O baterie cu tensiunea electromotoare $$E = 20$$ volți și rezistența interioară $$r = 5$$ ohmi alimentează un rezistor $$R$$. Puterea maximă transferată și rezistența la care se obține sunt:

$$20$$ wați, pentru $$R = 5$$ ohmi

$$80$$ wați, pentru $$R = 5$$ ohmi

$$20$$ wați, pentru $$R = 10$$ ohmi

$$40$$ wați, pentru $$R = 2{,}5$$ ohmi

Temperatura unui corp este $$T(t) = 15 + 45e^{-t/8}$$ grade Celsius, cu $$t$$ în minute. Este adevărat că:

dreapta $$T = 15$$ este asimptotă orizontală spre $$+\infty$$, iar temperatura rămâne mereu strict mai mare decât $$15\ ^\circ\text{C}$$

dreapta $$T = 60$$ este asimptotă orizontală

corpul ajunge la $$15\ ^\circ\text{C}$$ după $$8$$ minute

după un timp suficient temperatura coboară sub $$15\ ^\circ\text{C}$$

Ce domeniu are o funcție care vine din fizică?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Grafice din fizică și verificarea digitală

Pe cel impus de fenomen, nu pe cel maxim al expresiei. Un volum este strict pozitiv, un timp se măsoară de la pornirea cronometrului, o rezistență nu poate fi negativă. Restrângerea se justifică într-o propoziție scrisă la începutul rezolvării, fiindcă altfel studiul ar acoperi valori fără sens fizic, iar extremele găsite acolo n-ar însemna nimic.

Un grafic din fizică este reprezentarea unei funcții care leagă două mărimi măsurabile, studiată pe domeniul impus de fenomen, nu pe domeniul maxim al expresiei: volumul este strict pozitiv, timpul se măsoară de la pornirea cronometrului. Trei lucruri se schimbă față de un exercițiu obișnuit: domeniul se justifică într-o propoziție, etichetele rândurilor se instanțiază — $p^{'} (V)$ , $T^{'} (t)$ , $P^{'} (R)$ în loc de $f^{'} (x)$ — iar fiecare concluzie primește o traducere fizică, cu unitatea de măsură scrisă la rezultat.

Patru modele revin mereu. Adiabata $p (V) = \frac{C}{V ^{γ}}$ , cu $γ > 1$ , este strict descrescătoare și convexă, cu asimptotele $V = 0$ și $p = 0$ , și este mai abruptă decât izoterma. Legea răcirii are asimptota orizontală chiar la temperatura mediului, către care corpul tinde fără să o atingă. Aruncarea verticală ilustrează extremele pe un interval închis: candidații sunt punctele critice din interior și cele două capete, iar un punct critic din afara intervalului nu contează. Transferul de putere $P (R) = \frac{E ^{2} R}{( R + r ) ^{2}}$ are maximul $\frac{E ^{2}}{4 r}$ , atins exact pentru $R = r$ .

La un capăt închis al domeniului se scriu valoarea funcției și valoarea derivatei laterale, nu bară. Verificarea cu un instrument digital confirmă, nu demonstrează, iar desenul de pe ecran minte în trei feluri: segmentul fals de lângă un pol, fereastra care ascunde o ramură sau turtește un extrem și zecimala pusă în locul valorii exacte.

De reținut

domeniul se citește din enunțul fizic, nu din expresie
extremele pe interval închis: punctele critice din interior plus cele două capete
instrumentul digital confirmă, nu demonstrează

Greșeala tipică

Se declară maximul global fără a compara și valorile din capetele intervalului. Pe un interval închis extremul poate fi chiar într-un capăt, iar punctele critice căzute în afara lui nu contează.

Exerciții din această mini-lecție

O baterie cu tensiunea electromotoare $E = 20$ volți și rezistența interioară $r = 5$ ohmi alimentează un rezistor $R$ . Puterea maximă transferată și rezistența la care se obține sunt:
- a) $80$ wați, pentru $R = 5$ ohmi
- b) $20$ wați, pentru $R = 10$ ohmi
- c) $40$ wați, pentru $R = 2, 5$ ohmi
- d) $20$ wați, pentru $R = 5$ ohmi
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $20$ wați, pentru $R = 5$ ohmi

