Care dintre structurile de mai jos nu este grup?

$$(\mathcal{M}_2(\mathbb{R}), +)$$

Cei patru pași ai verificării structurii de grup sunt, în ordine:

parte stabilă, asociativitate, element neutru în mulțime, simetric în mulțime

asociativitate, element neutru, simetric, parte stabilă

comutativitate, asociativitate, element neutru, simetric

element neutru, simetric, asociativitate, parte stabilă

Pe $$G = (14, +\infty)$$ se consideră legea $$x \ast y = xy - 14x - 14y + 210$$. Elementul neutru și simetricul unui element $$x$$ sunt:

$$e = 15$$ și $$x' = 14 + \dfrac{1}{x - 14}$$

$$e = 14$$ și $$x' = 14 + \dfrac{1}{x - 14}$$

Ce este un grup în algebră?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Grupul: definiție și exemple

O structură alcătuită dintr-o mulțime nevidă și dintr-o lege de compoziție definită pe ea, care îndeplinește trei cerințe: asociativitatea, existența elementului neutru și existența simetricului pentru fiecare element. Când, pe deasupra, ordinea nu contează, structura primește numele de grup abelian. Verificarea se face în patru pași, primul fiind stabilitatea. Așa se vede că $(Z, +)$ este grup, în timp ce $(Z, \cdot)$ nu este.

Perechea $(G, *)$ , formată dintr-o mulțime nevidă și o lege de compoziție pe ea, se numește grup dacă legea satisface trei axiome: G1 asociativitatea, G2 existența elementului neutru $e \in G$ , G3 existența simetricului $x^{'} \in G$ pentru orice $x \in G$ . Dacă legea este și comutativă, grupul se numește grup comutativ (abelian).

Verificarea se face în patru pași, mereu în această ordine: (0) legea nu scoate rezultatul din $G$ — adică $G$ este parte stabilă; (1) asociativitate; (2) element neutru în $G$ ; (3) simetric în $G$ pentru fiecare element.

Structura ține de pereche, nu de mulțime: $(Z, +)$ este grup, $(Z, \cdot)$ nu (simetrizabile sunt doar $- 1$ și $1$ ); $(Q, \cdot)$ nu este grup, fiindcă $0$ nu are invers, dar $(Q^{*}, \cdot)$ este. Tot grupuri comutative sunt $(R, +)$ , $(C^{*}, \cdot)$ și $(M_{2} (R), +)$ .

Din axiome rezultă că elementul neutru este unic și că fiecare element are exact un simetric; a doua demonstrație folosește esențial asociativitatea, prin lanțul $x^{'} = x^{'} * (x * x^{''}) = (x^{'} * x) * x^{''} = x^{''}$ .

Pentru o lege dată prin formulă, forma factorizată $x * y = (x - a) (y - a) + a$ dă direct partea stabilă $(a, + \infty)$ , neutrul $e = a + 1$ și simetricul $x^{'} = a + \frac{1}{x - a}$ . Numărul de elemente al unui grup finit se scrie $card G$ .

De reținut

grup: asociativitate, element neutru, simetric pentru fiecare element
verificarea începe cu stabilitatea mulțimii
$(Z, +)$ este grup, iar $(Z, \cdot)$ nu

Greșeala tipică

Se verifică axiomele fără să se arate întâi că legea nu scoate rezultatul din mulțime. Stabilitatea este pasul zero; fără ea, celelalte trei verificări nu au obiect.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre structurile de mai jos nu este grup?
- a) $(Q, \cdot)$
- b) $(Q^{*}, \cdot)$
- c) $(Z, +)$
- d) $(M_{2} (R), +)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(Q, \cdot)$

