Funcția $$f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$$, $$f(x) = x^{3}\ln x$$, are în origine limita:

$$0$$, deci graficul nu are asimptotă verticală

$$-\infty$$, deci $$x = 0$$ este asimptotă verticală

Ce limită are x²ln x în origine?

Iese 0. Produsul are forma zero ori infinit, așa că se rescrie ca raport, (ln x)/x⁻², se recunoaște cazul ∞/∞ și se derivează. Prin urmare graficul nu se lipește de axa ordonatelor, deși logaritmul apare în expresie.

Ce crește mai repede, exponențiala sau puterea?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Graficul funcțiilor exponențiale și logaritmice

Exponențiala, oricât de mare ar fi exponentul puterii. La $+ \infty$ lucrează o ierarhie fixă, în care exponențiala trece înaintea oricărei puteri, iar puterea trece înaintea logaritmului. Din ea ies aproape toate limitele de la marginile domeniului: raportul dintre o putere și $e^{x}$ tinde la zero, iar raportul dintre logaritm și o putere face la fel. Nedeterminările de tip produs se rescriu ca rapoarte înainte de derivare.

La $+ \infty$ funcționează o ierarhie de creștere: exponențiala învinge orice putere, iar orice putere învinge logaritmul. Din ea se obțin aproape toate limitele de la capete ale acestor funcții, iar nedeterminările $0 \cdot \infty$ se rescriu ca rapoarte, se numește explicit cazul $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty}{\infty}$ și abia apoi se aplică regulile lui L'Hôpital. Două capcane sunt clasice. Prima: prezența logaritmului dă doar un candidat la asimptotă verticală, nu și asimptota — se calculează limita laterală în capătul finit deschis, iar dacă ea este finită, graficul nu se lipește de axa $O y$ . A doua: asimptota oblică cere două limite finite, în ordinea $m$ , apoi $n$ ; o pantă finită fără $n$ finit nu produce nicio dreaptă. La derivare, $(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}$ , deci semnul din exponent nu se pierde: $(e^{- x})^{'} = - e^{- x}$ ; un minus uitat inversează toată monotonia. În sfârșit, exponențiala este strict pozitivă pe tot domeniul, deci un produs care o conține ca factor se anulează numai acolo unde se anulează celălalt factor — ecuația $e^{x} = 0$ nu are soluții.

De reținut

la $+ \infty$ : exponențiala învinge puterea, iar puterea învinge logaritmul
$(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}$
logaritmul dă doar un candidat la asimptotă verticală, iar limita decide

Greșeala tipică

Se scrie asimptotă verticală doar fiindcă în expresie apare un logaritm. Corect este să calculezi limita laterală acolo unde domeniul se deschide, iar dacă ea iese finită, ca la $x^{2} ln x$ , graficul nu se lipește de nicio dreaptă.

Exerciții din această mini-lecție

Valoarea limitei $x \to + \infty lim \frac{ln x}{x}$ este:
- a) $+ \infty$
- b) $0$
- c) $1$
- d) limita nu există
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $0$

Este cazul $\frac{\infty}{\infty}$ , iar ierarhia de creștere spune că orice putere a lui $x$ , inclusiv $x = x^{1/2}$ , învinge logaritmul. Cu regulile lui L'Hôpital: $lim \frac{1/ x}{1/ ( 2 x )} = lim \frac{2}{x} = 0$ . Verificarea nedeterminării se scrie înainte de derivare; în afara cazurilor $\frac{0}{0}$ și $\frac{\infty}{\infty}$ regula dă rezultate false.
Funcția $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = x^{3} ln x$ , are în origine limita:
- a) $0$ , deci graficul nu are asimptotă verticală
- b) $- \infty$ , deci $x = 0$ este asimptotă verticală
- c) $+ \infty$
- d) limita nu există
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $0$ , deci graficul nu are asimptotă verticală

Este nedeterminarea $0 \cdot \infty$ ; o rescriem ca $\frac{ln x}{x ^{- 3}}$ , caz $\frac{\infty}{\infty}$ , și aplicăm L'Hôpital: $\frac{1/ x}{- 3 x ^{- 4}} = - \frac{x ^{3}}{3} \to 0$ . Prin urmare $0$ este doar un candidat la asimptotă verticală, nu și o asimptotă: graficul nu se lipește de axa $O y$ , ci coboară spre punctul $(0, 0)$ .
Derivata funcției $f (x) = (2 x + 1) e^{- 3 x}$ este:
- a) $(6 x + 5) e^{- 3 x}$
- b) $2 e^{- 3 x}$
- c) $(2 x + 1) e^{- 3 x}$
- d) $- (6 x + 1) e^{- 3 x}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $- (6 x + 1) e^{- 3 x}$

Aplicăm regula produsului și $(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}$ : $f^{'} (x) = 2 e^{- 3 x} + (2 x + 1) (- 3) e^{- 3 x} = e^{- 3 x} (2 - 6 x - 3) = - (6 x + 1) e^{- 3 x}$ . Varianta a apare exact când se uită semnul minus din exponent la derivare, iar varianta b uită al doilea termen al produsului. Un minus pierdut aici inversează toată monotonia din tabel.

Întrebări conexe

Ce se scrie explicit înainte de a aplica regula lui L'Hôpital?

Cazul de nedeterminare, adică $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty}{\infty}$ . Regula lucrează numai în aceste două situații; aplicată în afara lor, dă rezultate false. Menționarea costă un rând și este cerută în barem înaintea oricărei derivări.

Ce derivată are exponențiala cu exponent negativ, $e^{- x}$ ?

Iese $- e^{- x}$ , fiindcă exponențiala compusă se derivează înmulțind cu derivata exponentului. Semnul minus nu se pierde niciodată, iar uitarea lui răstoarnă monotonia întregii funcții și strică tabelul de variație de la primul rând.

Ce limită are $x^{2} ln x$ în origine?

Iese $0$ . Produsul are forma zero ori infinit, așa că se rescrie ca raport, $\frac{ln x}{x ^{- 2}}$ , se recunoaște cazul $\frac{\infty}{\infty}$ și se derivează. Prin urmare graficul nu se lipește de axa ordonatelor, deși logaritmul apare în expresie.

De ce nu are soluții ecuația $e^{x} = 0$ ?

Fiindcă exponențiala ia numai valori strict pozitive, oricât de mic ar fi argumentul. Ea se apropie de zero când $x$ scade nemărginit, dar nu ajunge acolo niciodată. De aceea axa absciselor îi este asimptotă orizontală spre $- \infty$ .

Cum se rescrie o nedeterminare de tip zero ori infinit?

Ca raport, mutând unul dintre factori la numitor cu exponentul schimbat de semn. Din produsul a două funcții se obține fie una împărțită la inversul celeilalte, fie invers, iar alegerea se face astfel încât derivarea să simplifice, nu să complice expresia.

Când se anulează un produs care conține o exponențială?

Numai acolo unde se anulează celălalt factor. Exponențiala fiind strict pozitivă peste tot, ea nu poate aduce niciun zero, așa că rădăcinile lui $P (x) e^{x}$ sunt exact rădăcinile polinomului. Observația scurtează mult studiul semnului.

Oamenii mai întreabă și: ierarhia de creștere · limite cu exponențiale și logaritmi · derivata lui e la minus x · grafic cu logaritm · regula lui L'Hopital la liceu