Mulțimea $$U_n$$, împreună cu înmulțirea numerelor complexe, este:

grup comutativ cu $$n$$ elemente

monoid în care niciun element nu are simetric

grup necomutativ cu $$n$$ elemente

parte stabilă a lui $$\mathbb{C}$$ în raport cu adunarea

Incluziunea $$U_m \subseteq U_n$$ are loc dacă și numai dacă:

$$m$$ și $$n$$ sunt prime între ele

Câte rădăcini de ordinul n are numărul 1?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Grupul rădăcinilor unității

Exact $n$ , toate complexe și de modul $1$ : $ε_{k} = cos \frac{2 k π}{n} + i sin \frac{2 k π}{n}$ , cu $k$ luând valorile de la $0$ la $n - 1$ . Imaginile lor se așază în vârfurile unui poligon regulat înscris în cercul unitate, câte una la fiecare $\frac{2 π}{n}$ . Cu înmulțirea numerelor complexe iese un grup comutativ: neutrul îl dă numărul $1$ , iar simetricul lui $z$ se scrie $z^{n - 1}$ .

Rădăcinile de ordinul $n$ ale unității sunt numerele complexe cu $z^{n} = 1$ ; sunt exact $n$ , toate de modul $1$ , iar mulțimea lor este $U_{n} = {ε_{k} = cos \frac{2 k π}{n} + i sin \frac{2 k π}{n} ∣ k = 0, 1, \dots, n - 1}$ , cu imaginile geometrice în vârfurile poligonului regulat cu $n$ laturi înscris în cercul de rază $1$ .

Perechea $(U_{n}, \cdot)$ este grup comutativ cu $card U_{n} = n$ . Cele patru verificări: partea stabilă din $(z w)^{n} = z^{n} w^{n} = 1$ ; asociativitatea și comutativitatea moștenite din $C$ ; elementul neutru $1$ ; iar din $z \cdot z^{n - 1} = z^{n} = 1$ rezultă că inversul lui $z$ este $z^{n - 1}$ , tot din $U_{n}$ .

Toate elementele sunt puterile unei singure rădăcini, $ε = ε_{1}$ : $U_{n} = {1, ε, \dots, ε^{n - 1}}$ , iar $ε^{k} \cdot ε^{j} = ε^{r}$ , unde $r$ este restul împărțirii lui $k + j$ la $n$ — înmulțirea înseamnă adunarea exponenților modulo $n$ . Inversul se scrie $(ε^{k})^{- 1} = ε^{n - k}$ sau, geometric, $z^{- 1} = \overset{z}{ˉ}$ .

Mulțimile se cuprind una într-alta după divizibilitate: $U_{m} \subseteq U_{n} ⟺ m ∣ n$ . Suma tuturor elementelor lui $U_{n}$ este $0$ pentru $n \geq 2$ , iar produsul lor este $(- 1)^{n + 1}$ .

⚠️ $U_{n}$ (cu indice) sunt numere complexe; $U (Z_{n}, \cdot)$ (cu paranteze) sunt clase de resturi inversabile.

De reținut

$U_{n} = {z \in C ∣ z^{n} = 1}$ : grup comutativ cu $n$ elemente
$ε^{k} \cdot ε^{j} = ε^{r}$ , cu $r$ restul lui $k + j$ la $n$
$U_{m} \subseteq U_{n} ⟺ m ∣ n$ ; suma elementelor lui $U_{n}$ este $0$ pentru $n \geq 2$

Greșeala tipică

Se începe enumerarea de la $ε$ și se uită că $ε_{0} = 1$ face parte din mulțime. Atunci ies $n - 1$ elemente, iar suma nu mai dă $0$ ; lista pornește întotdeauna de la $1$ .

Exerciții din această mini-lecție

Mulțimea $U_{n}$ , împreună cu înmulțirea numerelor complexe, este:
- a) monoid în care niciun element nu are simetric
- b) grup necomutativ cu $n$ elemente
- c) grup comutativ cu $n$ elemente
- d) parte stabilă a lui $C$ în raport cu adunarea
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) grup comutativ cu $n$ elemente

