Graficele funcțiilor sinus și cosinus pe [0, 2π]

Într-un port de la Marea Nordului, apa urcă și coboară de două ori pe zi. Dacă notezi din oră în oră nivelul mării și pui punctele pe hârtie milimetrică, nu obții o linie frântă și nici o dreaptă: obții o undă — o curbă netedă care urcă lin până la un vârf, coboară la fel de lin până la un minim și o ia de la capăt. Aceeași formă o vezi la temperatura corpului măsurată din oră în oră, la tensiunea din priză înregistrată de un osciloscop sau la umbra unui băț urmărită de dimineața până seara.

Toate aceste curbe sunt aceeași curbă, iar numele ei este sinusoidă. În lecțiile trecute am definit sinusul și cosinusul ca fiind coordonatele unui punct care se rotește pe cercul trigonometric. Acum facem pasul care transformă definiția într-o imagine: desfășurăm cercul pe o axă și desenăm cum variază fiecare coordonată în timp ce punctul face o tură completă, adică pentru $x\in [0,2\pi ]$. Rezultatul sunt cele două grafice pe care le vei recunoaște tot restul liceului — și, dacă alegi fizica sau ingineria, tot restul vieții.

Ce vei învăța

• Vei ști să construiești tabelul de valori al funcțiilor sinus și cosinus în punctele remarcabile din $[0,2\pi ]$.
• Vei ști să trasezi sinusoida și cosinusoida pe intervalul $[0,2\pi ]$, punct cu punct, și să le recunoști forma.
• Vei ști să citești de pe grafic zerourile, maximul, minimul și intervalele de monotonie ale fiecărei funcții.
• Vei ști să determini mulțimea valorilor fiecărei funcții și să justifici de ce nicio valoare nu iese din $[-1,1]$.
• Vei ști să vezi cosinusoida ca pe sinusoida translatată pe orizontală și să folosești observația la comparații rapide.
• Vei ști să numeri soluțiile unei ecuații de forma $\sin x=m$ sau $\cos x=m$ pe $[0,2\pi ]$, citind grafic.

Hai să descoperim împreună

1. Cum se desface cercul într-o axă

Până acum, informația despre $\sin x$ și $\cos x$ era ascunsă în poziția unui punct pe cerc: pentru fiecare $x$, punctul $M(x)$ are coordonatele $(\cos x,\sin x)$, așa cum am stabilit în lecția despre sinusul și cosinusul pe cercul trigonometric. Problema cercului e că îți arată totul deodată și nimic în ordine: nu vezi „povestea" — cum crește și cum scade fiecare coordonată pe măsură ce punctul înaintează.

Graficul rezolvă exact asta. Într-un nou sistem de axe, punem pe orizontală argumentul $x$ (adică lungimea arcului parcurs, de la $0$ la $2\pi$), iar pe verticală valoarea funcției. Fiecare poziție a punctului de pe cerc devine un punct pe grafic: mergi cu $x$ pe orizontală până la valoarea dorită, apoi urci sau cobori cât spune coordonata.

Imaginează-ți că iei cercul, îl tai în punctul $A(1,0)$ și îl întinzi ca pe o sfoară de-a lungul axei orizontale. Sfoara are lungimea $2\pi \approx 6,28$ — iată de ce intervalul de lucru este $[0,2\pi ]$: exact o tură completă, nici mai mult, nici mai puțin. Ceea ce era „ordonata punctului" devine acum „înălțimea graficului deasupra axei".

2. Tabelul de valori al sinusului

Pornim de la valorile deja cunoscute din lecția despre valorile lui sin și cos pentru unghiurile de bază și le așezăm în ordine crescătoare a lui $x$. Adăugăm și punctele „intermediare" din celelalte cadrane, obținute prin simetrie față de axe:

În valori aproximative, ca să simți mai bine forma: $\frac{1}{2}=0,5$, $\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,71$, $\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,87$.

Citește tabelul ca pe un jurnal de călătorie. Pleci de la $0$, urci până la $1$ (la $\frac{\pi }{2}$), cobori înapoi la $0$ (la $\pi$), continui să cobori până la $-1$ (la $\frac{3\pi }{2}$), apoi urci înapoi la $0$ (la $2\pi$). O urcare, o coborâre lungă, o urcare — și te-ai întors de unde ai plecat.

3. Sinusoida: trasarea și forma ei

Punem toate perechile $(x,\sin x)$ din tabel în reperul cartezian și le unim printr-o curbă netedă. Rezultatul se numește sinusoidă și arată ca o undă simetrică, cu un „deal" în prima jumătate și o „vale" în a doua.

