Mulțimea $$H = \{f_1, f_2, f_3\}$$, obținută scoțând $$f_4$$ din grupul lui Klein:

nu este grup, pentru că nu este parte stabilă

nu este grup, pentru că $$f_3$$ nu este bijectivă

nu este grup, pentru că nu conține elementul neutru

Ce funcții au invers față de compunere?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Grupuri de funcții; Klein

Doar cele bijective. Compunerea este asociativă pe orice mulțime de funcții și are ca neutru funcția identică $1_{M}$ , însă simetricul există numai când funcția este inversabilă, iar el este chiar inversa ei. Din acest motiv, bijecțiile sunt materia din care se fac grupurile de funcții: omotetiile $f_{a} (x) = a x$ cu $a \neq = 0$ , funcțiile afine sau cele patru funcții ale grupului lui Klein pe $R^{*}$ .

Pe mulțimea $F (M)$ a funcțiilor $f : M \to M$ , compunerea este lege de compoziție asociativă, cu elementul neutru funcția identică $1_{M}$ — deci $(F (M), \circ)$ este monoid. Singura axiomă care poate cădea este cea a simetricului: o funcție este simetrizabilă față de compunere dacă și numai dacă este bijectivă, iar simetricul ei este funcția inversă. De aceea toate grupurile de funcții se construiesc din bijecții. Convenția rămâne $(f \circ g) (x) = f (g (x))$ — întâi cea din dreapta.

Rețeta în patru pași: partea stabilă se arată calculând $f \circ g$ ; asociativitatea se moștenește; funcția identică trebuie să aparțină mulțimii; inversa fiecărei funcții trebuie să rămână în mulțime. Omotetiile $f_{a} (x) = a x$ , cu $a \neq = 0$ , dau un grup comutativ, fiindcă $f_{a} \circ f_{b} = f_{ab}$ ; funcțiile afine $f_{a, b} (x) = a x + b$ dau un grup necomutativ, pentru că $f_{a, b} \circ f_{c, d} = f_{a c, a d + b}$ , iar termenul $a d + b$ nu este simetric.

Grupul lui Klein este $K = {f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4}}$ pe $R^{*}$ , cu $f_{1} (x) = x$ , $f_{2} (x) = - x$ , $f_{3} (x) = \frac{1}{x}$ , $f_{4} (x) = - \frac{1}{x}$ : grup comutativ cu patru elemente, în care fiecare element este propriul simetric. Abstract, ${e, a, b, c}$ cu $a^{2} = b^{2} = c^{2} = e$ și $ab = c$ — compunerea a două elemente diferite de $e$ și diferite între ele dă al treilea.

De reținut

o funcție e simetrizabilă la compunere dacă și numai dacă e bijectivă
$K = {x, - x, \frac{1}{x}, - \frac{1}{x}}$ pe $R^{*}$ : grup comutativ cu patru elemente
$(f \circ g) (x) = f (g (x))$ — se aplică mai întâi funcția din dreapta

Greșeala tipică

Se calculează $g (f (x))$ atunci când enunțul cere $f \circ g$ . Ordinea este fixă, se aplică mai întâi funcția din dreapta, iar într-un grup necomutativ inversarea ei schimbă rezultatul.

Exerciții din această mini-lecție

O funcție $f : M \to M$ este simetrizabilă în raport cu compunerea dacă și numai dacă este:
- a) injectivă
- b) bijectivă
- c) surjectivă
- d) crescătoare
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) bijectivă

Simetricul cerut este $g$ cu $f \circ g = g \circ f = 1_{M}$ , adică funcția inversă, care există exact pentru funcțiile bijective. Injectivitatea sau surjectivitatea singure nu ajung: pe $R$ , funcția $f (x) = e^{x}$ este injectivă fără să fie surjectivă, deci nu are inversă definită pe tot $R$ . Monotonia (varianta d) nu are nicio legătură cu existența simetricului.
În grupul lui Klein, cu $f_{1} (x) = x$ , $f_{2} (x) = - x$ , $f_{3} (x) = \frac{1}{x}$ și $f_{4} (x) = - \frac{1}{x}$ definite pe $R^{*}$ , compunerea $f_{2} \circ f_{3}$ este:
- a) $f_{4}$
- b) $f_{3}$
- c) $f_{1}$
- d) $f_{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $f_{4}$

