară, fără calculator: $\sqrt[3]{10}$ cu $2$; $\sqrt[3]{-30}$ cu $-3$; $\sqrt[3]{0,5}$ cu $1$.

5. Ordonează crescător numerele $1,5$, $\sqrt[3]{7}$, $2$, $\sqrt[3]{9}$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Funcția $f(x)=\sqrt[3]{x}$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice număr real $x$ avem $\sqrt[3]{x}\ge 0$."

8. Rezolvă în $\mathbb{R}$: a) $\sqrt[3]{2x-1}=3$; b) $\sqrt[3]{x+5}=-2$; c) $\sqrt[3]{3-x}=1$.

9. Rezolvă inecuațiile: a) $\sqrt[3]{x-1}<2$; b) $\sqrt[3]{x}\ge -1$.

10. Demonstrează că $f(x)=\sqrt[3]{x}$ este impară și explică ce simetrie are graficul ei.

11. Compară $\sqrt[3]{x}$ cu $\sqrt{x}$ pentru $x=64$ și pentru $x=\frac{1}{64}$. Formulează apoi regula generală pentru $x\in (0,1)$ și pentru $x\in (1,+\infty )$.

12. Fie $f(x)=\sqrt[3]{x}$ și $g(x)=x^3$, ambele definite pe $\mathbb{R}$. Calculează $(f\circ g)(x)$ și $(g\circ f)(x)$ și interpretează rezultatul.

13. (Problemă aplicată.) Un acvariu cubic are volumul de $216$ de litri. a) Determină latura, în centimetri. b) Dacă vrei un acvariu cu volumul dublu, tot cubic, cu ce factor trebuie înmulțită latura? Aproximează cu două zecimale.

14. Determină intersecțiile cu axele ale graficului funcției $h(x)=\sqrt[3]{x+8}$ și descrie cum se obține graficul lui $h$ din graficul lui $\sqrt[3]{x}$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt[3]{x-1}+2$. a) Arătați că $f$ este bijectivă. b) Determinați $f^{-1}$.

16. Câte soluții are ecuația $\sqrt[3]{x}=m$, pentru un număr real $m$ oarecare? Justifică folosind graficul și dreapta orizontală $y=m$.

17. Arată că funcția $f(x)=\sqrt[3]{x}+x$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$ și rezolvă ecuația $\sqrt[3]{x}+x=2$.

18. (Provocare.) Rezolvă ecuația $\sqrt[3]{x}=x$ și interpretează grafic rezultatul, ca intersecție a graficului cu prima bisectoare.

Răspunsuri și explicații

1. $\sqrt[3]{8}=2$; $\sqrt[3]{-125}=-5$ (căci $(-5{)}^3=-125$); $\sqrt[3]{0}=0$; $\sqrt[3]{\frac{1}{27}}=\frac{1}{3}$; $\sqrt[3]{0,064}=0,4$ (căci $0,4^3=0,064$).

2. Valorile sunt, în ordine, $-3$, $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$, $3$. Graficul trece prin origine, urcă permanent și este simetric față de origine.

3. $D=\mathbb{R}$, $\mathrm{Im}f=\mathbb{R}$, iar singurul punct comun cu axele este originea $(0,0)$ — graficul intersectează ambele axe exact acolo.

4. $\sqrt[3]{10}>2$, pentru că $2=\sqrt[3]{8}$ și $8<10$. Apoi $\sqrt[3]{-30}<-3$, pentru că $-3=\sqrt[3]{-27}$ și $-30<-27$. În fine, $\sqrt[3]{0,5}<1$, pentru că $1=\sqrt[3]{1}$ și $0,5<1$.

5. $1,5=\sqrt[3]{3,375}$ și $2=\sqrt[3]{8}$; cum $3,375<7<8<9$, monotonia dă $1,5<\sqrt[3]{7}<2<\sqrt[3]{9}$.

6. Adevărat. Dacă am avea $x_1<x_2$ dar $\sqrt[3]{x_1}\ge \sqrt[3]{x_2}$, ridicând la cub (operație strict crescătoare) am obține $x_1\ge x_2$ — contradicție.