Ce merită observat imediat:

• Curba nu are colțuri: sinusul variază continuu, fără salturi. Motivul geometric: punctul de pe cerc se mișcă lin, deci și ordonata lui.
• Curba nu iese niciodată din banda dintre dreptele $y=-1$ și $y=1$. Explicația e de o eleganță rară: ordonata unui punct de pe cercul de rază $1$ nu poate depăși raza. Deci $-1\le \sin x\le 1$ pentru orice $x$.
• „Dealul" din prima jumătate și „valea" din a doua au exact aceeași formă, doar că una e deasupra axei și cealaltă dedesubt. Este reflexul grafic al faptului că, pe cerc, jumătatea de sus și jumătatea de jos sunt oglindite una față de cealaltă.

4. Ce citim de pe graficul sinusului

Toate proprietățile de mai jos se referă la intervalul de studiu $[0,2\pi ]$ și se citesc direct de pe desen.

Zerourile (punctele unde graficul taie axa $Ox$): $x=0$, $x=\pi$ și $x=2\pi$. Sunt trei, pentru că intervalul e închis la ambele capete și include atât începutul, cât și sfârșitul turei. Pe cerc, acestor valori le corespund punctele $(1,0)$ și $(-1,0)$ — cele două puncte de pe axa $Ox$, unde ordonata e zero.

Maximul: valoarea cea mai mare este $1$ și se atinge o singură dată, în $x=\frac{\pi }{2}$. Punctul de maxim al graficului este $\left(\frac{\pi }{2},1\right)$ — vârful „dealului", corespunzător punctului $(0,1)$ de pe cerc, cel mai de sus.

Minimul: valoarea cea mai mică este $-1$, atinsă o singură dată, în $x=\frac{3\pi }{2}$. Punctul de minim este $\left(\frac{3\pi }{2},-1\right)$ — fundul „văii".

Mulțimea valorilor: parcurgând graficul, înălțimea ia toate valorile de la $-1$ la $1$, fără să sară vreuna. Deci imaginea funcției pe $[0,2\pi ]$ este intervalul $[-1,1]$.

Monotonia, citită „de la stânga la dreapta":

$$\text{cresca˘toare pe }\left[0,\frac{\pi }{2}\right],\text{descresca˘toare pe }\left[\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right],\text{cresca˘toare pe }\left[\frac{3\pi }{2},2\pi \right].$$

Observă că intervalul de descreștere este de două ori mai lung decât fiecare interval de creștere — coborârea de la $1$ la $-1$ traversează două cadrane dintr-o bucată.

Semnul, care se potrivește perfect cu ce am stabilit în lecția despre semnul funcțiilor trigonometrice pe cadrane: graficul e deasupra axei pe $(0,\pi )$ și dedesubt pe $(\pi ,2\pi )$. Ceea ce acolo era un raționament pe cerc, aici este pur și simplu vizibil.

5. Tabelul de valori al cosinusului

Repetăm procedeul pentru abscisă. Aceleași puncte remarcabile, aceleași simetrii:

Povestea e alta: pleci de sus, de la $1$, cobori continuu până la $-1$ (la $\pi$), apoi urci continuu înapoi la $1$ (la $2\pi$). O singură coborâre lungă și o singură urcare lungă — mai simplu decât la sinus.

6. Cosinusoida și ce se citește de pe ea

Zerourile: $x=\frac{\pi }{2}$ și $x=\frac{3\pi }{2}$ — doar două, spre deosebire de cele trei ale sinusului. Corespund punctelor $(0,1)$ și $(0,-1)$ de pe cerc, cele de pe axa $Oy$, unde abscisa e zero.

Maximul: valoarea $1$, atinsă în două puncte, $x=0$ și $x=2\pi$. Este particularitatea cea mai des greșită a acestei lecții: pe intervalul închis $[0,2\pi ]$, cosinusul își atinge maximul la ambele capete, pentru că la începutul și la sfârșitul turei punctul de pe cerc e același, $(1,0)$, cu abscisa maximă.

Minimul: valoarea $-1$, atinsă o singură dată, în $x=\pi$.

Mulțimea valorilor: tot $[-1,1]$, din același motiv ca la sinus — abscisa unui punct de pe cercul de rază $1$ nu poate ieși din acest interval.

Monotonia:

$$\text{descresca˘toare pe }[0,\pi ],\text{cresca˘toare pe }[\pi ,2\pi ].$$

Doar două intervale, egale ca lungime — graficul cosinusului e „mai simetric" decât cel al sinusului pe acest interval.