Aplicăm întâi funcția din dreapta: $(f_{2} \circ f_{3}) (x) = f_{2} (\frac{1}{x}) = - \frac{1}{x} = f_{4} (x)$ . Rezultatul ilustrează regula grupului lui Klein: compunerea a două elemente diferite între ele și diferite de elementul neutru dă al treilea. Varianta $f_{1}$ ar însemna că $f_{2}$ și $f_{3}$ sunt simetrice una alteia, ceea ce e fals — fiecare este propriul simetric.
Mulțimea $H = {f_{1}, f_{2}, f_{3}}$ , obținută scoțând $f_{4}$ din grupul lui Klein:
- a) este grup comutativ
- b) nu este grup, pentru că $f_{3}$ nu este bijectivă
- c) nu este grup, pentru că nu este parte stabilă
- d) nu este grup, pentru că nu conține elementul neutru
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) nu este grup, pentru că nu este parte stabilă

Discuția se oprește la pasul $0$ : $(f_{2} \circ f_{3}) (x) = - \frac{1}{x} = f_{4} (x)$ , iar $f_{4} \in / H$ . Varianta b este falsă — $f_{3} (x) = \frac{1}{x}$ este bijectivă pe $R^{*}$ , fiind propria inversă —, iar d la fel, fiindcă $f_{1}$ este chiar funcția identică. Concluzia de reținut: nu poți arunca un element dintr-un grup finit și să speri că rămâne grup.

Întrebări conexe

Pe ce mulțime se construiește grupul lui Klein?

Pe $R^{*}$ , adică pe numerele reale fără zero. Două dintre cele patru funcții sunt $\frac{1}{x}$ și $- \frac{1}{x}$ , care nu au valoare în origine; dacă domeniul se scrie $R$ , întregul exercițiu devine fals, iar baremul taie punctajul de la primul rând.

Ce grup formează omotetiile $f (x) = a x$ cu $a$ nenul?

Un grup comutativ față de compunere. Regula de calcul este $f_{a} \circ f_{b} = f_{ab}$ , deci compunerea copiază înmulțirea numerelor: neutrul este $f_{1}$ , iar simetricul lui $f_{a}$ este $f_{1/ a}$ . Comutativitatea vine din faptul că $ab = ba$ în $R^{*}$ .

Cum se compun două funcții afine $f (x) = a x + b$ ?

După regula $f_{a, b} \circ f_{c, d} = f_{a c, a d + b}$ : primul parametru se înmulțește, al doilea amestecă ambele funcții. Termenul $a d + b$ nu este simetric în cele două perechi, așa că schimbarea ordinii dă în general altă funcție, iar grupul obținut nu este comutativ.

De ce este fiecare element din grupul lui Klein propriul simetric?

Pentru că fiecare dintre cele patru funcții compusă cu ea însăși dă identitatea: $x$ trece în $x$ , iar $- (- x) = x$ și $\frac{1}{1/ x} = x$ . Abstract, relațiile sunt $a^{2} = b^{2} = c^{2} = e$ , ceea ce deosebește acest grup de $(Z_{4}, +)$ , unde numai două elemente au pătratul egal cu neutrul.

De ce nu este ciclic grupul lui Klein?

Fiindcă fiecare element compus cu el însuși dă neutrul, deci niciunul nu are ordinul $4$ . Subgrupul generat de oricare dintre ele are cel mult două elemente, așa că nu acoperă tot grupul; de aceea structura nu este izomorfă cu clasele de resturi modulo $4$ .

De ce nu formează grup toate funcțiile de la o mulțime la ea însăși?

Pentru că funcțiile care nu sunt bijective rămân fără simetric. Structura obținută este doar monoid: compunerea este asociativă și $1_{M}$ este element neutru, dar o funcție care nu e injectivă, precum $f (x) = x^{2}$ pe $R$ , nu poate fi desfăcută.

Oamenii mai întreabă și: când are o funcție inversă · grupul lui Klein · grup de funcții față de compunere · funcții simetrizabile la compunere · tabla grupului lui Klein