7. Fals. Radicalul de ordinul 3 păstrează semnul argumentului: $\sqrt[3]{-8}=-2<0$. Afirmația e adevărată doar pentru radicalul de ordin par.

8. a) $2x-1=27\Rightarrow x=14$. b) $x+5=(-2{)}^3=-8\Rightarrow x=-13$. c) $3-x=1\Rightarrow x=2$. În toate cazurile ridicarea la cub este o echivalență, deci nu apar soluții străine și nu e nevoie de verificare (deși o verificare rapidă nu strică niciodată).

9. a) $\sqrt[3]{x-1}<2⟺x-1<8⟺x<9$, deci $S=(-\infty ,9)$. b) $\sqrt[3]{x}\ge -1⟺x\ge (-1{)}^3=-1$, deci $S=[-1,+\infty )$. Nicio condiție de existență: domeniul este tot $\mathbb{R}$.

10. Fie $t=\sqrt[3]{x}$, deci $t^3=x$. Atunci $(-t{)}^3=-x$, deci $\sqrt[3]{-x}=-t=-\sqrt[3]{x}$. Funcția fiind impară, graficul este simetric față de origine: din punctul $(a,b)$ de pe grafic rezultă că și $(-a,-b)$ este pe grafic.

11. Pentru $x=64$: $\sqrt[3]{64}=4<8=\sqrt{64}$. Pentru $x=\frac{1}{64}$: $\sqrt[3]{\frac{1}{64}}=\frac{1}{4}>\frac{1}{8}=\sqrt{\frac{1}{64}}$. Regula: pe $(0,1)$ avem $\sqrt{x}<\sqrt[3]{x}$, iar pe $(1,+\infty )$ avem $\sqrt[3]{x}<\sqrt{x}$; în $x=1$ sunt egale.

12. $(f\circ g)(x)=\sqrt[3]{x^3}=x$ și $(g\circ f)(x)={\left(\sqrt[3]{x}\right)}^3=x$. Ambele compuneri dau funcția identică pe $\mathbb{R}$, ceea ce înseamnă exact că cele două funcții sunt inverse una alteia.

13. a) $216$ litri $=216$ dm³, deci latura este $\sqrt[3]{216}=6$ dm $=60$ cm. b) Dacă volumul se dublează, latura se înmulțește cu $\sqrt[3]{2}\approx 1,26$ — adică o creștere de circa $26\%$. (Verificare: noua latură ar fi aproximativ $75,6$ cm.) Ca să dublezi latura, în schimb, ai avea nevoie de un volum de opt ori mai mare.

14. $h(0)=\sqrt[3]{8}=2$, deci $(0,2)$; iar $h(x)=0⟺x=-8$, deci $(-8,0)$. Graficul lui $h$ este graficul lui $\sqrt[3]{x}$ translatat cu $8$ unități spre stânga; centrul de simetrie se mută din origine în $(-8,0)$.

15. a) Injectivă: din $\sqrt[3]{x_1-1}+2=\sqrt[3]{x_2-1}+2$, ridicând la cub după simplificarea lui $2$, rezultă $x_1=x_2$. Surjectivă: pentru $y$ real, $x=(y-2{)}^3+1$ verifică $f(x)=y$. b) $f^{-1}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f^{-1}(y)=(y-2{)}^3+1$.

16. Exact o soluție, pentru orice $m$ real. Graficul fiind strict crescător (deci tăiat de orice orizontală cel mult o dată) și având mulțimea valorilor $\mathbb{R}$ (deci tăiat cel puțin o dată), dreapta $y=m$ îl intersectează exact într-un punct, de abscisă $x=m^3$.

17. Pentru $x_1<x_2$ avem $\sqrt[3]{x_1}<\sqrt[3]{x_2}$ și $x_1<x_2$; adunând, $f(x_1)<f(x_2)$, deci $f$ e strict crescătoare, prin urmare injectivă. Ecuația $f(x)=2$ are cel mult o soluție, iar $f(1)=1+1=2$, deci soluția unică este $x=1$.