Semnul: graficul e deasupra axei pe $\left[0,\frac{\pi }{2}\right)$ și pe $\left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right]$, dedesubt pe $\left(\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right)$ — exact cadranele I și IV, respectiv II și III.

7. Cosinusoida este sinusoida mutată

Pune cele două grafice unul peste altul, pe același desen. Vei observa ceva izbitor: au exact aceeași formă. Nu seamănă doar, ci sunt identice ca traseu — una e doar deplasată față de cealaltă de-a lungul axei orizontale.

Mai precis, graficul cosinusului arată ca graficul sinusului translatat cu $\frac{\pi }{2}$ spre stânga. Verifică pe punctele-cheie: sinusul își atinge maximul la $\frac{\pi }{2}$, iar cosinusul la $0$ — cu $\frac{\pi }{2}$ mai devreme. Sinusul are un zero la $\pi$, cosinusul are unul la $\frac{\pi }{2}$ — iarăși cu $\frac{\pi }{2}$ mai devreme. Sinusul are minimul la $\frac{3\pi }{2}$, cosinusul la $\pi$. Fiecare eveniment de pe cosinusoidă se întâmplă cu un sfert de tură înaintea evenimentului corespunzător de pe sinusoidă.

Explicația geometrică e la fel de directă. Pe cerc, abscisa și ordonata sunt aceeași mărime măsurată pe două axe perpendiculare: ce e „abscisă" pentru un punct devine „ordonată" pentru punctul aflat cu un sfert de tură mai departe. Un sfert de tură înseamnă $\frac{\pi }{2}$ — de aici decalajul. Formula care exprimă algebric această observație grafică o vom scrie și demonstra în lecția despre formulele cu π/2; aici ne oprim la constatarea vizuală, care e deja foarte utilă.

Ce se întâmplă cu cele două grafice dincolo de $2\pi$, adică la a doua tură și la următoarele, este subiectul lecției despre funcția cotangentă și periodicitate. Pe intervalul nostru de studiu, $[0,2\pi ]$, avem exact o tură completă.

8. La ce folosesc: fenomene care oscilează

Graficele acestea nu sunt un capriciu al matematicienilor; ele descriu tot ce se repetă lin în natură. Trei exemple pe care programa le dă chiar ea:

• Mareea. Nivelul apei într-un port urcă și coboară după o curbă de tip sinusoidă. Din grafic citești imediat ora vârfului (maximul), ora refluxului maxim (minimul) și momentele în care apa e la nivelul mediu (zerourile, dacă măsori față de nivelul mediu).
• Temperatura corpului sau a aerului în cursul zilei. Valoarea minimă spre dimineață, maximă după-amiaza, cu o variație lină între ele — aceeași formă de undă, doar cu alte etichete pe axe.
• Mișcarea circulară uniformă. Un punct care se rotește uniform pe un cerc are abscisa descrisă de o cosinusoidă și ordonata de o sinusoidă. De aici pornesc, în fizică, oscilațiile pendulului, curentul alternativ din priză și undele sonore.

Când vezi un asemenea grafic într-o problemă, întrebările sunt mereu aceleași: unde e maximul, unde e minimul, unde taie axa, pe ce intervale crește. Sunt exact întrebările la care ai învățat să răspunzi în această lecție.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Completarea unui tabel de valori

Completați valorile lui $\sin x$ și $\cos x$ pentru $x\in \left\{\frac{\pi }{3},\frac{3\pi }{4},\frac{3\pi }{2}\right\}$ și precizați, pentru fiecare, dacă punctul de pe grafic e deasupra sau dedesubtul axei $Ox$.

Rezolvare. Din tabelele lecției:

• $x=\frac{\pi }{3}$: $\sin =\frac{\sqrt{3}}{2}>0$ (deasupra), $\cos =\frac{1}{2}>0$ (deasupra).
• $x=\frac{3\pi }{4}$: $\sin =\frac{\sqrt{2}}{2}>0$ (deasupra), $\cos =-\frac{\sqrt{2}}{2}<0$ (dedesubt).
• $x=\frac{3\pi }{2}$: $\sin =-1<0$ (dedesubt, chiar în punctul de minim), $\cos =0$ (pe axă, zerou al cosinusoidei).

$■$

Exemplul 2 — Citirea extremelor

Determinați valoarea maximă și valoarea minimă ale funcției sinus pe $[0,2\pi ]$, precizând punctele în care se ating.

