Mulțimea $$GL_2(\mathbb{R})$$ este formată din matricele $$A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$$ cu proprietatea:

toate elementele lui $$A$$ sunt nenule

În grupul necomutativ $$(S_3, \circ)$$, ecuațiile $$\sigma \circ x = \tau$$ și $$x \circ \sigma = \tau$$ au soluțiile:

$$x = \sigma^{-1} \circ \tau$$, respectiv $$x = \tau \circ \sigma^{-1}$$, în general diferite

egale, oricare ar fi $$\sigma$$ și $$\tau$$

$$x = \tau \circ \sigma^{-1}$$ în ambele cazuri

ecuațiile nu au soluție în $$S_3$$

Ce matrice formează grup la înmulțire?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Grupuri de matrice și permutări

Formează grup exact matricele pătratice cu determinant nenul, strânse în mulțimea $G L_{n} (R)$ . Condiția aceasta este chiar criteriul de inversabilitate, iar produsul a două astfel de matrice rămâne inversabil, fiindcă $det (A B) = det A \cdot det B$ . Neutrul este $I_{n}$ , iar simetricul lui $A$ este $A^{- 1}$ , cu determinantul $\frac{1}{det A}$ . Înmulțirea nu comută, deci $A X = B$ dă $X = A^{- 1} B$ , iar $X A = B$ dă $X = B A^{- 1}$ .

Grupul liniar general este $G L_{n} (R) = {A \in M_{n} (R) ∣ det A \neq = 0}$ , cu înmulțirea matricelor. Mulțimea tuturor matricelor pătratice nu merge: $(M_{n} (R), \cdot)$ este doar monoid, fiindcă matricele cu determinantul nul nu au inversă. Cei patru pași: partea stabilă din $det (A B) = det A \cdot det B \neq = 0$ ; asociativitatea moștenită; $I_{n}$ cu $det I_{n} = 1$ ; iar $det (A^{- 1}) = \frac{1}{det A} \neq = 0$ , deci și inversa rămâne în mulțime. Grupul nu este comutativ, deci ecuația $A \cdot X = B$ dă $X = A^{- 1} B$ , iar $X \cdot A = B$ dă $X = B A^{- 1}$ — de care parte compui trebuie scris.

Pentru o familie de matrice, rețeta are patru rânduri: parte stabilă din formula produsului, asociativitate moștenită, neutru $A (0)$ , simetric $A (- x)$ . Familiile canonice sunt $A (x) = (10 x 1)$ și $N (a) = (1 + a - a a 1 - a)$ , cu $det N (a) = 1$ ; amândouă verifică regula „produsul adună parametrii”, deci grupurile obținute sunt comutative.

Mulțimea permutărilor $S_{n}$ formează grup față de compunere, cu permutarea identică drept element neutru, cu simetricul $σ^{- 1}$ și cu $card S_{n} = n!$ . În $σ \circ τ$ se aplică întâi $τ$ . Grupul $(S_{n}, \circ)$ este necomutativ pentru orice $n \geq 3$ .

De reținut

$G L_{n} (R) = {A ∣ det A \neq = 0}$ , grup față de înmulțire
$card S_{n} = n!$ , iar în $σ \circ τ$ se aplică mai întâi $τ$
familie cu $A (x) A (y) = A (x + y)$ : neutru $A (0)$ , simetric $A (- x)$

Greșeala tipică

Se declară grup mulțimea tuturor matricelor pătratice, fără nicio condiție asupra determinantului. Corect: cele singulare rămân fără inversă, așa că în mulțime se păstrează numai matricele cu $det A \neq = 0$ .

Exerciții din această mini-lecție

Mulțimea $G L_{2} (R)$ este formată din matricele $A \in M_{2} (R)$ cu proprietatea:
- a) $det A = 1$
- b) $det A \neq = 0$
- c) $A \neq = O_{2}$
- d) toate elementele lui $A$ sunt nenule
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $det A \neq = 0$

