Funcția $$f : [a, b] \to \mathbb{R}$$ este integrabilă dacă există $$I \in \mathbb{R}$$ astfel încât:

pentru orice $$\varepsilon > 0$$ există $$\delta > 0$$ cu $$\lvert \sigma_\Delta(f, \xi) - I \rvert < \varepsilon$$ pentru orice diviziune cu $$\lVert \Delta \rVert < \delta$$ și orice sistem $$\xi$$

există o diviziune $$\Delta$$ și un sistem $$\xi$$ cu $$\sigma_\Delta(f, \xi) = I$$

există $$\delta > 0$$ astfel încât pentru orice $$\varepsilon > 0$$ are loc $$\lvert \sigma_\Delta(f, \xi) - I \rvert < \varepsilon$$

sumele Riemann pe diviziunile echidistante tind la $$I$$

Care scriere este corectă?

$$\displaystyle\int_0^1 x^{2}\,dx = \displaystyle\int_0^1 t^{2}\,dt$$

$$\displaystyle\int_0^1 x^{2}\,dx = \dfrac{x^{3}}{3}$$

$$\displaystyle\int_0^1 x^{2}\,dx$$ depinde de litera folosită sub integrală

$$\displaystyle\int_0^1 x^{2}\,dx = \dfrac{x^{3}}{3} + \mathcal{C}$$

Ce este integrala definită?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Funcții integrabile. Integrala definită

Este numărul spre care se apropie sumele Riemann atunci când norma diviziunii tinde la zero, oricare ar fi diviziunea și oricare ar fi punctele intermediare alese. Se notează $\int_{a}^{b} f (x) d x$ , iar funcția pentru care acest număr există se numește integrabilă. Rezultatul este un număr, nu o expresie: pentru o funcție pozitivă el măsoară aria regiunii de sub grafic.

Funcția $f : [a, b] \to R$ este integrabilă (Riemann) dacă există un număr real $I$ astfel încât, pentru orice $ε > 0$ , există $δ > 0$ cu proprietatea că $∣ σ_{Δ} (f, ξ) - I ∣ < ε$ pentru orice diviziune $Δ$ cu $∥ Δ ∥ < δ$ și orice sistem $ξ$ de puncte intermediare. Ordinea cuantificatorilor nu se schimbă: $ε$ se dă întâi, $δ$ se caută după și depinde de el.

Cele două „orice” nu sunt decor: dacă valoarea ar depinde de alegerea punctelor, numărul $I$ nu ar fi bine definit. Se demonstrează că $I$ este unic, iar de aceea primește notația $\int_{a}^{b} f (x) d x$ , numită integrala definită a lui $f$ pe $[a, b]$ ; $a$ și $b$ sunt limitele de integrare.

Variabila de integrare este mută: $\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (t) d t$ , iar rezultatul este un număr, nu o expresie în $x$ . Convențiile care completează notația sunt $\int_{a}^{a} f = 0$ și $\int_{b}^{a} f = - \int_{a}^{b} f$ .

Direct din definiție, cu majorări valabile pe orice diviziune, se obțin $\int_{a}^{b} c d x = c (b - a)$ și $\int_{a}^{b} x d x = \frac{b ^{2} - a ^{2}}{2}$ ; pe diviziuni echidistante, cu formulele $\sum k$ și $\sum k^{2}$ , se obține $\int_{0}^{1} x^{2} d x = \frac{1}{3}$ . Pentru $f \geq 0$ , integrala este aria subgraficului.

De reținut

$\int_{a}^{a} f = 0$ , $\int_{b}^{a} f = - \int_{a}^{b} f$
variabila de integrare este mută
rezultatul este un număr

Greșeala tipică

Se lasă variabila de integrare în răspuns. Integrala definită dă un număr, deci o expresie care mai conține litera de sub semnul integralei arată că limitele nu au fost înlocuite.