Rezolvare. De pe grafic: valoarea maximă este $1$, atinsă în $x=\frac{\pi }{2}$ (punctul $\left(\frac{\pi }{2},1\right)$), iar valoarea minimă este $-1$, atinsă în $x=\frac{3\pi }{2}$ (punctul $\left(\frac{3\pi }{2},-1\right)$).

Justificarea „de ce nu mai mult": $\sin x$ este ordonata unui punct de pe cercul de rază $1$, iar o coordonată a unui punct de pe acest cerc nu poate depăși în modul raza. Deci $|\sin x|\le 1$, cu egalitate exact în punctele de pe axa $Oy$. $■$

Exemplul 3 — Comparație folosind monotonia

Comparați $\sin \frac{\pi }{6}$ cu $\sin \frac{\pi }{3}$, apoi $\cos \frac{2\pi }{3}$ cu $\cos \frac{5\pi }{6}$, fără a folosi valorile numerice.

Rezolvare. Prima pereche: ambele argumente sunt în $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$, interval pe care sinusul este crescător. Cum $\frac{\pi }{6}<\frac{\pi }{3}$, rezultă $\sin \frac{\pi }{6}<\sin \frac{\pi }{3}$.

A doua pereche: ambele argumente sunt în $[0,\pi ]$, interval pe care cosinusul este descrescător. Cum $\frac{2\pi }{3}<\frac{5\pi }{6}$, ordinea se inversează: $\cos \frac{2\pi }{3}>\cos \frac{5\pi }{6}$.

(Control cu valorile: $\frac{1}{2}<\frac{\sqrt{3}}{2}$ ✓ și $-\frac{1}{2}>-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ✓.) $■$

Exemplul 4 — Soluții citite de pe grafic

Câte soluții are ecuația $\sin x=\frac{1}{2}$ pe $[0,2\pi ]$ și care sunt ele?

Rezolvare. Grafic, soluțiile sunt abscisele punctelor în care sinusoida intersectează dreapta orizontală $y=\frac{1}{2}$. Dreapta taie „dealul" din prima jumătate în două puncte, iar „valea" din a doua jumătate nu o atinge deloc (acolo graficul e sub axă). Deci sunt două soluții.

Din tabel le identificăm: $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$ și $\sin \frac{5\pi }{6}=\frac{1}{2}$. Soluțiile sunt $x=\frac{\pi }{6}$ și $x=\frac{5\pi }{6}$ — simetrice față de $\frac{\pi }{2}$, exact cum arată desenul. $■$

Exemplul 5 — Maximul unei funcții construite din sinus

O geamandură plutește pe valuri. Înălțimea ei față de fundul mării, în metri, este $h(x)=2+\sin x$, unde $x\in [0,2\pi ]$. Determinați înălțimea maximă și cea minimă și momentele în care se ating.

Rezolvare. Adunarea constantei $2$ ridică întregul grafic cu două unități, dar nu-i schimbă forma: maximele rămân unde erau, minimele la fel.

Cum $-1\le \sin x\le 1$, adunând $2$ peste tot obținem $1\le 2+\sin x\le 3$. Deci:

• înălțimea maximă este $3$ m, atinsă pentru $x=\frac{\pi }{2}$ (unde $\sin x=1$);
• înălțimea minimă este $1$ m, atinsă pentru $x=\frac{3\pi }{2}$ (unde $\sin x=-1$).

Diferența dintre creastă și adâncitură este $2$ m — dublul „amplitudinii" undei. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră funcția $f:[0,2\pi ]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\cos x$. a) Determinați soluțiile ecuației $f(x)=1$. b) Determinați intervalul pe care $f$ este descrescătoare. c) Arătați că $f(x)+2>0$ pentru orice $x\in [0,2\pi ]$.

Rezolvare. a) Valoarea $1$ este maximul cosinusului și, pe intervalul închis $[0,2\pi ]$, se atinge la ambele capete: $x=0$ și $x=2\pi$. Sunt două soluții — capcana clasică e să se dea doar $x=0$ și să se piardă capătul din dreapta.

b) De pe grafic (sau din tabelul de valori, care scade continuu de la $1$ la $-1$): funcția este descrescătoare pe $[0,\pi ]$.

c) Cum $\cos x\ge -1$ pentru orice $x$, avem $\cos x+2\ge -1+2=1>0$. Inegalitatea e strictă chiar și în cel mai defavorabil caz, $x=\pi$, unde expresia ia valoarea minimă $1$. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Pentru exercițiile de citire, desenează întâi graficul pe intervalul $[0,2\pi ]$, marcând cele cinci puncte-cheie ($0$, $\frac{\pi }{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi }{2}$, $2\pi$) — restul se citește de pe desen.

