Ce perioadă are sinus la pătrat?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Grafice trigonometrice, cu modul și pe ramuri

Are perioada $π$ , nu $2 π$ . Ridicarea la pătrat înjumătățește perioada, fiindcă valorile opuse ale sinusului dau același pătrat: din $sin (x + π) = - sin x$ , la pătrat semnul dispare. Același lucru se întâmplă la $∣ sin x ∣$ . Ca să dovedești că $π$ este chiar perioada principală, mai arăți că niciun număr mai mic nu are aceeași proprietate.

Trei familii de funcții se studiază cu aceeași schemă în nouă pași, fiecare cu o precizare proprie. Perioada principală a unei funcții periodice este cel mai mic număr $T > 0$ pentru care $f (x + T) = f (x)$ ; existența ei reduce tot studiul la un singur interval de lungime $T$ , restul graficului obținându-se prin translații succesive. Perioadele de bază: $\frac{2 π}{∣ a ∣}$ pentru $sin (a x)$ și $cos (a x)$ , $\frac{π}{∣ a ∣}$ pentru $tg (a x)$ ; ridicarea la pătrat și modulul pot înjumătăți perioada, cum se vede la $sin^{2} x$ și la $∣ sin x ∣$ , care au perioada $π$ , nu $2 π$ .

La funcțiile cu modul se rezolvă întâi ecuația care anulează expresia de sub modul și funcția se rescrie pe ramuri. Controlul desenului este regula oglindirii: graficul lui $∣ u ∣$ se obține răsturnând deasupra axei $O x$ porțiunile din graficul lui $u$ aflate sub ea, iar colțurile apar exact în rădăcinile simple ale lui $u$ ; într-o rădăcină dublă nu apare colț.

Într-un punct de racord ordinea verificărilor nu se schimbă niciodată: întâi continuitatea, apoi derivabilitatea, pentru că a doua o presupune pe prima. Rezultatele posibile sunt trei: racord neted, punct unghiular și punct de întoarcere. În tabelul de variație, simbolul $∄$ marchează punctul în care derivatele laterale există dar diferă, atât pe rândul lui $f^{'} (x)$ , cât și pe rândul lui $f^{''} (x)$ , iar marcajul $I$ se pune numai acolo unde funcția este derivabilă și convexitatea se schimbă.

De reținut

$sin^{2} x$ și $∣ sin x ∣$ au perioada $π$
$sin (a x)$ are perioada $\frac{2 π}{∣ a ∣}$ , iar $tg (a x)$ are $\frac{π}{∣ a ∣}$
în punctul de racord: întâi continuitatea, apoi derivabilitatea

Greșeala tipică

Se scrie $f^{'} (x_{0}) = 0$ într-un punct unghiular, doar pentru că acolo se schimbă monotonia. Derivata nu există în acel punct, așa că pe rândul ei se pune simbolul potrivit, iar natura punctului se explică în text.

Exerciții din această mini-lecție

Perioada principală a funcției $f : D \to R$ , $f (x) = tg (2 x)$ , este:
- a) $\frac{π}{2}$
- b) $π$
- c) $2 π$
- d) $\frac{π}{4}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{π}{2}$

Funcția $tg (a x)$ are perioada principală $\frac{π}{∣ a ∣}$ , deci aici $T = \frac{π}{2}$ . Varianta $π$ vine din uitarea coeficientului $a = 2$ , varianta $2 π$ din folosirea formulei pentru sinus și cosinus, iar $\frac{π}{4}$ dintr-o înjumătățire nejustificată: $tg (2 x + \frac{π}{2}) \neq = tg (2 x)$ .
Câte colțuri are graficul funcției $f : R \to R$ , $f (x) = ∣ x^{3} - 4 x ∣$ ?
- a) două
- b) trei
- c) niciunul
- d) unul
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) trei

Descompunem $x^{3} - 4 x = x (x - 2) (x + 2)$ : expresia de sub modul are trei rădăcini simple, $- 2$ , $0$ și $2$ . Prin regula oglindirii, colțurile apar exact în rădăcinile simple, deci graficul are trei colțuri. Răspunsul „niciunul” apare când se crede că modulul netezește graficul, iar „două” când se uită rădăcina $x = 0$ .
Se consideră $f : R \to R$ , $f (x) = {x^{2} + 3, a x + b, x \leq 1 x > 1$ , cu $a, b$ numere reale. Funcția este derivabilă pe $R$ pentru:
- a) $a = 1$ , $b = 3$
- b) $a = 4$ , $b = 0$
- c) $a = 2$ , $b = 2$
- d) $a = 2$ , $b = 4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $a = 2$ , $b = 2$

Întâi continuitatea în $1$ : $1^{2} + 3 = a + b$ , deci $a + b = 4$ . Apoi derivabilitatea: $f_{s}^{'} (1) = 2 \cdot 1 = 2$ și $f_{d}^{'} (1) = a$ , deci $a = 2$ și $b = 2$ . Perechea $a = 2$ , $b = 4$ folosește derivata corect, dar sare peste continuitate, iar $a = 4$ , $b = 0$ inversează cele două condiții.

Întrebări conexe

Unde apar colțurile pe graficul unei funcții cu modul?

În rădăcinile simple ale expresiei de sub modul, adică acolo unde ea își schimbă semnul. Porțiunea de sub axă se răstoarnă deasupra, iar cele două arce se întâlnesc sub un unghi. Într-o rădăcină dublă expresia atinge axa fără să treacă dincolo, deci nu apare colț.

Ce se verifică prima dată într-un punct de racord?

Continuitatea. Se compară cele două limite laterale cu valoarea funcției; dacă ele nu coincid, funcția nu este continuă, deci nici derivabilă nu are cum să fie, iar derivatele laterale nu mai trebuie calculate. Ordinea aceasta nu se schimbă niciodată.

Ce rezultate sunt posibile într-un punct de racord?

Trei. Racord neted, când derivatele laterale coincid și curba trece lin. Punct unghiular, când ele sunt finite și diferite, iar curba face un colț. Punct de întoarcere, când sunt infinite și de semne contrare, iar curba se întoarce pe unde a venit.

Ce ecuație se rezolvă prima dată la o funcție cu modul?

Cea care anulează expresia de sub modul. Rădăcinile ei taie domeniul în intervale, iar pe fiecare dintre ele modulul se înlocuiește cu expresia sau cu opusa ei, după semn. Abia după rescrierea pe ramuri se poate deriva.

Ce interval ajunge pentru studiul unei funcții periodice?

Unul de lungimea perioadei principale, oriunde ar fi așezat. Restul graficului se obține mutându-l la dreapta și la stânga cu multipli ai perioadei. Alegerea se face astfel încât punctele de interes să cadă înăuntru, nu chiar la margine.

De ce nu apare colț într-o rădăcină dublă a expresiei de sub modul?

Fiindcă expresia atinge axa fără să-i treacă de partea cealaltă, deci nu se răstoarnă nimic la oglindire. Curba are acolo tangentă orizontală și de o parte, și de alta, așa că trecerea rămâne lină.

Oamenii mai întreabă și: perioada principală a unei funcții · grafic cu modul · punct unghiular · funcții pe ramuri · perioada lui sinus la pătrat