Exerciții din această mini-lecție

Funcția $f : [a, b] \to R$ este integrabilă dacă există $I \in R$ astfel încât:
- a) pentru orice $ε > 0$ există $δ > 0$ cu $∣ σ_{Δ} (f, ξ) - I ∣ < ε$ pentru orice diviziune cu $∥ Δ ∥ < δ$ și orice sistem $ξ$
- b) există o diviziune $Δ$ și un sistem $ξ$ cu $σ_{Δ} (f, ξ) = I$
- c) există $δ > 0$ astfel încât pentru orice $ε > 0$ are loc $∣ σ_{Δ} (f, ξ) - I ∣ < ε$
- d) sumele Riemann pe diviziunile echidistante tind la $I$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) pentru orice $ε > 0$ există $δ > 0$ cu $∣ σ_{Δ} (f, ξ) - I ∣ < ε$ pentru orice diviziune cu $∥ Δ ∥ < δ$ și orice sistem $ξ$

Definiția cere toate diviziunile fine și toate sistemele de puncte intermediare. Varianta b) se mulțumește cu o singură sumă, care nu dovedește nimic; varianta c) inversează cuantificatorii; varianta d) restrânge la diviziunile echidistante, deci ar declara integrabile funcții care nu sunt.
Calculată din definiție, $\int_{1}^{4} x d x$ este egală cu:
- a) $\frac{3}{2}$
- b) $15$
- c) $\frac{17}{2}$
- d) $\frac{15}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $\frac{15}{2}$

Din definiție se obține $\int_{a}^{b} x d x = \frac{b ^{2} - a ^{2}}{2}$ , deci aici $\frac{16 - 1}{2} = \frac{15}{2}$ . Varianta $15$ uită împărțirea la $2$ , varianta $\frac{17}{2}$ adună pătratele în loc să le scadă, iar $\frac{3}{2}$ folosește $b - a$ în loc de $b^{2} - a^{2}$ .
Care scriere este corectă?
- a) $\int_{0}^{1} x^{2} d x = \frac{x ^{3}}{3}$
- b) $\int_{0}^{1} x^{2} d x$ depinde de litera folosită sub integrală
- c) $\int_{0}^{1} x^{2} d x = \int_{0}^{1} t^{2} d t$
- d) $\int_{0}^{1} x^{2} d x = \frac{x ^{3}}{3} + C$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\int_{0}^{1} x^{2} d x = \int_{0}^{1} t^{2} d t$

Variabila de integrare este mută, deci litera nu contează, iar rezultatul unei integrale definite este un număr: aici $\frac{1}{3}$ . Variantele a) și d) lasă litera $x$ (și chiar constanta $C$ ) într-un rezultat care trebuie să fie un număr — confuzia dintre integrala definită și cea nedefinită.

Întrebări conexe

Ce ordine au cuantificatorii epsilon și delta în definiție?

Întâi se dă $ε > 0$ , apoi se caută $δ > 0$ care depinde de el, iar condiția se cere pentru orice diviziune cu norma mai mică decât $δ$ . Ordinea nu se schimbă: dacă $δ$ ar fi dat înaintea lui $ε$ , cerința ar fi cu totul alta.

Ce garantează că numărul I din definiție este unic determinat?

Faptul că două numere care ar satisface amândouă condiția ar trebui să fie mai apropiate decât orice $ε$ , deci ar coincide. Tocmai de aceea numărul primește o notație proprie și poate fi numit valoarea integralei; fără această proprietate scrierea nu ar avea sens.

Cât este integrala de la a la b dintr-o funcție constantă?

Iese $c (b - a)$ , direct din definiție: toate sumele Riemann au aceeași valoare, deci și limita lor este aceea. Geometric, pentru $c > 0$ , regiunea este un dreptunghi cu baza $b - a$ și înălțimea $c$ , iar formula redă aria lui.

Ce reprezintă geometric integrala unei funcții pozitive?

Aria regiunii cuprinse între grafic, axa orizontală și cele două drepte verticale duse prin capete. Legătura vine din sumele Riemann, care sunt arii de figuri în trepte. Când funcția coboară sub axă, integrala nu mai măsoară o arie, ci un bilanț cu semn.

Este rezultatul unei integrale definite o funcție sau un număr?

Un număr. Litera de sub integrală dispare odată cu calculul, deci în răspuns nu are ce căuta un $x$ ; dacă apare, s-a strecurat o greșeală. Din același motiv, $\int_{a}^{b} f (x) d x$ și $\int_{a}^{b} f (t) d t$ înseamnă exact același număr.

Oamenii mai întreabă și: integrala definită definiție · când este o funcție integrabilă · integrabilitate Riemann · ce înseamnă integrala de la a la b · limitele de integrare