1. Completează valorile lui $\sin x$ pentru $x\in \left\{0,\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{4},\pi \right\}$.

2. Completează valorile lui $\cos x$ pentru $x\in \left\{\pi ,\frac{5\pi }{4},\frac{3\pi }{2},\frac{7\pi }{4},2\pi \right\}$.

3. Precizează zerourile funcției sinus pe $[0,2\pi ]$ și numărul lor.

4. Precizează zerourile funcției cosinus pe $[0,2\pi ]$ și numărul lor.

5. Care este valoarea maximă a funcției cosinus pe $[0,2\pi ]$ și în câte puncte se atinge? Justifică.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pe intervalul $[0,2\pi ]$, funcția sinus este crescătoare pe $\left[0,\pi \right]$."

7. Precizează intervalele de monotonie ale funcției sinus pe $[0,2\pi ]$.

8. Precizează intervalele de monotonie ale funcției cosinus pe $[0,2\pi ]$.

9. Compară, folosind monotonia, numerele $\cos \frac{\pi }{6}$ și $\cos \frac{\pi }{3}$.

10. Compară, folosind monotonia, numerele $\sin \frac{7\pi }{6}$ și $\sin \frac{4\pi }{3}$.

11. Determină soluțiile ecuației $\cos x=\frac{1}{2}$ pe $[0,2\pi ]$, citind grafic.

12. Determină soluțiile ecuației $\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ pe $[0,2\pi ]$.

13. Determină mulțimea valorilor funcției $g(x)=3\sin x$ pe $[0,2\pi ]$ și punctele de extrem.

14. (Problemă aplicată.) Nivelul apei într-un port, măsurat în metri față de nivelul mediu, este $n(x)=\sin x$, unde $x\in [0,2\pi ]$ parcurge un ciclu complet al mareei. La ce valori ale lui $x$ apa este la nivelul mediu? Când e fluxul maxim și când refluxul maxim?

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră funcția $f:[0,2\pi ]\to \mathbb{R}$, $f(x)=1-\cos x$. a) Calculează $f(0)$, $f\left(\frac{\pi }{2}\right)$ și $f(\pi )$. b) Determină valoarea maximă a lui $f$. c) Arată că $f(x)\ge 0$ pentru orice $x\in [0,2\pi ]$.

16. Explică, folosind decalajul de $\frac{\pi }{2}$ dintre cele două grafice, de ce maximul cosinusoidei apare la $x=0$, în timp ce maximul sinusoidei apare la $x=\frac{\pi }{2}$.

17. (Raționament.) Câte soluții are ecuația $\sin x=m$ pe $[0,2\pi ]$, în funcție de valoarea parametrului real $m$? Discută toate cazurile.

18. (Provocare.) Câte soluții are ecuația $\cos x=m$ pe $[0,2\pi ]$, în funcție de $m$? Compară rezultatul cu cel de la exercițiul anterior și explică de unde vine diferența la $m=1$ și la $m=0$.

Răspunsuri și explicații

1. $\sin 0=0$, $\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin \frac{\pi }{2}=1$, $\sin \frac{3\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin \pi =0$. Valorile urcă de la $0$ la $1$ și coboară simetric — „dealul" sinusoidei.

2. $\cos \pi =-1$, $\cos \frac{5\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos \frac{3\pi }{2}=0$, $\cos \frac{7\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 2\pi =1$. Valorile urcă neîntrerupt de la $-1$ la $1$ — a doua jumătate a cosinusoidei.

3. Zerourile sunt $x=0$, $x=\pi$ și $x=2\pi$ — în total trei. Intervalul fiind închis, atât capătul din stânga cât și cel din dreapta se numără.

4. Zerourile sunt $x=\frac{\pi }{2}$ și $x=\frac{3\pi }{2}$ — în total două. Aici capetele intervalului nu sunt zerouri, pentru că $\cos 0=\cos 2\pi =1$.

5. Valoarea maximă este $1$ și se atinge în două puncte: $x=0$ și $x=2\pi$. Motivul: pe cerc, ambele valori corespund aceluiași punct $(1,0)$, cel cu abscisa cea mai mare posibilă.

