Pentru $$f(x) = \dfrac{x + 4}{x - 3}$$, concluzia corectă de monotonie este:

strict descrescătoare pe $$(-\infty, 3)$$ și pe $$(3, +\infty)$$

strict descrescătoare pe $$\mathbb{R} \setminus \{3\}$$

strict crescătoare pe fiecare interval al domeniului

Graficul funcției $$f(x) = \dfrac{x^3 - 2}{x + 3}$$ are, spre $$+\infty$$:

asimptota orizontală $$y = 1$$

Pe ce intervale se scrie monotonia unei funcții?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Graficul funcțiilor raționale

Pe fiecare interval al domeniului luat separat, niciodată pe reuniunea lor. La o funcție al cărei numitor se anulează în $1$ , formularea corectă spune descrescătoare pe $(- \infty, 1)$ și descrescătoare pe $(1, + \infty)$ , legate prin cuvântul și. Scrierea pe $R$ fără punctul $1$ este greșită, fiindcă graficul sare, peste punctul lipsă, de la o margine infinită la cealaltă.

Domeniul unei funcții raționale se obține scoțând zerourile numitorului și se scrie ca reuniune de intervale; numărul acestor intervale este numărul ramurilor graficului. Un zero al numitorului este doar un candidat la asimptotă verticală: dreapta $x = a$ este asimptotă numai dacă cel puțin una dintre limitele laterale în $a$ este infinită, iar rădăcinile comune cu numărătorul dau găuri, nu asimptote. Comportarea la infinit o decide compararea gradelor: numărător de grad mai mic dă orizontala $y = 0$ ; grade egale dau orizontala raportului coeficienților dominanți; o diferență de $1$ dă o oblică; o diferență de cel puțin $2$ nu dă nicio asimptotă. Împărțirea cu rest scoate asimptota oblică și, în plus, arată prin semnul restului de care parte a dreptei se află graficul pe fiecare interval. Monotonia se formulează întotdeauna pe câte un interval al domeniului, niciodată pe reuniunea lor: între ramuri graficul sare de la $- \infty$ la $+ \infty$ , deci „descrescătoare pe $(- \infty, 1)$ și pe $(1, + \infty)$ ” este corect, iar „descrescătoare pe $R ∖ {1}$ ” nu. La desen, curba nu atinge niciodată asimptota verticală, dar poate tăia liniștit una orizontală sau oblică.

De reținut

domeniul: dreapta reală fără zerourile numitorului, scris ca reuniune de intervale
monotonia se enunță pe fiecare interval, legate cu și, nu prin reuniune
grade egale dau orizontală, diferență de $1$ dă oblică, diferență de $2$ nu dă nimic

Greșeala tipică

Fiecare zero al numitorului este declarat asimptotă verticală. Când numărătorul are aceeași rădăcină, fracția se simplifică, iar acolo rămâne doar o gaură în curbă.

Exerciții din această mini-lecție

Pentru $f (x) = \frac{x + 4}{x - 3}$ , concluzia corectă de monotonie este:
- a) strict descrescătoare pe $(- \infty, 3)$ și pe $(3, + \infty)$
- b) strict descrescătoare pe $R ∖ {3}$
- c) strict crescătoare pe fiecare interval al domeniului
- d) constantă
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) strict descrescătoare pe $(- \infty, 3)$ și pe $(3, + \infty)$

Derivata este $f^{'} (x) = \frac{( x - 3 ) - ( x + 4 )}{( x - 3 ) ^{2}} = \frac{- 7}{( x - 3 ) ^{2}} < 0$ pe tot domeniul, deci funcția scade pe fiecare interval. Concluzia se dă însă pe interval, cu „și”, nu pe reuniune: între cele două ramuri graficul sare, iar $f (2) = - 6$ este mai mic decât $f (4) = 8$ , ceea ce ar contrazice o descreștere globală.
Graficul funcției $f (x) = \frac{x ^{3} - 2}{x + 3}$ are, spre $+ \infty$ :
- a) asimptotă oblică
- b) asimptota orizontală $y = 1$
- c) asimptota $y = x^{2}$
- d) nicio asimptotă
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) nicio asimptotă

Diferența de grade este $3 - 1 = 2$ , deci limita funcției este infinită (nicio orizontală), iar panta $m = lim \frac{f ( x )}{x}$ este tot infinită (nicio oblică). Regula gradelor spune limpede: o diferență de cel puțin $2$ nu produce nicio asimptotă la infinit. Varianta c nu este ecuația unei drepte.
Funcția $f (x) = x + 2 + \frac{3}{x - 1}$ are asimptota oblică $y = x + 2$ . Graficul se află deasupra ei:
- a) pe $(- \infty, 1)$
- b) pe $(1, + \infty)$
- c) pe tot domeniul
- d) nicăieri
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) pe $(1, + \infty)$

Poziția se citește din semnul restului: $f (x) - (x + 2) = \frac{3}{x - 1}$ . Pe $(1, + \infty)$ diferența este pozitivă, deci graficul stă deasupra dreptei; pe $(- \infty, 1)$ este negativă, deci graficul stă dedesubt. Aceasta este informația suplimentară pe care o dă împărțirea cu rest, dincolo de ecuația asimptotei.

Întrebări conexe

Poate o funcție rațională să nu aibă nicio asimptotă verticală?

Da, atunci când numitorul nu se anulează pentru niciun număr real, de pildă la $x^{2} + 1$ . Domeniul rămâne întreaga dreaptă, graficul are o singură ramură, iar la capete se caută doar asimptota orizontală sau cea oblică.

Ce arată semnul restului la împărțirea cu rest?

De care parte a asimptotei oblice se află graficul pe fiecare interval. Diferența dintre funcție și dreaptă este chiar restul împărțit la numitor, deci semnul acelui raport decide dacă ramura vine pe deasupra sau pe dedesubt.

Câte ramuri are graficul unei funcții raționale?

Atâtea câte intervale are domeniul. Un numitor cu două zerouri taie dreapta reală în trei bucăți, deci desenul are trei ramuri care nu se ating. Numărul acesta este primul control după terminarea desenului.

Ce se întâmplă când numărătorul și numitorul au aceeași rădăcină?

Factorul comun se simplifică, iar în acel punct rămâne o gaură. Funcția nu este definită acolo, dar limita există și este finită, așa că graficul se apropie de un punct pe care nu îl atinge. Nu apare nicio asimptotă verticală.

De ce nu se declară inflexiune într-un punct exclus?

Fiindcă inflexiunea cere ca funcția să fie definită și derivabilă în punctul acela. Convexitatea se poate schimba de o parte și de alta a unei asimptote verticale, dar punctul de trecere nu aparține domeniului, deci nu primește niciun marcaj.

Cum se scrie domeniul unei funcții raționale?

Ca reuniune de intervale deschise, obținute scoțând din dreapta reală zerourile numitorului. Pentru un numitor care se anulează în $2$ , domeniul este $(- \infty, 2) \cup (2, + \infty)$ . Scrierea aceasta pregătește pasul următor, fiindcă arată câți candidați la asimptotă verticală există.

Oamenii mai întreabă și: graficul unei funcții raționale · monotonia pe intervale · asimptote la funcții raționale · domeniul unei funcții raționale · împărțirea cu rest și asimptota oblică