Graficul funcției polinomiale $$f(x) = -2x^4 + 3x$$ are, la cele două capete:

ambele ramuri coborâtoare spre $$-\infty$$

ambele ramuri urcătoare spre $$+\infty$$

o ramură urcătoare și una coborâtoare

Rădăcina $$x = 3$$ a funcției $$f(x) = (x-3)^2(x+2)$$ se vede pe grafic astfel:

graficul atinge axa $$Ox$$ în $$3$$ și se întoarce

graficul traversează axa $$Ox$$ în $$3$$

graficul traversează axa $$Ox$$ în $$3$$, cu tangentă orizontală

graficul nu atinge axa $$Ox$$ în $$3$$

Câte inflexiuni are un polinom de gradul n?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Graficul funcțiilor polinomiale

Cel mult $n - 2$ , așa cum are cel mult $n - 1$ puncte de extrem. Plafoanele vin din grade: a doua derivată are gradul $n - 2$ , deci nu poate avea mai multe zerouri, iar prima are gradul $n - 1$ . Ele sunt un control util pe desenul terminat, fiindcă un grafic de gradul al treilea cu două inflexiuni este sigur greșit. Nu orice zero al derivatei a doua dă însă inflexiune: semnul trebuie să se schimbe.

Graficul unei funcții polinomiale de grad cel puțin $2$ nu are nicio asimptotă: domeniul este $R$ , funcția este continuă peste tot, iar limitele la capete sunt infinite; propoziția aceasta se scrie explicit, ca parte a pasului al nouălea, în loc să se piardă timp cu calcule. Termenul dominant decide singur cele două ramuri: gradul par le trimite în aceeași direcție, gradul impar în direcții opuse, iar semnul coeficientului dominant spune care. O funcție polinomială de gradul $n$ are cel mult $n - 1$ puncte de extrem și cel mult $n - 2$ puncte de inflexiune — plafoane care se verifică pe desenul terminat. Ordinul unei rădăcini se citește pe grafic: rădăcina simplă traversează axa, cea dublă o atinge și se întoarce, cea triplă o traversează cu tangentă orizontală. Paritatea înjumătățește lucrul. Două capcane rămân de evitat: $f^{'} (x_{0}) = 0$ nu înseamnă punct de extrem, iar $f^{''} (x_{0}) = 0$ nu înseamnă punct de inflexiune — marcajul $I$ se pune numai acolo unde $f$ este derivabilă și convexitatea își schimbă semnul. Funcția fiind derivabilă peste tot, în orice punct de extrem curba se rotunjește; colțurile apar la funcțiile cu modul.

De reținut

grad $n$ : cel mult $n - 1$ extreme și cel mult $n - 2$ inflexiuni
un polinom de grad cel puțin $2$ nu are asimptote
pe grafic: rădăcina simplă taie axa, cea dublă o atinge, cea triplă o trece cu tangentă orizontală

Greșeala tipică

Se caută asimptote la o funcție polinomială. Domeniul este toată dreapta, funcția e continuă peste tot, iar limitele la capete ies infinite, deci concluzia se scrie direct, fără niciun calcul.

Exerciții din această mini-lecție

Graficul funcției polinomiale $f (x) = - 2 x^{4} + 3 x$ are, la cele două capete:
- a) ambele ramuri urcătoare spre $+ \infty$
- b) o ramură urcătoare și una coborâtoare
- c) ambele ramuri coborâtoare spre $- \infty$
- d) asimptotă orizontală
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) ambele ramuri coborâtoare spre $- \infty$

Comportarea la capete o decide singur termenul dominant $- 2 x^{4}$ . Gradul fiind par, cele două ramuri merg în aceeași direcție, iar coeficientul dominant fiind negativ, direcția este $- \infty$ . Varianta d este exclusă: o funcție polinomială de grad cel puțin $2$ nu are nicio asimptotă.
Rădăcina $x = 3$ a funcției $f (x) = (x - 3)^{2} (x + 2)$ se vede pe grafic astfel:
- a) graficul traversează axa $O x$ în $3$
- b) graficul atinge axa $O x$ în $3$ și se întoarce
- c) graficul traversează axa $O x$ în $3$ , cu tangentă orizontală
- d) graficul nu atinge axa $O x$ în $3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) graficul atinge axa $O x$ în $3$ și se întoarce

Rădăcina are ordinul $2$ , deci factorul $(x - 3)^{2}$ nu își schimbă semnul: în vecinătatea lui $3$ semnul lui $f$ este dat de $x + 2 > 0$ , deci graficul rămâne deasupra axei de ambele părți. O rădăcină simplă ar traversa axa, iar una triplă ar traversa-o cu tangentă orizontală.
Câte puncte de extrem poate avea, cel mult, graficul unei funcții polinomiale de gradul al cincilea?
- a) $5$
- b) $3$
- c) $2$
- d) $4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $4$

Punctele de extrem se caută printre zerourile lui $f^{'}$ , iar derivata unui polinom de gradul $5$ are gradul $4$ , deci cel mult patru rădăcini reale. Plafonul general este $n - 1$ pentru extreme și $n - 2$ pentru inflexiuni; el se folosește ca test rapid pe desenul terminat.

Întrebări conexe

Ce decide direcția ramurilor unei funcții polinomiale?

Termenul de grad maxim, singur. Un grad par trimite amândouă ramurile în aceeași direcție, iar unul impar în direcții opuse; semnul coeficientului spune apoi în sus sau în jos. Ceilalți termeni schimbă forma curbei prin mijloc, dar nu au niciun cuvânt la capete.

De ce nu se desenează vârfuri ascuțite la o funcție polinomială?

Fiindcă un polinom este derivabil în orice punct, deci graficul are peste tot tangentă. Într-un extrem tangenta iese orizontală, iar curba se rotunjește. Colțurile apar numai la funcțiile cu modul sau la cele scrise pe ramuri, unde derivatele laterale diferă.

Ce înseamnă că derivata se anulează fără punct de extrem?

Că tangenta este orizontală, dar funcția merge în aceeași direcție și înainte, și după. Se întâmplă la $f (x) = x^{3}$ în origine: derivata se anulează, iar funcția rămâne crescătoare. Punctul acela este de inflexiune cu tangentă orizontală, nu de extrem.

Cum arată graficul într-o rădăcină triplă?

Curba trece dincolo de axă, dar se lipește o clipă de ea, cu tangentă orizontală, apoi își continuă drumul. Se deosebește astfel de rădăcina simplă, unde traversarea e franc oblică, și de cea dublă, unde curba atinge axa și se întoarce înapoi.

Unde se pune marcajul de inflexiune pe un grafic?

Numai acolo unde funcția este derivabilă și convexitatea își schimbă semnul. Anularea derivatei a doua rămâne un simplu candidat: la $x^{4}$ în origine ea se anulează, dar curba este convexă de amândouă părțile, deci nu apare niciun punct de inflexiune.

Ce limite are o funcție polinomială la capetele domeniului?

Infinite amândouă, fiindcă domeniul este toată dreapta reală, iar termenul dominant crește peste orice margine. De aici urmează direct că un polinom de grad cel puțin doi nu are nicio asimptotă, propoziție care se scrie explicit sub desen.

Oamenii mai întreabă și: graficul unei funcții polinomiale · câte puncte de extrem are un polinom · rădăcină dublă pe grafic · de ce nu au polinoamele asimptote · grafic de gradul al treilea