Domeniul maxim de definiție al funcției $$f(x) = \sqrt{x^2 - 5x + 6}$$ este:

$$(-\infty, 2] \cup [3, +\infty)$$

$$(-\infty, 2) \cup (3, +\infty)$$

Graficul funcției $$f(x) = \sqrt{4x^2 + 1}$$ are asimptotele:

$$y = 2x$$ spre $$+\infty$$ și $$y = -2x$$ spre $$-\infty$$

$$y = 2x + 1$$ spre $$+\infty$$

$$y = x$$ spre $$+\infty$$ și $$y = -x$$ spre $$-\infty$$

Când se scrie simbolul nu există în tabel?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Graficul funcțiilor cu radicali

Numai când derivatele laterale există amândouă, dar au valori diferite — adică într-un punct unghiular sau într-unul de întoarcere. La un capăt închis al domeniului, unde derivata iese infinită, se scrie semnul potrivit, plus sau minus infinit, fiindcă limita există în mulțimea numerelor reale încheiată. Confuzia dintre cele două situații costă puncte, chiar dacă desenul iese corect.

Domeniul unei funcții cu radicali se citește din radicand: ordinul par cere radicandul nenegativ, ordinul impar nu impune nicio restricție. La un capăt închis al domeniului în care derivata este infinită se scrie $- \infty$ sau $+ \infty$ în tabel, iar graficul pornește cu o semitangentă verticală; simbolul $∄$ se rezervă situației în care derivatele laterale sunt diferite. Deosebirea dintre tangenta verticală și punctul de întoarcere vine din semnul derivatelor laterale, nu din faptul că sunt infinite: funcția $3 x$ are în origine tangentă verticală (curba trece mai departe), iar $3 x^{2}$ are punct de întoarcere (curba se întoarce). Asimptotele oblice se calculează separat la cele două capete, pentru că $x^{2} = ∣ x ∣$ este $x$ la dreapta și $- x$ la stânga, deci pantele ies opuse și dreptele sunt simetrice față de axa $O y$ . Panta finită și nenulă nu garantează însă asimptota: mai trebuie ca $f (x) - m x$ să aibă limită finită. La desen se marchează cu grijă capetele închise ale domeniului și direcția semitangentelor, iar un domeniu format din două semidrepte cere câte un tabel de variație pe fiecare interval.

De reținut

ordin par: radicand nenegativ; ordin impar: fără restricție
$∄$ se scrie doar când derivatele laterale sunt diferite
$x^{2} = ∣ x ∣$ , deci oblicele de la cele două capete sunt simetrice

Greșeala tipică

Simbolul $∄$ se pune ori de câte ori derivata iese infinită. Într-un capăt închis derivata laterală există în mulțimea încheiată și se scrie cu semnul ei, iar simbolul rămâne pentru situația în care cele două derivate laterale au valori diferite.

Exerciții din această mini-lecție

Domeniul maxim de definiție al funcției $f (x) = x^{2} - 5 x + 6$ este:
- a) $[2, 3]$
- b) $R$
- c) $(- \infty, 2) \cup (3, + \infty)$
- d) $(- \infty, 2] \cup [3, + \infty)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $(- \infty, 2] \cup [3, + \infty)$

Radicalul fiind de ordin par, se cere $x^{2} - 5 x + 6 \geq 0$ , adică $(x - 2) (x - 3) \geq 0$ . Trinomul are semnul coeficientului dominant în afara rădăcinilor, deci soluția este $(- \infty, 2] \cup [3, + \infty)$ , cu capete închise, fiindcă egalitatea este permisă. Varianta a ia exact intervalul pe care trinomul este negativ.
Care dintre funcțiile de mai jos are punct de întoarcere în origine?
- a) $f (x) = 3 x$
- b) $f (x) = x^{3}$
- c) $f (x) = 3 x^{2}$
- d) $f (x) = 3 x^{5}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $f (x) = 3 x^{2}$

La $3 x^{2}$ derivatele laterale în $0$ sunt infinite și de semne contrare ( $- \infty$ la stânga, $+ \infty$ la dreapta), deci curba se întoarce. La $3 x$ ambele derivate laterale sunt $+ \infty$ , deci acolo este o tangentă verticală, iar curba trece mai departe. Funcția $x^{3}$ este derivabilă în $0$ , cu tangentă orizontală, iar $3 x^{5}$ are tot tangentă orizontală, fiindcă derivata ei, $\frac{5}{3} 3 x^{2}$ , tinde la $0$ .
Graficul funcției $f (x) = 4 x^{2} + 1$ are asimptotele:
- a) $y = 2 x$ spre $+ \infty$ și $y = - 2 x$ spre $- \infty$
- b) $y = 2 x$ spre ambele capete
- c) $y = 2 x + 1$ spre $+ \infty$
- d) $y = x$ spre $+ \infty$ și $y = - x$ spre $- \infty$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $y = 2 x$ spre $+ \infty$ și $y = - 2 x$ spre $- \infty$

Scriem $4 x^{2} + 1 = ∣ x ∣ 4 + \frac{1}{x ^{2}}$ . Spre $+ \infty$ panta este $m = 2$ , iar $n = lim (4 x^{2} + 1 - 2 x) = lim \frac{1}{4 x ^{2} + 1 + 2 x} = 0$ . Spre $- \infty$ modulul devine $- x$ , deci $m = - 2$ și, analog, $n = 0$ . Cele două drepte sunt simetrice față de axa $O y$ .

Întrebări conexe

Ce domeniu are un radical de ordin impar?

Toată dreapta reală, fiindcă rădăcina de ordin impar se extrage și din numere negative. Restricțiile apar doar la ordinul par, unde radicandul nu are voie să fie negativ. De aceea $3 x$ este definită peste tot, iar $x$ numai de la zero în sus.

De ce ies pante opuse la cele două capete?

Din scoaterea lui $x$ de sub radical: $x^{2} + 1$ se scrie ca modulul lui $x$ înmulțit cu un factor care tinde la $1$ . La dreapta modulul este $x$ , la stânga este $- x$ , așa că raportul dintre funcție și $x$ dă valori opuse. Dreptele obținute sunt simetrice față de axa ordonatelor.

Ce se marchează la desen la un capăt închis al domeniului?

Punctul de capăt, cu bulină plină, și direcția semitangentei. Dacă derivata laterală iese infinită, curba pornește vertical din acel punct; dacă iese finită, pornește oblic, cu panta citită din tabel. Fără marcaj, începutul curbei rămâne nelămurit.

Câte tabele de variație cere un domeniu format din două semidrepte?

Câte unul pentru fiecare bucată. Proprietățile de monotonie și de convexitate nu se pot enunța peste golul dintre ele, iar graficul are două ramuri despărțite. Se scriu deci două tabele, fiecare cu capetele lui, iar concluziile se dau pe rând.

Ce derivată are $3 x$ în origine?

Nu are derivată finită acolo: limita raportului incremental iese plus infinit din amândouă părțile. Graficul are în origine tangentă verticală și trece mai departe, fără să se întoarcă. La $3 x^{2}$ , în schimb, derivatele laterale au semne contrare, iar curba face un punct de întoarcere.

Ce arată semnul derivatelor laterale infinite?

Dacă punctul este de întoarcere sau doar cu tangentă verticală. Semne contrare înseamnă că funcția urcă de o parte și coboară de cealaltă, deci curba se întoarce; același semn înseamnă că ea trece mai departe, doar cu tangenta ridicată la verticală.

Oamenii mai întreabă și: graficul funcțiilor cu radicali · semitangentă verticală · punct de întoarcere · domeniul unei funcții cu radical · asimptota oblică la radical