6. Fals. Sinusul crește doar pe $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$; pe $\left[\frac{\pi }{2},\pi \right]$ el scade, de la $1$ înapoi la $0$. Contraexemplu concret: $\frac{\pi }{2}<\frac{3\pi }{4}$, dar $\sin \frac{\pi }{2}=1>\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{3\pi }{4}$.

7. Crescătoare pe $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$, descrescătoare pe $\left[\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right]$, crescătoare pe $\left[\frac{3\pi }{2},2\pi \right]$.

8. Descrescătoare pe $[0,\pi ]$, crescătoare pe $[\pi ,2\pi ]$ — două intervale de lungimi egale.

9. Ambele argumente sunt în $[0,\pi ]$, unde cosinusul e descrescător. Din $\frac{\pi }{6}<\frac{\pi }{3}$ rezultă $\cos \frac{\pi }{6}>\cos \frac{\pi }{3}$. (Control: $\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,87>0,5$ ✓.)

10. Ambele argumente sunt în $\left[\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right]$, unde sinusul e descrescător. Din $\frac{7\pi }{6}<\frac{4\pi }{3}$ rezultă $\sin \frac{7\pi }{6}>\sin \frac{4\pi }{3}$. (Control: $-\frac{1}{2}>-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ✓.)

11. Dreapta $y=\frac{1}{2}$ taie cosinusoida în două puncte: unul pe ramura descrescătoare, altul pe cea crescătoare. Din tabel: $x=\frac{\pi }{3}$ și $x=\frac{5\pi }{3}$.

12. Valoarea $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ este negativă, deci soluțiile sunt în „valea" sinusoidei, adică în $(\pi ,2\pi )$. Din tabel: $x=\frac{5\pi }{4}$ și $x=\frac{7\pi }{4}$.

13. Înmulțirea cu $3$ întinde graficul pe verticală de trei ori. Din $-1\le \sin x\le 1$ obținem $-3\le 3\sin x\le 3$, deci mulțimea valorilor este $[-3,3]$. Maximul $3$ se atinge în $x=\frac{\pi }{2}$, minimul $-3$ în $x=\frac{3\pi }{2}$ — punctele de extrem nu se mută, doar valorile se amplifică.

14. Apa e la nivelul mediu când $n(x)=0$, adică în zerourile sinusoidei: $x=0$, $x=\pi$ și $x=2\pi$. Fluxul maxim ($n=1$) este la $x=\frac{\pi }{2}$, iar refluxul maxim ($n=-1$) la $x=\frac{3\pi }{2}$. Ciclul complet: nivel mediu, flux, nivel mediu, reflux, nivel mediu.

15. a) $f(0)=1-\cos 0=1-1=0$; $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=1-0=1$; $f(\pi )=1-(-1)=2$. b) $f$ e maximă când $\cos x$ e minim, adică la $x=\pi$, unde $f(\pi )=2$. Deci valoarea maximă este $2$. c) Din $\cos x\le 1$ rezultă $-\cos x\ge -1$, deci $1-\cos x\ge 0$ pentru orice $x$, cu egalitate exact în $x=0$ și $x=2\pi$.

16. Graficul cosinusului este graficul sinusului mutat cu $\frac{\pi }{2}$ spre stânga. Prin această translație, vârful sinusoidei, aflat la $x=\frac{\pi }{2}$, ajunge la $\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{2}=0$ — exact acolo unde cosinusoida își are maximul. Același decalaj explică și celelalte corespondențe: zeroul de la $\pi$ al sinusului devine zeroul de la $\frac{\pi }{2}$ al cosinusului, iar minimul de la $\frac{3\pi }{2}$ devine minimul de la $\pi$.

17. Se numără intersecțiile sinusoidei cu dreapta orizontală $y=m$. Dacă $m>1$ sau $m<-1$, dreapta trece pe deasupra sau pe dedesubtul graficului: nicio soluție. Dacă $m=1$: dreapta atinge doar vârful, o soluție ($x=\frac{\pi }{2}$). Dacă $m\in (0,1)$: taie „dealul" în două puncte, două soluții. Dacă $m=0$: dreapta e chiar axa $Ox$, iar zerourile sunt $0$, $\pi$, $2\pi$ — trei soluții. Dacă $m\in (-1,0)$: taie „valea" în două puncte, două soluții. Dacă $m=-1$: atinge doar fundul văii, o soluție ($x=\frac{3\pi }{2}$).

