Ce transformări ale planului formează grup?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Translații și rotații

Translațiile formează grup comutativ față de compunere, cu regula că la compunere coordonatele se adună: $t_{(a, b)} \circ t_{(c, d)} = t_{(a + c, b + d)}$ , neutrul $t_{(0, 0)}$ și inversa $t_{(- a, - b)}$ . La fel, rotațiile în jurul aceluiași punct dau grup comutativ, cu unghiurile adunate: $R_{α} \circ R_{β} = R_{α + β}$ . Amestecul celor două familii nu mai este grup, fiindcă o translație compusă cu o rotație nu dă nici translație, nici rotație.

Translația de coordonate $(a, b)$ este funcția $t_{(a, b)} : R^{2} \to R^{2}$ , $t_{(a, b)} (x, y) = (x + a, y + b)$ ; ea mută toate punctele planului cu aceleași cantități, fără vectori, doar prin coordonate. Mulțimea tuturor translațiilor, $T$ , formează grup comutativ față de compunerea funcțiilor, iar regula de calcul este singura care trebuie reținută: la compunere coordonatele se adună, $t_{(a, b)} \circ t_{(c, d)} = t_{(a + c, b + d)}$ . Elementul neutru este $t_{(0, 0)} = 1_{R^{2}}$ , iar inversul lui $t_{(a, b)}$ este $t_{(- a, - b)}$ .

Rotația de unghi $θ$ în jurul originii este $R_{θ} (x, y) = (x cos θ - y sin θ, x sin θ + y cos θ)$ — aceleași formule ca la înmulțirea cu matricea de rotație $R (θ)$ din clasa a XI-a. Deosebirea de notație contează: $R (θ)$ , cu paranteze, este matricea; $R_{θ}$ , cu indice, este transformarea planului. La rotațiile cu același centru, unghiurile se adună: $R_{α} \circ R_{β} = R_{α + β}$ , cu reducere modulo $2 π$ ; neutrul este $R_{0}$ , iar inversul lui $R_{α}$ este $R_{2 π - α}$ . Rotațiile care lasă pe loc un poligon regulat cu $n$ laturi sunt $R_{n} = {R_{\frac{2 k π}{n}} ∣ k = 0, \dots, n - 1}$ , grup comutativ cu $n$ elemente în care compunerea revine la adunarea indicilor modulo $n$ . Translațiile și rotațiile nu se amestecă: mulțimea reunită nu este parte stabilă, iar $R_{\frac{π}{2}} \circ t_{(1, 0)} \neq = t_{(1, 0)} \circ R_{\frac{π}{2}}$ .

De reținut

$t_{(a, b)} \circ t_{(c, d)} = t_{(a + c, b + d)}$ , neutru $t_{(0, 0)}$ , invers $t_{(- a, - b)}$
$R_{α} \circ R_{β} = R_{α + β}$ , numai la rotații cu același centru
$R_{n}$ : rotațiile de unghi $\frac{2 k π}{n}$ , care duc un poligon regulat în el însuși

Greșeala tipică

Se aplică formula $R_{α} \circ R_{β} = R_{α + β}$ unor rotații cu centre diferite. Adunarea unghiurilor cere același centru, altfel compunerea poate să nici nu fie rotație.

Exerciții din această mini-lecție

Compunerea $t_{(3, - 7)} \circ t_{(- 5, 2)}$ este translația:
- a) $t_{(- 2, - 5)}$
- b) $t_{(8, - 9)}$
- c) $t_{(- 2, 5)}$
- d) $t_{(2, 5)}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $t_{(- 2, - 5)}$

La compunerea translațiilor coordonatele se adună: $t_{(3, - 7)} \circ t_{(- 5, 2)} = t_{(3 + (- 5), - 7 + 2)} = t_{(- 2, - 5)}$ . Varianta $t_{(8, - 9)}$ vine din scăderea coordonatelor, varianta $t_{(- 2, 5)}$ din pierderea semnului la a doua coordonată, iar $t_{(2, 5)}$ este inversa rezultatului corect.
Inversa rotației $R_{\frac{5 π}{6}}$ , scrisă cu unghiul din intervalul $[0, 2 π)$ , este:
- a) $R_{\frac{π}{6}}$
- b) $R_{\frac{7 π}{6}}$
- c) $R_{\frac{5 π}{6}}$
- d) $R_{\frac{11 π}{6}}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $R_{\frac{7 π}{6}}$