18. $\sqrt[3]{x}=x$. Ridicăm la cub (echivalență): $x=x^3$, deci $x^3-x=0$, adică $x(x-1)(x+1)=0$. Soluțiile sunt $x\in \{-1,0,1\}$. Grafic: graficul lui $\sqrt[3]{x}$ intersectează prima bisectoare $y=x$ în exact trei puncte, $(-1,-1)$, $(0,0)$ și $(1,1)$ — pe $(0,1)$ curba radicalului este deasupra bisectoarei, iar pe $(1,+\infty )$ este sub ea.

De reținut

• $\sqrt[3]{x}$ există pentru orice număr real $x$ și păstrează semnul lui $x$; funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt[3]{x}$ are domeniul $\mathbb{R}$ și mulțimea valorilor $\mathbb{R}$.
• Funcția este impară ($\sqrt[3]{-x}=-\sqrt[3]{x}$), deci graficul ei este simetric față de origine — singurul punct comun cu axele.
• Funcția este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, deci injectivă; împreună cu surjectivitatea, rezultă că este bijectivă și este inversa funcției cub, cu grafice simetrice față de dreapta $y=x$.
• La ecuații și inecuații cu radical de ordinul 3 nu se pun condiții de existență, iar ridicarea la cub este o echivalență: $\sqrt[3]{A}=B⟺A=B^3$.
• Comparație de reținut: pe $(0,1)$ avem $\sqrt{x}<\sqrt[3]{x}$, pe $(1,+\infty )$ avem $\sqrt[3]{x}<\sqrt{x}$, iar în $0$ și $1$ toți radicalii coincid.

Greșeli frecvente

• „$\sqrt[3]{-8}$ nu există." Confuzie cu ordinul 2. Radicalul de ordin impar există pentru orice număr real; $\sqrt[3]{-8}=-2$, pentru că $(-2{)}^3=-8$.
• Punerea de condiții inutile. La $\sqrt[3]{2x-1}=3$ nu se cere $2x-1\ge 0$. Condițiile de existență apar doar la radicalii de ordin par; aici pierzi timp și, uneori, chiar soluții corecte.
• „$\sqrt[3]{a^3}=|a|$." Modulul e specific ordinului par. Corect: $\sqrt[3]{a^3}=a$ pentru orice $a$ real, în timp ce $\sqrt{a^2}=|a|$.
• Confuzia dintre grafice. Graficul lui $\sqrt[3]{x}$ nu se oprește în origine: el continuă în cadranul al treilea, simetric față de origine. Doar graficul lui $\sqrt{x}$ pornește din origine spre dreapta.
• Dublarea laturii la dublarea volumului. Dacă volumul unui cub se dublează, latura se înmulțește cu $\sqrt[3]{2}\approx 1,26$, nu cu $2$. Radicalul de ordinul 3 „domolește" creșterea, la fel cum o face și cel de ordinul 2.

Aplică acasă

1. Cutia cubică. Găsește în casă un obiect aproximativ cubic (o cutie, un ambalaj, un zar mare). Măsoară-i latura, calculează volumul și apoi fă drumul invers: extrage radicalul de ordinul 3 din volum și verifică dacă obții latura măsurată. Repetă pentru un obiect de două ori mai voluminos și verifică experimental factorul $\sqrt[3]{2}\approx 1,26$.

2. Graficul cu oglindă. Desenează pe hârtie milimetrică graficul funcției $y=x^3$ pentru $x\in [-3,3]$, apoi trasează cu creion colorat dreapta $y=x$. Îndoaie foaia exact de-a lungul acestei drepte și, ținând-o în lumină, trasează curba oglindită: vei obține graficul lui $\sqrt[3]{x}$. Compară-l cu tabelul de valori din lecție.

3. Vânătoarea de radicali de ordinul 3 din realitate. Caută trei mărimi care se calculează cu un radical de ordinul 3: latura unui cub din volum, raza unei sfere din volumul ei, dimensiunea unui obiect scalat proporțional când i se cunoaște masa. Notează pentru fiecare formula și explică într-o frază de ce apare ordinul 3, și nu ordinul 2.