18. Pentru cosinus: dacă $|m|>1$, nicio soluție. Dacă $m=1$, dreapta atinge graficul în ambele capete, deci două soluții ($x=0$ și $x=2\pi$). Dacă $m\in (-1,1)$, dreapta taie o dată ramura descrescătoare și o dată pe cea crescătoare: două soluții — inclusiv pentru $m=0$, unde soluțiile sunt $\frac{\pi }{2}$ și $\frac{3\pi }{2}$. Dacă $m=-1$, atinge doar minimul: o soluție ($x=\pi$). Diferențele față de sinus vin din poziția extremelor față de capetele intervalului: cosinusul își atinge maximul chiar în capete (de aici două soluții la $m=1$, față de una la sinus), iar zerourile lui cad în interiorul intervalului, nu în capete (de aici două soluții la $m=0$, față de trei la sinus).

De reținut

• Pe $[0,2\pi ]$, graficul funcției sinus este o sinusoidă: pleacă din $0$, urcă la $1$ (în $\frac{\pi }{2}$), coboară la $-1$ (în $\frac{3\pi }{2}$) și revine la $0$ (în $2\pi$).
• Sinus: zerouri în $0$, $\pi$, $2\pi$ (trei); maxim $1$ în $\frac{\pi }{2}$; minim $-1$ în $\frac{3\pi }{2}$; crescătoare pe $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ și pe $\left[\frac{3\pi }{2},2\pi \right]$, descrescătoare pe $\left[\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right]$.
• Cosinus: zerouri în $\frac{\pi }{2}$ și $\frac{3\pi }{2}$ (două); maxim $1$ în ambele capete, $0$ și $2\pi$; minim $-1$ în $\pi$; descrescătoare pe $[0,\pi ]$, crescătoare pe $[\pi ,2\pi ]$.
• Ambele funcții iau valori exact în intervalul $[-1,1]$, pentru că sunt coordonate ale unui punct de pe cercul de rază $1$.
• Cele două grafice au aceeași formă: cosinusoida este sinusoida translatată cu $\frac{\pi }{2}$ spre stânga. Fiecare eveniment de pe cosinusoidă apare cu un sfert de tură mai devreme.

Greșeli frecvente

• Maximul cosinusului numărat o singură dată. Pe intervalul închis $[0,2\pi ]$, valoarea $1$ se atinge și în $0$, și în $2\pi$. Capătul din dreapta face parte din interval și trebuie inclus în răspuns.
• „Sinusul crește pe $[0,\pi ]$". Crește doar până la $\frac{\pi }{2}$, apoi scade. Confuzia vine din faptul că pe $(0,\pi )$ sinusul e pozitiv — dar „pozitiv" și „crescător" sunt lucruri complet diferite.
• Zerourile confundate între cele două funcții. Sinusul se anulează pe axa $Ox$ (în $0$, $\pi$, $2\pi$), cosinusul pe axa $Oy$ (în $\frac{\pi }{2}$, $\frac{3\pi }{2}$). Verifică mereu cu un punct: $\cos \pi =-1\ne 0$.
• Valori în afara benzii $[-1,1]$. Se scrie „$\sin x=1,2$" sau se caută soluții pentru $\cos x=2$. Nicio coordonată a unui punct de pe cercul de rază $1$ nu poate depăși $1$ în modul; asemenea ecuații nu au soluții.
• Argumentul citit în grade pe axa graficului. Pe axa orizontală a acestor grafice se pun radiani, deci un punct la abscisa $3$ e undeva lângă $\pi$, nu la $3^{\circ }$. Marchează pe axă $\frac{\pi }{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi }{2}$, $2\pi$ înainte de a desena orice.

Aplică acasă

1. Sinusoida cu un pahar și o lanternă. Ia un cilindru de carton (un tub de la hârtia de bucătărie), taie-l oblic cu o foarfecă și desfășoară bucata tăiată pe o coală. Marginea tăiată, întinsă pe plan, este exact o sinusoidă. Compar-o cu graficul desenat de tine pe $[0,2\pi ]$ — vei vedea aceeași undă.

2. Măsurătoarea ta de maree. Notează din oră în oră, timp de o zi, temperatura de afară (o găsești pe telefon). Desenează punctele pe hârtie milimetrică și unește-le. Identifică ora minimului, ora maximului și zonele în care curba crește sau scade. Cât de bine seamănă cu o sinusoidă?

3. Roata și umbra ei. Prinde un nasture de marginea unui capac rotund și rotește capacul încet în fața unei lanterne, ținut vertical. Umbra nasturelui pe perete urcă și coboară exact ca ordonata unui punct de pe cerc. Cronometrează o rotație completă și marchează pe un grafic pozițiile la fiecare sfert de tură — vei obține punctele-cheie ale sinusoidei.

