Grupul unităților inelului $$\left(\mathcal{M}_3(\mathbb{R}), +, \cdot\right)$$ este:

$$\left\{A \mid \det A = 1\right\}$$

$$\mathcal{M}_3(\mathbb{R}) \setminus \{O_3\}$$

Într-un inel $$(A, +, \cdot)$$, pentru $$a, b \in U(A)$$ avem:

$$ab$$ poate să nu fie inversabil

Ce înseamnă unitate într-un inel?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Grupul unităților unui inel

Un element inversabil, adică unul pentru care există $b$ cu $ab = ba = 1$ . Inversul lui, notat $a^{- 1}$ , este bine precizat, iar mulțimea tuturor unităților se notează $U (A)$ și formează grup față de înmulțirea inelului. Ea nu e niciodată vidă, fiindcă $1$ este propriul invers, și nu îl cuprinde pe $0$ într-un inel nenul. Exemple: $U (Z) = {- 1, 1}$ și $U (M_{n} (R)) = G L_{n} (R)$ .

Lecția face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M1, cel care urmează programa sesiunilor 2027–2029. Un element $a$ al unui inel $(A, +, \cdot)$ este inversabil dacă există $b$ cu $ab = ba = 1$ ; inversul este unic și se notează $a^{- 1}$ , iar mulțimea tuturor elementelor inversabile se notează $U (A)$ , iar elementele ei se numesc unitățile inelului. Mulțimea nu e niciodată vidă, pentru că $1 \in U (A)$ , și nu conține niciodată pe $0$ într-un inel nenul.

Teorema lecției: $(U (A), \cdot)$ este grup, numit grupul unităților inelului. Demonstrația are patru mișcări: parte stabilă (cu $(ab)^{- 1} = b^{- 1} a^{- 1}$ , ordinea răsturnată), asociativitate moștenită, $1$ ca element neutru, inversul unui inversabil este inversabil. Dacă inelul e comutativ, grupul e comutativ. Exemplele de reținut: $U (Z) = {- 1, 1}$ , $U (Q) = Q^{*}$ , $U (Z_{n}) = {\overset{a}{^} ∣ (a, n) = 1}$ , $U (M_{n} (R)) = G L_{n} (R)$ și $U (Z [i]) = {1, - 1, i, - i}$ , ultimul obținut cu norma $N (a + bi) = a^{2} + b^{2}$ . Un element inversabil nu este niciodată divizor al lui zero — reciproca e falsă în inele infinite ( $2$ în $Z$ ), dar în $Z_{n}$ cele două categorii acoperă toate clasele nenule. Pentru legile deghizate $x \oplus y = x + y - a$ și $x \otimes y = (x - a) (y - a) + a$ , elementul nul este $a$ , unitatea este $a + 1$ , iar $x$ e inversabil exact când $x - a$ e inversabil în inelul de plecare.

De reținut

$U (A)$ , mulțimea elementelor inversabile, este grup față de înmulțire
$U (Z) = {- 1, 1}$ , $U (Z_{n}) = {\overset{a}{^} ∣ (a, n) = 1}$ , $U (Z [i]) = {1, - 1, i, - i}$
inversabilele și divizorii lui zero nu se suprapun niciodată

Greșeala tipică

Se scrie direct inversul unei clase, fără să se controleze mai întâi dacă ea are unul. Clasa $9$ din $Z_{12}$ nu este inversabilă, pentru că $9$ și $12$ au divizorul comun $3$ , deci orice valoare găsită acolo e falsă.

Exerciții din această mini-lecție

Grupul unităților inelului $(M_{3} (R), +, \cdot)$ este:
- a) ${I_{3}}$
- b) ${A ∣ det A = 1}$
- c) $G L_{3} (R)$
- d) $M_{3} (R) ∖ {O_{3}}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $G L_{3} (R)$