Criteriul de inversabilitate cere exact $det A \neq = 0$ , iar acesta este elementul care lipsea ca $(M_{2} (R), \cdot)$ să fie grup. Varianta a descrie o submulțime mai mică, varianta c e insuficientă — matricea $(1000)$ e nenulă și neinversabilă —, iar d nu are legătură: $(1111)$ are toate elementele nenule și determinantul $0$ .
În grupul necomutativ $(S_{3}, \circ)$ , ecuațiile $σ \circ x = τ$ și $x \circ σ = τ$ au soluțiile:
- a) egale, oricare ar fi $σ$ și $τ$
- b) $x = τ \circ σ^{- 1}$ în ambele cazuri
- c) $x = σ^{- 1} \circ τ$ , respectiv $x = τ \circ σ^{- 1}$ , în general diferite
- d) ecuațiile nu au soluție în $S_{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $x = σ^{- 1} \circ τ$ , respectiv $x = τ \circ σ^{- 1}$ , în general diferite

În prima ecuație compui la stânga cu $σ^{- 1}$ , în a doua la dreapta; grupul fiind necomutativ, cele două rezultate diferă în general. Varianta a ar fi corectă doar într-un grup comutativ, iar d este falsă: într-un grup, orice ecuație de acest tip are exact o soluție, tocmai pentru că orice element are simetric.
Pentru familia $N (a) = (1 + a - a a 1 - a)$ , care satisface $N (a) \cdot N (b) = N (a + b)$ , simetricul lui $N (5)$ în grupul $G = {N (a) ∣ a \in R}$ este:
- a) $N (- 5)$
- b) $N (\frac{1}{5})$
- c) $N (0)$
- d) $N (5)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $N (- 5)$

Elementul neutru este $N (0) = I_{2}$ , iar din $N (5) \cdot N (- 5) = N (0)$ rezultă că simetricul este $N (- 5)$ , care aparține lui $G$ fiindcă $- 5 \in R$ . Varianta b copiază regula inversului de la înmulțirea numerelor, dar aici parametrii se adună, nu se înmulțesc; varianta c dă chiar elementul neutru.

Întrebări conexe

Este comutativ grupul permutărilor?

Nu, începând de la gradul $3$ : două transpoziții compuse în ordini diferite dau rezultate diferite. Numai $S_{1}$ și $S_{2}$ sunt comutative, fiindcă au un singur element, respectiv două. Este exemplul obișnuit prin care se arată că un grup nu trebuie să fie neapărat comutativ.

De ce se moștenește asociativitatea la o familie de matrice?

Pentru că familia este inclusă în $M_{2} (R)$ , unde înmulțirea este deja asociativă; o proprietate adevărată pentru toate matricele rămâne adevărată și pentru cele alese. Se scrie un singur rând cu această justificare, în loc de calculul lung pe triplete, iar baremul îl acceptă ca atare.

Ce se verifică pentru ca o familie de matrice să fie grup?

Patru lucruri, în ordine: produsul a două elemente rămâne în familie, asociativitatea se moștenește de la înmulțirea matricelor, există un element care lasă totul neschimbat și fiecare element are un simetric în familie. Prima și ultima condiție cer de obicei cel mai mult lucru.

Ce se întâmplă cu determinantul când înmulțești două matrice inversabile?

Determinantul produsului este produsul determinanților: $det (A B) = det A \cdot det B$ . Fiindcă amândoi factorii sunt nenuli, produsul lor este nenul, deci $A B$ rămâne inversabilă. Exact acest calcul arată că mulțimea matricelor inversabile este parte stabilă, primul dintre cei patru pași ai demonstrației.

Câte elemente are grupul matricelor inversabile peste un corp finit?

Se numără matricele cu liniile independente: prima linie poate fi orice vector nenul, a doua orice vector din afara dreptei generate de prima și așa mai departe. Peste un corp cu $q$ elemente, la ordinul $2$ ies $(q^{2} - 1) (q^{2} - q)$ matrice.

Ce înseamnă că o mulțime de matrice este parte stabilă la înmulțire?

Că produsul oricăror două matrice din mulțime cade tot în ea. Fără această verificare, legea indusă nici nu ar exista, așa că pasul apare primul în orice demonstrație. La familiile parametrizate se face într-un rând, cu formula produsului, care arată ce parametru are rezultatul.

Oamenii mai întreabă și: grupul matricelor inversabile · ce este GL n de R · grupul permutărilor S n · de ce nu formează grup toate matricele · cum arăt că o familie de matrice e grup