Pentru părinți și profesori

Lecția face trecerea de la reprezentarea pe cerc, unde valorile trigonometrice sunt coordonate, la reprezentarea grafică, unde ele devin o curbă de citit. Programa cere explicit studiul funcțiilor sinus și cosinus pe intervalul $[0,2\pi ]$, iar accentul cade pe evidențierea grafică a proprietăților: intersecțiile cu axele, punctele de extrem, mulțimea valorilor, monotonia și soluțiile ecuațiilor de forma $f(x)=m$. Toate acestea se obțin din desen, nu din calcul — competența vizată e cea de „citire" a unui grafic.

Punctul cel mai des greșit este maximul cosinusului: pe intervalul închis, el se atinge în ambele capete, deci ecuația $\cos x=1$ are două soluții, nu una. Al doilea punct sensibil este confuzia dintre semn și monotonie: sinusul e pozitiv pe tot $(0,\pi )$, dar crescător doar pe prima jumătate a acestui interval. Merită insistat pe un desen mare, făcut o dată cu grijă și păstrat în caiet ca referință.

Întrebări bune de control: „Câte zerouri are sinusul pe $[0,2\pi ]$ și de ce trei, nu două?" (intervalul e închis); „Unde își atinge cosinusul maximul?" (în $0$ și în $2\pi$); „Pe ce interval scade sinusul?" ($\left[\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right]$); „Poate $\sin x$ să fie $1,5$?" (nu, valorile sunt în $[-1,1]$). Semne că a înțeles: desenează graficul înainte de a răspunde, marchează cele cinci puncte-cheie și folosește monotonia pentru comparații, în loc să calculeze valori.

La teze și la Bacalaureat, aceste grafice apar în cerințe de tipul „determinați valoarea maximă a funcției", „rezolvați ecuația pe intervalul dat" sau „precizați intervalele de monotonie", deseori pentru funcții construite din sinus și cosinus prin adunarea unei constante sau înmulțirea cu un număr. Stăpânirea celor două curbe de bază face toate aceste variante imediate.

Întrebări frecvente

Ce este o sinusoidă? Este curba obținută trasând graficul funcției sinus. Pe intervalul $[0,2\pi ]$ arată ca o undă cu un „deal" deasupra axei (pe $(0,\pi )$) și o „vale" dedesubt (pe $(\pi ,2\pi )$), cu valoarea maximă $1$ și cea minimă $-1$.

Câte zerouri are funcția sinus pe intervalul [0, 2π]? Trei: $x=0$, $x=\pi$ și $x=2\pi$. Intervalul fiind închis la ambele capete, se numără și zeroul de la început, și cel de la sfârșit.

Unde își atinge cosinusul valoarea maximă pe [0, 2π]? În două puncte, $x=0$ și $x=2\pi$, unde $\cos x=1$. Ambele corespund aceluiași punct $(1,0)$ de pe cercul trigonometric, cel cu abscisa maximă.

Care este legătura dintre graficul sinusului și cel al cosinusului? Au exact aceeași formă: graficul cosinusului este graficul sinusului translatat cu $\frac{\pi }{2}$ spre stânga. Fiecare maxim, minim sau zerou al cosinusoidei apare cu un sfert de tură mai devreme decât cel corespunzător al sinusoidei.

Ce valori poate lua sinusul sau cosinusul? Numai valori din intervalul $[-1,1]$, și le ia pe toate. Motivul: sunt coordonatele unui punct de pe cercul de rază $1$, iar o coordonată nu poate depăși în modul raza cercului.

Pe ce intervale crește funcția sinus? Pe $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ și pe $\left[\frac{3\pi }{2},2\pi \right]$. Între ele, pe $\left[\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right]$, funcția scade — de la $1$ până la $-1$.

Cum aflu câte soluții are ecuația sin x = m fără să o rezolv? Desenezi sinusoida și dreapta orizontală $y=m$ și numeri punctele de intersecție: zero soluții dacă $|m|>1$, o soluție dacă $m=1$ sau $m=-1$, trei soluții dacă $m=0$ și două soluții în rest.

De ce sunt utile aceste grafice în afara matematicii? Pentru că descriu orice fenomen care oscilează lin și se repetă: mareele, variația zilnică a temperaturii, curentul alternativ, undele sonore, mișcarea circulară uniformă. Din grafic citești direct momentul vârfului, momentul minimului și intervalele de creștere — informațiile cerute în aplicații.