Graficul unei funcții convexe pe un interval se află:

sub orice coardă și deasupra tangentelor

deasupra oricărei coarde și deasupra tangentelor

sub orice coardă și sub tangente

deasupra coardelor și sub tangente

Verificarea pe mijloc, cu $$x_1 = -3$$ și $$x_2 = 1$$, arată despre funcția $$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$, $$f(x) = x^{3} - 4x$$, că:

nu este convexă pe $$\mathbb{R}$$

este convexă pe $$\mathbb{R}$$

este concavă pe $$\mathbb{R}$$

Despre funcția $$f(x) = \dfrac{1}{x}$$ este corect să spunem că:

este concavă pe $$(-\infty, 0)$$ și convexă pe $$(0, +\infty)$$

este convexă pe $$\mathbb{R}^{*}$$

este concavă pe $$\mathbb{R}^{*}$$

este convexă pe $$(-\infty, 0)$$ și concavă pe $$(0, +\infty)$$

Ce înseamnă funcție convexă și funcție concavă?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Funcții convexe și funcții concave

O funcție este convexă pe un interval dacă, între oricare două puncte ale graficului, curba rămâne sub coardă; este concavă dacă rămâne deasupra ei. Imaginea care ține minte: convexă ține apa, concavă o varsă. În tabele se notează $\cup$ pentru prima și $\cap$ pentru a doua. La funcția de gradul al doilea decide semnul lui $a$ : pozitiv dă convexă, negativ dă concavă.

Monotonia spune încotro merge graficul; convexitatea spune cum se curbează. Definiția o dă poziția coardei: $f : I \to R$ este convexă pe intervalul $I$ dacă $f (t x_{1} + (1 - t) x_{2}) \leq t f (x_{1}) + (1 - t) f (x_{2})$ pentru orice $x_{1}, x_{2} \in I$ și orice $t \in [0, 1]$ ; pentru concavă, inegalitatea are sens invers.

Geometric: la o funcție convexă graficul stă sub coardă și deasupra tangentelor, iar la una concavă, invers. Simbolurile din tabele sunt $\cup$ pentru convexă și $\cap$ pentru concavă, iar imaginea care le ține minte este apa: convexă „ține apa", concavă „varsă apa".

Pentru $t = \frac{1}{2}$ se obține cazul mijlocului: valoarea la mijloc nu depășește media valorilor. El ajunge ca să infirmi convexitatea — un singur contraexemplu doboară un „pentru orice" —, dar nu ca să o demonstrezi.

La funcția de gradul al doilea, calculul se face o dată pentru totdeauna: diferența dintre coardă și grafic este $a t (1 - t) (x_{1} - x_{2})^{2}$ , deci semnul lui $a$ decide totul. Pentru $a = 0$ diferența e nulă, așa că funcțiile afine sunt simultan convexe și concave.

Trei reguli de combinare, pe același interval: suma a două funcții convexe e convexă, înmulțirea cu o constantă pozitivă păstrează convexitatea, iar cu una negativă o răstoarnă. Ca și monotonia, convexitatea se declară pe un interval, niciodată pe o reuniune.

De reținut

convexă: graficul sub coardă și deasupra tangentelor
concavă: graficul deasupra coardei
funcțiile afine sunt și convexe, și concave

Greșeala tipică

Se declară o funcție convexă pe o reuniune de intervale, de pildă pe tot domeniul lui $\frac{1}{x}$ . Ca și monotonia, convexitatea se afirmă pe câte un interval, separat.