Din $P (R) = \frac{E ^{2} R}{( R + r ) ^{2}}$ se obține $P^{'} (R) = E^{2} \frac{r - R}{( R + r ) ^{3}}$ , care se anulează doar în $R = r$ și își schimbă acolo semnul din $+$ în $-$ : maxim. Valoarea este $P (r) = \frac{E ^{2}}{4 r} = \frac{400}{20} = 20$ de wați. Varianta $80$ ia $\frac{E ^{2}}{r}$ , iar $R = 10$ confundă maximul cu punctul de inflexiune $R = 2 r$ .
O minge aruncată vertical are înălțimea $h (t) = 24 t - 4 t^{2}$ metri. Valoarea maximă a înălțimii pe intervalul $[0, 2]$ este:
- a) $36$ de metri
- b) $32$ de metri
- c) $24$ de metri
- d) $0$ metri
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $32$ de metri

Din $h^{'} (t) = 24 - 8 t$ rezultă punctul critic $t = 3$ , care nu aparține intervalului $[0, 2]$ . Pe $[0, 2]$ derivata este pozitivă, deci funcția crește și maximul se atinge în capătul din dreapta: $h (2) = 48 - 16 = 32$ de metri. Varianta $36$ este $h (3)$ , adică maximul pe tot domeniul fizic — greșeala clasică de a ignora intervalul cerut.
Temperatura unui corp este $T (t) = 15 + 45 e^{- t /8}$ grade Celsius, cu $t$ în minute. Este adevărat că:
- a) dreapta $T = 60$ este asimptotă orizontală
- b) corpul ajunge la $15^{\circ} C$ după $8$ minute
- c) dreapta $T = 15$ este asimptotă orizontală spre $+ \infty$ , iar temperatura rămâne mereu strict mai mare decât $15^{\circ} C$
- d) după un timp suficient temperatura coboară sub $15^{\circ} C$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) dreapta $T = 15$ este asimptotă orizontală spre $+ \infty$ , iar temperatura rămâne mereu strict mai mare decât $15^{\circ} C$

Cum $t \to + \infty lim T (t) = 15$ , dreapta $T = 15$ este asimptotă orizontală spre $+ \infty$ și reprezintă temperatura mediului. Exponențiala este strict pozitivă, deci $T (t) > 15$ pentru orice $t$ : valoarea este o tendință, nu una atinsă. Numărul $60 = T (0)$ este temperatura inițială, nu o asimptotă.

Întrebări conexe

Cum se etichetează rândurile tabelului la o mărime fizică?

Cu numele mărimii studiate, nu cu litere generale: $p^{'} (V)$ pentru presiune în funcție de volum, $T^{'} (t)$ pentru temperatură în funcție de timp, $P^{'} (R)$ pentru putere în funcție de rezistență. Așa se citește direct ce spune fiecare rând despre fenomen.

Ce unitate are derivata unei mărimi fizice?

Se împart unitățile: dacă spațiul se măsoară în metri, iar timpul în secunde, derivata spațiului față de timp iese în metri pe secundă, adică o viteză. Regula ajută la controlul rezultatului: o derivată cu unitate nepotrivită arată că undeva s-a greșit.

De ce este adiabata mai abruptă decât izoterma?

Fiindcă exponentul de la numitor este supraunitar: $p (V) = \frac{C}{V ^{γ}}$ cu $γ > 1$ , față de $γ = 1$ la izotermă. La aceeași creștere a volumului, presiunea scade mai mult, deci curba coboară mai repede și se apropie mai iute de axă.

În ce trei feluri minte desenul de pe ecran?

Trasează un segment fals lângă un pol, unind două ramuri care nu se ating; ascunde detalii dacă fereastra e prea largă sau prea îngustă; și rotunjește valorile, așa că o tangență poate arăta ca o intersecție dublă. Verificarea rămâne o confirmare, nu o demonstrație.

Ce unitate de măsură se scrie la rezultatul unei probleme de fizică?

Cea a mărimii calculate: pascali la o presiune, grade la o temperatură, wați la o putere. Numărul singur nu spune nimic, iar la traducerea concluziei matematice în limbaj fizic unitatea face parte din răspuns.

Ce se pune în tabel la un capăt închis, bară sau valoare?

Valoarea funcției și valoarea derivatei laterale. Bara se folosește numai acolo unde funcția nu există. La momentul inițial al unei răciri, de pildă, temperatura și viteza ei de scădere sunt amândouă numere bine determinate, deci se scriu ca atare.

Oamenii mai întreabă și: grafice din fizică · transfer maxim de putere · transformarea adiabatică grafic · legea răcirii grafic · verificarea unui grafic cu calculatorul