O matrice pătratică este inversabilă dacă și numai dacă determinantul ei este nenul, deci $U (M_{3} (R)) = {A ∣ det A \neq = 0} = G L_{3} (R)$ , grupul liniar general. Mulțimea matricelor cu determinantul $1$ este doar un subgrup al lui, iar egalitatea cu $M_{3} (R) ∖ {O_{3}}$ e falsă: există matrice nenule cu determinantul nul, deci neinversabile.
Câte elemente are grupul unităților inelului întregilor lui Gauss, $Z [i]$ ?
- a) $2$
- b) $4$
- c) $8$
- d) o infinitate
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $4$

Folosim norma $N (a + bi) = a^{2} + b^{2}$ , care este multiplicativă. Dacă $z w = 1$ , atunci $N (z) N (w) = 1$ cu $N (z), N (w) \in N$ , deci $N (z) = 1$ , adică $a^{2} + b^{2} = 1$ . Singurele soluții întregi sunt $(\pm 1, 0)$ și $(0, \pm 1)$ , deci $U (Z [i]) = {1, - 1, i, - i}$ — patru elemente, grup ciclic generat de $i$ .
Într-un inel $(A, +, \cdot)$ , pentru $a, b \in U (A)$ avem:
- a) $(ab)^{- 1} = a^{- 1} b^{- 1}$
- b) $ab$ poate să nu fie inversabil
- c) $(ab)^{- 1} = (ba)^{- 1}$
- d) $(ab)^{- 1} = b^{- 1} a^{- 1}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $(ab)^{- 1} = b^{- 1} a^{- 1}$

Verificarea este directă: $(ab) (b^{- 1} a^{- 1}) = a (b b^{- 1}) a^{- 1} = a a^{- 1} = 1$ , și analog în cealaltă ordine. Ordinea se răstoarnă, exact ca la inversa unui produs de matrice; scrierea $a^{- 1} b^{- 1}$ este corectă doar în inele comutative. Produsul a două unități este întotdeauna unitate — chiar aceasta e partea stabilă din demonstrația teoremei.

Întrebări conexe

De ce nu este niciodată inversabil elementul nul?

Fiindcă $0 \cdot b = 0$ pentru orice $b$ , deci produsul nu poate ieși $1$ atâta vreme cât $1$ și $0$ sunt elemente diferite. Într-un inel nenul, așadar, lista unităților începe cu $1$ și nu îl atinge niciodată pe $0$ .

Ce unități are inelul întregilor lui Gauss?

Patru: $1$ , $- 1$ , $i$ și $- i$ . Se găsesc cu norma $N (a + bi) = a^{2} + b^{2}$ , care duce produsul în produs: dacă un element are invers, norma lui divide $1$ în numere naturale, deci $a^{2} + b^{2} = 1$ . Rămân doar perechile $(\pm 1, 0)$ și $(0, \pm 1)$ .

Cum se folosește norma la determinarea unităților?

Se alege o funcție care duce elementele în numere naturale și transformă produsul în produs. Atunci un element inversabil are drept normă un divizor al lui $1$ , ceea ce restrânge căutarea la câteva cazuri, verificate apoi direct. Metoda merge la $Z [i]$ și la $Z [2]$ .

Ce grup formează unitățile unui inel comutativ?

Un grup comutativ, fiindcă înmulțirea moștenită comută. În rest, demonstrația rămâne aceeași: produsul a două unități este unitate, asociativitatea vine din inel, $1$ este neutru, iar inversul unei unități este la rândul lui inversabil.

Care este elementul unitate al inelului dat prin legea $(x - a) (y - a) + a$ ?

Elementul $a + 1$ , adică neutrul acestei legi. Se află din condiția $(x - a) (u - a) + a = x$ , care duce la $u - a = 1$ . Nu se confundă cu zeroul structurii, care este $a$ , neutrul celeilalte legi; cele două elemente se folosesc în locuri diferite.

Ce arată faptul că mulțimea unităților nu este niciodată vidă?

Că grupul unităților are întotdeauna măcar un element, anume $1$ , deci enunțul teoremei nu are excepții. La un inel cu puține inversabile, precum $Z$ , grupul se reduce la ${- 1, 1}$ , dar rămâne grup, cu două elemente.

Oamenii mai întreabă și: grupul unităților unui inel · elemente inversabile într-un inel · U de A la inele · unitățile inelului Z i · cum aflu inversabilele unui inel