Exerciții din această mini-lecție

Graficul unei funcții convexe pe un interval se află:
- a) deasupra oricărei coarde și deasupra tangentelor
- b) sub orice coardă și sub tangente
- c) deasupra coardelor și sub tangente
- d) sub orice coardă și deasupra tangentelor
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) sub orice coardă și deasupra tangentelor

Inegalitatea din definiție spune că valoarea funcției nu depășește ordonata coardei, deci curba trece pe dedesubtul ei. Față de tangentă poziția se răstoarnă: la $y = x^{2}$ , tangenta în punctul de abscisă $1$ este $y = 2 x - 1$ , iar diferența $x^{2} - (2 x - 1) = (x - 1)^{2} \geq 0$ arată că graficul stă deasupra ei. Coarda și tangenta sunt de o parte și de alta a curbei.
Verificarea pe mijloc, cu $x_{1} = - 3$ și $x_{2} = 1$ , arată despre funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{3} - 4 x$ , că:
- a) este convexă pe $R$
- b) nu este convexă pe $R$
- c) este concavă pe $R$
- d) este afină
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) nu este convexă pe $R$

Mijlocul este $- 1$ , cu $f (- 1) = 3$ , iar media valorilor din capete este $\frac{f ( - 3 ) + f ( 1 )}{2} = \frac{- 15 + ( - 3 )}{2} = - 9$ . Cum $3 > - 9$ , inegalitatea de convexitate cade pentru această pereche, iar un singur contraexemplu ajunge. Atenție la sensul invers al raționamentului: dacă inegalitatea s-ar fi verificat, nu am fi putut conchide nimic — cazul mijlocului infirmă, dar nu demonstrează.
Despre funcția $f (x) = \frac{1}{x}$ este corect să spunem că:
- a) este convexă pe $R^{*}$
- b) este concavă pe $R^{*}$
- c) este concavă pe $(- \infty, 0)$ și convexă pe $(0, + \infty)$
- d) este convexă pe $(- \infty, 0)$ și concavă pe $(0, + \infty)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) este concavă pe $(- \infty, 0)$ și convexă pe $(0, + \infty)$

Definiția cere un interval: odată cu două puncte, mulțimea trebuie să conțină tot segmentul dintre ele. Mulțimea $R^{*}$ nu are această proprietate, așa că afirmațiile despre ea nu au sens, exact ca la monotonie. Pe fiecare ramură verdictul se citește din forma graficului: ramura din stânga „varsă apa", cea din dreapta „ține apa".

Întrebări conexe

Unde stă graficul unei funcții convexe față de coardă?

Dedesubt, pe toată porțiunea dintre cele două puncte. În același timp, curba stă deasupra tuturor tangentelor duse la ea. Cele două proprietăți se folosesc des în demonstrațiile de inegalități.

Ce simbol se pune în tabel pentru o funcție concavă?

Semnul $\cap$ , așezat lângă săgeata de monotonie. Pentru o funcție convexă se pune $\cup$ . Cele două simboluri poartă informația despre curbură, complet independentă de faptul că funcția urcă sau coboară.

Când este convexă o funcție de gradul al doilea?

Când coeficientul dominant este pozitiv, adică atunci când parabola are ramurile în sus. Scăzând graficul din coardă obții expresia $a t (1 - t) (x_{1} - x_{2})^{2}$ , în care toți ceilalți factori rămân nenegativi, deci hotărăște semnul lui $a$ .

De ce se spune că o funcție convexă ține apa?

Pentru că graficul ei are forma literei $\cup$ : dacă ai turna apă înăuntru, aceasta ar rămâne acolo. La o funcție concavă forma este $\cap$ , deci apa s-ar scurge de o parte și de alta. Imaginea ajută la ținut minte cele două simboluri din tabel.

Ce se întâmplă la înmulțirea unei funcții convexe cu un număr negativ?

Convexitatea se răstoarnă și funcția devine concavă, fiindcă inegalitatea din definiție își schimbă sensul. Cu un număr pozitiv, dimpotrivă, proprietatea se păstrează. La fel se păstrează și prin adunarea a două funcții convexe.

Ce este cazul mijlocului din definiția convexității?

Este situația în care punctul se ia exact la jumătatea distanței: valoarea funcției acolo nu depășește media valorilor de la capete. Un singur contraexemplu de acest fel doboară convexitatea, dar verificarea lui nu o poate demonstra.

Oamenii mai întreabă și: funcție convexă · funcție concavă · convexă și concavă · diferența dintre convex și concav · cum arăt că o funcție este convexă