Funcția $$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$, $$f(x) = \begin{cases} 3x + 1, & x \le 1 \\ x - 2, & x > 1 \end{cases}$$, admite primitive pe $$\mathbb{R}$$?

nu, fiindcă are o discontinuitate de speța I în $$x = 1$$

da, fiindcă imaginea ei este interval

nu se poate decide fără să calculăm primitiva

da, fiindcă ambele ramuri sunt funcții elementare

Teorema lui Darboux afirmă că:

derivata unei funcții derivabile pe un interval are proprietatea valorilor intermediare

orice funcție cu proprietatea valorilor intermediare este continuă

orice funcție continuă pe un interval este derivabilă

derivata unei funcții derivabile pe un interval este continuă

Când admite o funcție primitive?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Funcții care admit primitive

Funcția $f$ are primitive pe intervalul $I$ atunci când se găsește o funcție $F$ , derivabilă acolo, cu $F^{'} = f$ . Criteriul folosit cel mai des merge în sens pozitiv: continuitatea pe un interval aduce cu sine existența primitivelor. În sens invers lucrează teorema lui Darboux — o derivată nu sare peste valori —, din care ies două motive de respingere: o discontinuitate cu limite laterale finite și diferite, sau o imagine care nu este interval. Continuitatea ajunge, dar nu este obligatorie.

„ $f$ admite primitive pe intervalul $I$ ” înseamnă că există $F$ derivabilă pe $I$ cu $F^{'} = f$ — o întrebare de existență, nu de calcul. Instrumentul care o rezolvă este teorema lui Darboux: derivata oricărei funcții derivabile are proprietatea valorilor intermediare, chiar dacă nu este continuă. Pe scurt: derivata nu sare peste valori. Demonstrația folosește teorema lui Fermat, plus teorema lui Weierstrass pentru funcții continue pe un interval închis și mărginit, care se admite.

De aici cele două teste negative. Consecința 1: o funcție cu o discontinuitate de speța I — ambele limite laterale finite, dar diferite sau diferite de valoarea funcției — nu admite primitive pe niciun interval care conține acel punct; este testul folosit la aproape toate exercițiile de examen. Consecința 2: dacă imaginea funcției nu este interval, funcția nu admite primitive.

Sensul pozitiv vine din teorema de existență: orice funcție continuă pe un interval admite primitive acolo. Reciproca este falsă — există funcții discontinue care admit primitive. La exercițiile cu parametru, cerința „determinați $a$ pentru care $f$ admite primitive” cere ambele ramuri ale discuției: pentru valoarea găsită, continuitate și existență; pentru celelalte, discontinuitate de speța I și neexistență.

De reținut

$f$ admite primitive pe $I$ : există $F^{'} = f$
continuă pe interval $\Rightarrow$ admite primitive
speța I $\Rightarrow$ fără primitive
imagine care nu e interval $\Rightarrow$ fără primitive

Greșeala tipică

Se scrie „ $f$ nu este continuă, deci nu admite primitive”. Implicația este falsă: continuitatea ajunge, dar nu este necesară, iar respingerea cere o discontinuitate de speța I ori o imagine care nu este interval.

Exerciții din această mini-lecție

Funcția $f : R \to R$ , $f (x) = {3 x + 1, x - 2, x \leq 1 x > 1$ , admite primitive pe $R$ ?
- a) da, fiindcă imaginea ei este interval
- b) nu se poate decide fără să calculăm primitiva
- c) da, fiindcă ambele ramuri sunt funcții elementare
- d) nu, fiindcă are o discontinuitate de speța I în $x = 1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) nu, fiindcă are o discontinuitate de speța I în $x = 1$

Limitele laterale în $1$ sunt $l_{s} (1) = 4$ și $l_{d} (1) = - 1$ , amândouă finite și diferite, deci $x = 1$ este punct de discontinuitate de speța I. Prin Consecința 1 a teoremei lui Darboux, $f$ nu admite primitive pe niciun interval care îl conține pe $1$ ; faptul că ramurile sunt elementare nu ajută la nimic.
Determinați $a \in R$ pentru care funcția $f : R \to R$ , $f (x) = {4 x - 1, a x + 2, x \leq 3 x > 3$ , admite primitive pe $R$ .
- a) $a = - 3$
- b) nicio valoare
- c) $a = 3$
- d) $a = 11$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $a = 3$

Pe fiecare ramură funcția este continuă, deci singurul punct problematic este $3$ . Din $l_{s} (3) = 11$ și $l_{d} (3) = 3 a + 2$ se obține $3 a + 2 = 11$ , deci $a = 3$ ; atunci $f$ este continuă pe $R$ și admite primitive. Pentru $a \neq = 3$ apare o discontinuitate de speța I, deci $f$ nu admite primitive.
Teorema lui Darboux afirmă că:
- a) derivata unei funcții derivabile pe un interval are proprietatea valorilor intermediare
- b) orice funcție cu proprietatea valorilor intermediare este continuă
- c) orice funcție continuă pe un interval este derivabilă
- d) derivata unei funcții derivabile pe un interval este continuă
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) derivata unei funcții derivabile pe un interval are proprietatea valorilor intermediare

Ipoteza este doar derivabilitatea lui $F$ , iar concluzia privește $f = F^{'}$ : ea ia toate valorile intermediare, deși poate fi discontinuă. Dacă s-ar cere și continuitatea derivatei, concluzia ar fi banală și teorema și-ar pierde interesul. Reciproca — „orice funcție cu proprietatea valorilor intermediare este continuă” — este falsă.

Întrebări conexe

Cum scriu primitivele unei funcții definite pe ramuri?

Integrezi separat pe fiecare ramură, cu constantă proprie, apoi impui ca funcția obținută să fie continuă în punctul de racord. Condiția aceea leagă constantele între ele, așa că rămâne una singură liberă, exact cât cere o familie de primitive.

Ce rol are teorema lui Fermat în demonstrația teoremei lui Darboux?

Se construiește o funcție auxiliară, i se ia punctul de extrem de pe intervalul închis și acolo teorema lui Fermat spune că derivata se anulează. De aici iese punctul în care derivata ia valoarea intermediară căutată. Existența extremului o dă teorema lui Weierstrass, care se admite.

Ce înseamnă că imaginea unei funcții nu este interval?

Înseamnă că mulțimea valorilor are goluri: funcția ia două valori, dar sare peste unele dintre cele cuprinse între ele. O funcție care ia numai valorile $- 1$ și $1$ are imaginea ${- 1, 1}$ , deci nu poate fi derivata cuiva pe un interval.

De ce nu cere teorema lui Darboux continuitatea derivatei?

Pentru că proprietatea valorilor intermediare nu vine din continuitate, ci din faptul că funcția este derivata cuiva. Există derivate discontinue care o au totuși, iar teorema le acoperă și pe acestea; tocmai de aceea ea servește drept test de respingere, nu de confirmare.

Poate o derivată să aibă un salt?

Nu. Dacă $F$ este derivabilă pe un interval, atunci $F^{'}$ are proprietatea valorilor intermediare, iar un salt ar însemna valori sărite. De aceea o funcție cu limite laterale finite și diferite într-un punct nu este derivata nimănui pe un interval care conține acel punct.

Oamenii mai întreabă și: f admite primitive · când are o funcție primitive · cum arăt că o funcție are primitive · condiții ca o funcție să aibă primitive · teorema lui Darboux primitive