Inversa lui $R_{θ}$ este $R_{- θ}$ , adică $R_{2 π - θ}$ dacă vrem unghiul în $[0, 2 π)$ : $2 π - \frac{5 π}{6} = \frac{7 π}{6}$ . Varianta $\frac{π}{6}$ scade din $π$ , nu din $2 π$ ; varianta $\frac{5 π}{6}$ presupune, greșit, că rotația este propriul invers (ceea ce se întâmplă doar la $R_{0}$ și $R_{π}$ ); varianta $\frac{11 π}{6}$ este inversa lui $R_{\frac{π}{6}}$ .
Imaginea punctului $M (4, - 3)$ prin rotația $R_{\frac{π}{2}}$ în jurul originii este:
- a) $(- 4, 3)$
- b) $(- 3, - 4)$
- c) $(3, 4)$
- d) $(- 3, 4)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $(3, 4)$

Din formula $R_{θ} (x, y) = (x cos θ - y sin θ, x sin θ + y cos θ)$ , pentru $θ = \frac{π}{2}$ obținem $R_{\frac{π}{2}} (x, y) = (- y, x)$ , deci $R_{\frac{π}{2}} (4, - 3) = (3, 4)$ . Varianta $(- 4, 3)$ este imaginea prin $R_{π}$ , varianta $(- 3, - 4)$ este imaginea prin $R_{\frac{3 π}{2}}$ , adică rotația în sens invers, iar $(- 3, 4)$ amestecă semnele.

Întrebări conexe

Ce diferență de notație este între $R (θ)$ și $R_{θ}$ ?

Cu paranteze se notează matricea de rotație studiată în anul anterior, iar cu indice se notează transformarea planului. Formulele de calcul coincid, fiindcă aplicarea lui $R_{θ}$ unui punct înseamnă înmulțirea cu $R (θ)$ , dar obiectele sunt de tipuri diferite și nu se scriu unul în locul celuilalt.

Ce se întâmplă când suma unghiurilor a două rotații depășește $2 π$ ?

Se scade $2 π$ și se păstrează unghiul rămas, fiindcă o rotație completă lasă planul neschimbat. De pildă, o rotație de $\frac{5 π}{3}$ compusă cu una de $\frac{π}{2}$ duce la unghiul $\frac{13 π}{6}$ , care se scrie $\frac{π}{6}$ .

De ce nu formează grup reuniunea translațiilor cu rotațiile?

Pentru că mulțimea obținută nu este parte stabilă: compunând o translație cu o rotație în jurul originii se obține o transformare care mută originea și schimbă direcțiile, deci nu se regăsește în niciuna dintre cele două familii. Fără stabilitate, legea indusă nici nu există.

Ce condiție trebuie ca formula compunerii rotațiilor să fie adevărată?

Cele două rotații trebuie să aibă același centru. Numai atunci unghiurile se adună, iar rezultatul rămâne o rotație în jurul aceluiași punct. Pentru centre diferite compunerea dă, în general, altceva, iar formula scrisă fără această precizare se taie în barem.

Cum se scrie translația care duce punctul $(x, y)$ în $(x + 3, y - 2)$ ?

Este $t_{(3, - 2)}$ , adică funcția care adaugă $3$ la abscisă și scade $2$ din ordonată. Coordonatele translației se citesc direct din diferența dintre imagine și punct, iar inversa ei este $t_{(- 3, 2)}$ , care readuce fiecare punct de unde a plecat.

Cum arăt că o mulțime de translații formează subgrup?

Verifici că suma coordonatelor a două translații din mulțime rămâne tot acolo și că perechea opusă se află și ea în mulțime. De pildă translațiile cu ambele coordonate întregi formează subgrup, fiindcă întregii se păstrează la adunare și la schimbarea semnului.

Oamenii mai întreabă și: grupul translațiilor planului · grupul rotațiilor cu același centru · cum se compun două rotații · transformări geometrice care formează grup · rotațiile unui poligon regulat