Pentru părinți și profesori

Lecția închide capitolul funcțiilor radical din programa de matematică-informatică, punând în oglindă cele două ordine. Ideea centrală, cerută explicit de programă, este că proprietățile funcției radical se justifică prin faptul că ea este inversa funcției putere: din bijectivitatea și monotonia lui $x^3$ rezultă existența, unicitatea, monotonia și imparitatea lui $\sqrt[3]{x}$. Elevul trebuie să iasă de aici cu reflexul corect: la ordin impar nu se pun condiții, la ordin par da.

Întrebări bune de control: „Cât este $\sqrt[3]{-27}$ și de ce?" ($-3$, pentru că ridicarea la cub păstrează semnul); „De ce ecuația $\sqrt[3]{x}=-5$ are soluție, iar $\sqrt{x}=-5$ nu are?"; „Ce simetrie are graficul lui $\sqrt[3]{x}$ și de unde vine ea?" (simetrie față de origine, din imparitate). Semne că a înțeles: nu mai adaugă condiții de existență la ordinul 3, compară numere transformându-le în radicali de același ordin și explică simetria față de prima bisectoare prin relația de inversare cu funcția cub.

La Bacalaureatul M1, funcția radical de ordinul 3 apare mai ales în combinație cu monotonia și bijectivitatea: „arătați că funcția este bijectivă și determinați inversa", „arătați că ecuația are soluție unică". Tiparul din Exemplul 6 — monotonie strictă, deci cel mult o soluție, plus o soluție găsită prin inspecție — este unul dintre cele mai rentabile raționamente din întreaga programă.

Întrebări frecvente

Ce este funcția radical de ordinul 3? Este funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt[3]{x}$, care asociază fiecărui număr real unicul număr al cărui cub este egal cu el. Practic, este operația inversă a ridicării la cub.

De ce funcția radical de ordinul 3 este definită și pentru numere negative? Pentru că ridicarea la cub păstrează semnul: cubul unui număr negativ este negativ. Prin urmare, orice număr real — pozitiv, negativ sau zero — este cubul exact al unui număr real, deci are radical de ordinul 3.

Cum arată graficul funcției radical de ordinul 3? Ca un „S" alungit: vine de jos din stânga, urcă permanent, trece prin origine și continuă să urce spre dreapta, aplatizându-se. Este simetric față de origine și nu are nici punct de minim, nici punct de maxim.

De ce funcția radical de ordinul 3 este impară? Pentru că $\sqrt[3]{-x}=-\sqrt[3]{x}$: dacă $t^3=x$, atunci $(-t{)}^3=-x$. Consecința geometrică este simetria graficului față de originea sistemului de axe.

Ce diferență există între radicalul de ordinul 2 și cel de ordinul 3? Ordinul 2 cere ca expresia de sub radical să fie nenegativă și dă mereu rezultate nenegative; ordinul 3 nu cere nimic și păstrează semnul. De aceea $\sqrt{a^2}=|a|$, dar $\sqrt[3]{a^3}=a$, iar la ecuații cu ordinul 3 nu se pun condiții de existență.

Cum rezolv o ecuație cu radical de ordinul 3? Izolezi radicalul și ridici ambii membri la cub. Fiind o echivalență (funcția cub este bijectivă), nu apar soluții străine: $\sqrt[3]{A}=B$ este echivalent cu $A=B^3$.

Care e mai mare, $\sqrt{x}$ sau $\sqrt[3]{x}$? Depinde de zonă: pentru $x$ între $0$ și $1$ este mai mare radicalul de ordinul 3, iar pentru $x$ mai mare decât $1$ este mai mare cel de ordinul 2. În $x=0$ și $x=1$ sunt egali.

De ce, dacă dublez volumul unui cub, latura nu se dublează? Pentru că latura se obține din volum cu un radical de ordinul 3: dacă volumul se înmulțește cu $2$, latura se înmulțește doar cu $\sqrt[3]{2}\approx 1,26$. Ca latura să se dubleze, volumul ar trebui să crească de $2^3=8$ ori.