În $(Q, \cdot)$ cade axioma G3: numărul $0$ nu are invers, fiindcă $0 \cdot x^{'} = 0 \neq = 1$ oricare ar fi $x^{'}$ . Reparația este scoaterea elementului vinovat, iar $(Q^{*}, \cdot)$ este grup comutativ. Celelalte două sunt grupuri comutative: $(Z, +)$ cu $e = 0$ și $- x$ , respectiv $(M_{2} (R), +)$ cu $O_{2}$ și $- A$ .
Cei patru pași ai verificării structurii de grup sunt, în ordine:
- a) asociativitate, element neutru, simetric, parte stabilă
- b) parte stabilă, asociativitate, element neutru în mulțime, simetric în mulțime
- c) comutativitate, asociativitate, element neutru, simetric
- d) element neutru, simetric, asociativitate, parte stabilă
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) parte stabilă, asociativitate, element neutru în mulțime, simetric în mulțime

Pasul $0$ stă primul pentru că, dacă rezultatul iese din mulțime, nu mai are rost să discuți despre restul: nu există structură deloc. Varianta c adaugă comutativitatea, care nu este axiomă a grupului, ci o proprietate suplimentară. Variantele a și d amână sau elimină verificarea părții stabile — greșeala care lasă întreaga rezolvare fără punctaj.
Pe $G = (14, + \infty)$ se consideră legea $x * y = x y - 14 x - 14 y + 210$ . Elementul neutru și simetricul unui element $x$ sunt:
- a) $e = 14$ și $x^{'} = 14 + \frac{1}{x - 14}$
- b) $e = 15$ și $x^{'} = 15 - x$
- c) $e = 15$ și $x^{'} = 14 + \frac{1}{x - 14}$
- d) $e = 14$ și $x^{'} = 28 - x$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $e = 15$ și $x^{'} = 14 + \frac{1}{x - 14}$

Forma factorizată este $x * y = (x - 14) (y - 14) + 14$ , deci $e = a + 1 = 15$ , iar din $(x - 14) (x^{'} - 14) = 1$ rezultă $x^{'} = 14 + \frac{1}{x - 14}$ , care este mai mare decât $14$ pentru $x > 14$ — condiția care se uită cel mai des. Varianta a confundă neutrul cu elementul absorbant $14$ , iar b și d folosesc formule de tip aditiv.

Întrebări conexe

Care sunt cele trei axiome ale grupului?

Asociativitatea legii, existența unui element neutru în mulțime și existența unui simetric pentru fiecare element, tot în mulțime. Se notează $G 1$ , $G 2$ și $G 3$ , iar comutativitatea se adaugă separat, ca adjectiv.

De ce mulțimea numerelor întregi nu este grup față de înmulțire?

Fiindcă doar $- 1$ și $1$ au invers acolo; pentru orice alt întreg partenerul ar fi o fracție. Axioma simetricului cade, deci structura rămâne monoid. Cu adunarea, în schimb, aceeași mulțime formează grup.

Ce grup formează numerele raționale nenule față de înmulțire?

Un grup abelian. Scoaterea lui $0$ este esențială: cu el înăuntru axioma simetricului ar cădea, fiindcă zero nu are invers. Pe mulțimea rămasă, fiecare fracție are partenerul ei răsturnat.

De ce structura ține de pereche, nu doar de mulțime?

Pentru că aceeași mulțime poate fi grup cu o operație și să nu fie cu alta. Numerele întregi cu adunarea formează grup, iar cu înmulțirea nu. De aceea se scrie mereu perechea, cu legea alături.

Ce se demonstrează despre unicitatea simetricului?

Că fiecare element are exact un simetric. Demonstrația compune un partener cu celălalt și folosește asociativitatea: lanțul $x^{'} = x^{'} * (x * x^{''}) = (x^{'} * x) * x^{''} = x^{''}$ arată că cei doi parteneri coincid. Fără asociativitate, concluzia nu ar mai fi valabilă.

Ce grup formează matricele de ordinul al doilea față de adunare?

Un grup abelian, cu elementul neutru matricea nulă și cu simetricul dat de matricea cu toate semnele schimbate. Adunarea matricelor fiind comutativă și asociativă, toate axiomele se verifică imediat.

Oamenii mai întreabă și: ce este un grup · axiomele grupului · grup abelian · grup comutativ · cum arăt că o mulțime este grup