Cum arată graficul funcției sinus?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Graficele funcțiilor sinus și cosinus

Este o curbă ondulată care pleacă din origine, urcă până la $1$ la un sfert de tură, coboară până la $- 1$ la trei sferturi de tură și revine la zero după o tură completă. Pe intervalul de la $0$ la $2 π$ are trei zerouri, în $0$ , $π$ și $2 π$ . Valorile rămân mereu între $- 1$ și $1$ , iar forma se repetă la nesfârșit.

Desfășurând cercul trigonometric pe o axă orizontală obținem graficele funcțiilor sinus și cosinus pe $[0, 2 π]$ . Sinusoida pleacă din $0$ , urcă la maximul $1$ în $x = π /2$ , coboară la minimul $- 1$ în $x = 3 π /2$ și revine la $0$ în $2 π$ : are trei zerouri ( $0$ , $π$ , $2 π$ ), este crescătoare pe $[0, π /2]$ și pe $[3 π /2, 2 π]$ , descrescătoare pe $[π /2, 3 π /2]$ . Cosinusoida pornește din $1$ , coboară continuu la minimul $- 1$ în $x = π$ , apoi urcă înapoi la $1$ în $2 π$ : are doar două zerouri ( $π /2$ și $3 π /2$ ), este descrescătoare pe $[0, π]$ și crescătoare pe $[π, 2 π]$ ; maximul $1$ se atinge în ambele capete ale intervalului, $0$ și $2 π$ — cea mai des greșită particularitate a lecției. Ambele funcții iau valori exact în $[- 1, 1]$ , pentru că sunt coordonate ale unui punct de pe cercul de rază $1$ . Cele două curbe au aceeași formă: cosinusoida este sinusoida translatată cu $π /2$ spre stânga — fiecare eveniment (maxim, minim, zerou) al cosinusului apare cu un sfert de tură mai devreme decât cel corespunzător al sinusului.

De reținut

sinus: trei zerouri pe $[0, 2 π]$ , în $0$ , $π$ și $2 π$
cosinus: două zerouri, în $\frac{π}{2}$ și $\frac{3 π}{2}$
amândouă iau valori în $[- 1, 1]$ , cu perioada $2 π$

Greșeala tipică

Se numără un singur punct de maxim al cosinusului pe o tură închisă, deși valoarea $1$ apare la amândouă capetele intervalului, adică în $0$ și în $2 π$ .

Exerciții din această mini-lecție

Câte zerouri are funcția sinus pe intervalul $[0, 2 π]$ ?
- a) 2
- b) 3
- c) 4
- d) 1
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) 3

Zerourile sunt $x = 0$ , $x = π$ și $x = 2 π$ — trei în total, pentru că intervalul închis include atât începutul, cât și sfârșitul turei.
În câte puncte își atinge funcția cosinus valoarea maximă pe $[0, 2 π]$ ?
- a) 1
- b) 2
- c) 3
- d) 0
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) 2

Maximul $1$ se atinge la ambele capete ale intervalului, $x = 0$ și $x = 2 π$ , pentru că amândouă corespund aceluiași punct $(1, 0)$ de pe cerc, cu abscisa maximă.
Pe ce interval este funcția sinus descrescătoare pe $[0, 2 π]$ ?
- a) $[0, π /2]$
- b) $[π /2, 3 π /2]$
- c) $[3 π /2, 2 π]$
- d) $[0, π]$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $[π /2, 3 π /2]$

Sinusul crește pe $[0, π /2]$ până la maximul $1$ , apoi scade pe $[π /2, 3 π /2]$ până la minimul $- 1$ , apoi crește din nou pe $[3 π /2, 2 π]$ .

Întrebări conexe

Ce perioadă au funcțiile sinus și cosinus?

Amândouă au perioada $2 π$ , adică o tură completă pe cerc. După fiecare tură, punctul revine în același loc, deci coordonatele lui se repetă. De aceea graficele arată ca aceeași bucată copiată la nesfârșit spre stânga și spre dreapta.

Cum arată graficul funcției cosinus?

Pornește de la valoarea $1$ , coboară până la $- 1$ la jumătatea turei și urcă înapoi la $1$ la sfârșit. Are doar două zerouri pe o tură, la un sfert și la trei sferturi. Este aceeași ondulație ca la sinus, doar mutată cu un sfert de tură spre stânga.

Cum desenez graficul sinusului punct cu punct?

Iei valorile din tabelul unghiurilor de bază și le marchezi ca puncte, cu argumentul pe orizontală și rezultatul pe verticală. Cu cinci puncte pe fiecare sfert de tură forma se vede deja. Le unești printr-o linie lină, fără colțuri.

Ce înseamnă amplitudinea unei sinusoide?

Este jumătatea distanței dintre valoarea cea mai mare și cea mai mică a curbei. La sinusul obișnuit ea este unu, fiindcă valorile merg de la minus unu la unu. Dacă înmulțești funcția cu un număr, amplitudinea se înmulțește cu acel număr.

Cum se schimbă graficul la funcția 2 ori sinus de x?

Se întinde pe verticală: fiecare valoare se dublează, deci maximul devine $2$ și minimul $- 2$ . Zerourile rămân în aceleași locuri, fiindcă dublul lui zero este tot zero. Perioada nu se schimbă, doar înălțimea ondulației.

Unde taie graficul cosinusului axa Ox?

În punctele unde cosinusul se anulează, adică la un sfert și la trei sferturi de tură, deci în $\frac{π}{2}$ și $\frac{3 π}{2}$ pe prima tură. Mai departe, zerourile se repetă din $π$ în $π$ , fiind mereu la mijlocul distanței dintre un maxim și un minim.

Oamenii mai întreabă și: graficul sinusului · ce este o sinusoidă · cum se desenează graficul lui sin x · graficul funcției sinus pe o tură