Câte elemente poate avea un subgrup?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Teorema lui Lagrange

Numai un număr care divide cardinalul grupului — acesta este enunțul teoremei lui Lagrange pentru grupuri finite. Motivul stă în clasele la stânga $x H$ : fiecare are exact atâtea elemente câte are $H$ , două dintre ele ori coincid, ori nu se ating, iar împreună acoperă tot grupul. Numărul lor este $\frac{card G}{card H}$ . Într-un grup cu $12$ elemente, un subgrup poate avea $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $6$ sau $12$ elemente.

Într-un grup finit, numărul de elemente se numește ordinul grupului și se notează $card G$ . Pentru un subgrup $H$ și un element $x$ , mulțimea $x H = {x h ∣ h \in H}$ se numește clasa la stânga a lui $x$ . Două propoziții pregătesc rezultatul: fiecare clasă are exact $card H$ elemente (funcția $h \mapsto x h$ este bijectivă, prin simplificare la stânga), iar două clase sunt egale sau disjuncte, fiecare element aflându-se în propria clasă. Clasele împart deci grupul în felii de aceeași mărime.

Teorema lui Lagrange (pentru grupuri finite, a nu se confunda cu teorema lui Lagrange din analiză): dacă $H$ este subgrup al grupului finit $G$ , atunci $card H$ divide $card G$ , iar numărul claselor este $\frac{card G}{card H}$ . Consecința 1 a teoremei lui Lagrange: $ord (x) ∣ card G$ pentru orice $x \in G$ — se demonstrează arătând că mulțimea $H_{x} = {e, x, \dots, x^{n - 1}}$ este subgrup cu $n$ elemente. Consecința 2 a teoremei lui Lagrange: $x^{card G} = e$ , de unde, în $U (Z_{p}, \cdot)$ cu $p$ prim, $\overset{a}{^}^{p - 1} = \hat{1}$ . Teorema este o condiție necesară: reciproca ei este falsă, ea se aplică numai grupurilor finite și vorbește despre subgrupuri, nu despre submulțimi oarecare.

De reținut

teorema lui Lagrange: $card H ∣ card G$ , pentru $G$ finit
consecința 1: $ord (x) ∣ card G$ ; consecința 2: $x^{card G} = e$
reciproca este falsă: un divizor nu produce automat un subgrup

Greșeala tipică

Se citește teorema invers: din faptul că $6$ divide $12$ se conchide că grupul are un subgrup cu șase elemente. Teorema exclude cardinale, dar nu construiește subgrupuri, iar existența lor se arată efectiv.

Exerciții din această mini-lecție

Un grup finit are $20$ de elemente. Câte elemente nu poate avea un subgrup al său?
- a) $4$
- b) $5$
- c) $8$
- d) $10$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $8$

Din teorema lui Lagrange, cardinalul oricărui subgrup divide $20$ , deci poate fi doar $1$ , $2$ , $4$ , $5$ , $10$ sau $20$ . Cum $8$ nu divide $20$ , niciun subgrup nu poate avea $8$ elemente. Celelalte trei valori sunt divizori ai lui $20$ , deci teorema nu le exclude — atenție însă, teorema nu garantează nici că ele chiar apar.
Care dintre valori nu poate fi ordinul unui element al unui grup cu $21$ de elemente?
- a) $9$
- b) $7$
- c) $3$
- d) $21$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $9$

Consecința 1 a teoremei lui Lagrange spune că $ord (x) ∣ card G$ , iar divizorii lui $21$ sunt $1$ , $3$ , $7$ și $21$ . Numărul $9$ nu divide $21$ , deci niciun element nu poate avea ordinul $9$ . Este testul rapid de respingere care economisește orice calcul: se compară valoarea propusă cu lista divizorilor cardinalului.
Fie $G$ un grup cu $14$ elemente și $x \in G$ . Atunci $x^{2026}$ este egal cu:
- a) $e$
- b) $x^{10}$
- c) $x^{4}$
- d) $x^{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $x^{10}$

Consecința 2 a teoremei lui Lagrange dă $x^{14} = e$ , deci puterile se reduc modulo $14$ . Cum $2026 = 14 \cdot 144 + 10$ , obținem $x^{2026} = (x^{14})^{144} \cdot x^{10} = x^{10}$ . Variantele $x^{4}$ și $x^{2}$ vin din resturi calculate greșit, iar $e$ ar cere ca $14$ să dividă $2026$ , ceea ce nu se întâmplă.

Întrebări conexe

Cu ce se confundă teorema lui Lagrange pentru grupuri finite?

Cu teorema lui Lagrange din analiză, cea despre funcții derivabile pe un interval închis. Sunt rezultate fără nicio legătură, ale aceluiași matematician. La examen se scrie de fiecare dată capitolul din care vine enunțul, ca să nu rămână loc de îndoială în corectare.

Câte clase la stânga are un subgrup cu 4 elemente într-un grup cu 12?

Trei, fiindcă numărul claselor este raportul $\frac{12}{4} = 3$ . Fiecare clasă are patru elemente, iar cele trei clase nu au elemente comune și acoperă împreună toate cele douăsprezece elemente ale grupului, ceea ce se citește în egalitatea $3 \cdot 4 = 12$ .

De ce sunt egale sau disjuncte două clase la stânga?

Dacă un element $z$ s-ar afla și în $x H$ , și în $y H$ , atunci el se scrie în două feluri ca produs, iar de aici rezultă că orice element al uneia se găsește și în cealaltă. Așadar nu există situație intermediară: ori coincid, ori nu se ating deloc.

Ce spune consecința despre $x$ la puterea cardinalului grupului?

Spune că $x^{card G} = e$ pentru orice element al unui grup finit, ceea ce urmează din faptul că ordinul lui $x$ divide cardinalul grupului. Aplicată claselor inversabile modulo un număr prim $p$ , consecința dă $\overset{a}{^}^{p - 1} = \hat{1}$ , unealta de bază la resturile puterilor mari.

Cum se demonstrează că ordinul unui element divide ordinul grupului?

Se arată că mulțimea $H_{x} = {e, x, \dots, x^{n - 1}}$ , unde $n = ord (x)$ , este subgrup: produsul a două puteri e tot o putere, iar simetricul lui $x^{k}$ este $x^{n - k}$ . Ea are exact $n$ elemente, deci $n$ divide cardinalul grupului.

Se aplică teorema lui Lagrange grupurilor infinite?

Nu, ipoteza cere un grup finit. În $(Z, +)$ , subgrupul $2 Z$ este infinit, la fel ca grupul întreg, așa că nu are sens să vorbești despre divizibilitatea cardinalelor. La grupurile infinite se folosesc alte argumente, precum comutativitatea sau ordinele elementelor.

Oamenii mai întreabă și: teorema lui Lagrange pentru grupuri · câte elemente are un subgrup · clase la stânga · consecințele teoremei lui Lagrange · ordinul unui grup finit