Din $z^{n} = w^{n} = 1$ rezultă $(z w)^{n} = 1$ , deci mulțimea e parte stabilă; asociativitatea și comutativitatea se moștenesc din $C$ ; $1 \in U_{n}$ este neutru; iar inversul lui $z$ este $z^{n - 1} \in U_{n}$ . Varianta d este chiar greșeala clasică: $1 + 1 = 2$ are modulul $2$ , deci suma a două rădăcini ale unității iese din mulțime — operația se citește din enunț, nu se presupune.
Fie $ε = cos \frac{2 π}{n} + i sin \frac{2 π}{n}$ și $1 \leq k \leq n - 1$ . Inversul elementului $ε^{k}$ în grupul $U_{n}$ este:
- a) $ε^{n - k}$
- b) $- ε^{k}$
- c) $ε^{k}$
- d) $n - ε^{k}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $ε^{n - k}$

Din $ε^{k} \cdot ε^{n - k} = ε^{n} = 1$ rezultă că inversul este $ε^{n - k}$ ; el coincide cu conjugatul $\overline{ε^{k}}$ , fiindcă orice element are modulul $1$ și deci $z \overset{z}{ˉ} = 1$ . Varianta c ar însemna că fiecare element este propriul invers, ceea ce se întâmplă doar pentru $1$ și, când $n$ e par, pentru $- 1$ . Variantele b și d nici măcar nu aparțin lui $U_{n}$ în general.
Incluziunea $U_{m} \subseteq U_{n}$ are loc dacă și numai dacă:
- a) $m \leq n$
- b) $n ∣ m$
- c) $m$ și $n$ sunt prime între ele
- d) $m ∣ n$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $m ∣ n$

Dacă $n = m q$ și $z^{m} = 1$ , atunci $z^{n} = (z^{m})^{q} = 1$ , deci $z \in U_{n}$ . Reciproc, rădăcina de argument $\frac{2 π}{m}$ trebuie să verifice $z^{n} = 1$ , ceea ce cere ca $\frac{2 π n}{m}$ să fie multiplu de $2 π$ , adică $m ∣ n$ . Varianta a pică pe $U_{3}$ și $U_{4}$ : deși $3 < 4$ , singurul element comun este $1$ .

Întrebări conexe

Care e deosebirea dintre rădăcinile unității și clasele inversabile?

$U_{n}$ , scris cu indice, adună numere complexe și are exact $n$ elemente. $U (Z_{n}, \cdot)$ , scris cu paranteze, adună clase de resturi și are atâția membri câți întregi din $1$ până la $n$ sunt primi cu $n$ — pentru $n = 6$ , șase elemente față de două.

Unde se află în plan imaginile rădăcinilor de ordinul n ale unității?

Toate stau pe cercul de rază $1$ cu centrul în origine, la distanțe egale una de alta, în vârfurile unui poligon regulat cu $n$ laturi. Una dintre ele este mereu punctul de coordonate $(1, 0)$ , iar celelalte se obțin rotind cu unghiul $\frac{2 π}{n}$ .

Cât este produsul tuturor rădăcinilor de ordinul n ale unității?

Este $(- 1)^{n + 1}$ : iese $1$ pentru $n$ impar și $- 1$ pentru $n$ par. Verificare rapidă la $n = 4$ : produsul $1 \cdot i \cdot (- 1) \cdot (- i)$ dă $- 1$ . Suma acelorași numere este $0$ pentru orice $n \geq 2$ , deci cele două rezultate nu se confundă.

Cum se înmulțesc două rădăcini scrise ca puteri ale lui $ε$ ?

Se adună exponenții și se reduce rezultatul modulo $n$ : $ε^{k} \cdot ε^{j} = ε^{r}$ , unde $r$ este restul împărțirii lui $k + j$ la $n$ . Așa se calculează repede și puteri uriașe, fiindcă $ε^{n} = 1$ readuce exponentul între $0$ și $n - 1$ .

Care sunt rădăcinile de ordinul 4 ale unității?

Sunt $1$ , $i$ , $- 1$ și $- i$ . Se verifică imediat: fiecare ridicat la puterea a patra dă $1$ . Imaginile lor sunt vârfurile pătratului înscris în cercul de rază $1$ , iar $ε = i$ le produce pe toate prin puteri succesive.

De ce nu este $U_{n}$ parte stabilă față de adunare?

Fiindcă suma a două elemente iese de regulă din mulțime: $1 + 1 = 2$ are modulul $2$ , în timp ce toate rădăcinile au modulul $1$ . Operația se citește din enunț, iar aici ea este înmulțirea, singura față de care se verifică stabilitatea.

Oamenii mai întreabă și: rădăcinile de ordinul n ale unității · grupul U n · rădăcinile complexe ale lui 1 · câte rădăcini are ecuația z la n egal 1 · poligonul rădăcinilor unității