Care dintre următoarele nu este un argument valid pentru a arăta că două grupuri nu sunt izomorfe?

tablele lor, scrise cu elementele în ordini diferite, arată diferit

unul este comutativ, celălalt nu

au profiluri ale ordinelor diferite

De ce grupurile $$(\mathbb{R}, +)$$ și $$\left(\mathbb{R}^{*}, \cdot\right)$$ nu sunt izomorfe?

pentru că $$\mathbb{R}^{*}$$ are un element de ordinul $$2$$, iar $$\mathbb{R}$$ nu are niciunul

pentru că au cardinale diferite

pentru că unul este comutativ și celălalt nu

pentru că unul conține numărul $$0$$ și celălalt nu

Un grup $$G$$ cu opt elemente are proprietatea că $$x^{2} = e$$ pentru orice $$x \in G$$. De ce nu este izomorf cu $$(\mathbb{Z}_8, +)$$?

pentru că $$G$$ nu are element de ordinul $$8$$, iar $$(\mathbb{Z}_8, +)$$ are

pentru că $$G$$ nu are element neutru

pentru că $$G$$ nu este comutativ

pentru că elementele lor sunt obiecte diferite

Ce este un invariant de izomorfism?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Când două grupuri nu sunt izomorfe

O trăsătură pe care orice grup izomorf cu cel dat o are la fel: cardinalul, comutativitatea, ciclicitatea, tabelul cu ordinele elementelor. Dacă doi candidați dau valori deosebite pentru același invariant, între ei nu se poate construi niciun izomorfism — singura cale practică de a dovedi asta. Redactarea merge prin reducere la absurd: presupui că funcția există, deduci egalitatea valorilor și te lovești de contradicție.

Un invariant de izomorfism este o trăsătură a unui grup care rămâne neschimbată dacă grupul e înlocuit cu oricare grup izomorf cu el. Dacă două grupuri au valori diferite pentru același invariant, între ele nu poate exista niciun izomorfism — iar aceasta este singura metodă practică de a dovedi că nu sunt izomorfe. Redactarea se face prin reducere la absurd: presupui că $f$ există, arăți că invariantul ar trebui să coincidă, obții o contradicție.

Cele trei argumente, în ordinea în care merită încercate, sunt: cardinalul (un izomorfism este bijecție, deci cardinale diferite resping imediat); comutativitatea (dacă $G$ e comutativ și $f$ e izomorfism, atunci și $G^{'}$ e comutativ — se demonstrează în două rânduri, folosind surjectivitatea); și profilul ordinelor, tabelul care arată câte elemente de fiecare ordin are grupul. Ultimul se sprijină pe teorema centrală a lecției: un izomorfism păstrează ordinele, $ord (f (x)) = ord (x)$ ; demonstrația are doi pași, al doilea folosind că și $f^{- 1}$ este izomorfism — la un morfism oarecare se obține doar divizibilitate. Nu sunt argumente valide: „am încercat și n-am găsit niciun izomorfism”, „tablele arată diferit” (depinde de ordinea în care scrii elementele) și „elementele sunt de alt fel”. La grupuri infinite rămân comutativitatea și ordinele: $(R, +)$ nu are element de ordinul $2$ , iar $(R^{*}, \cdot)$ are.

De reținut

invarianți: cardinalul, comutativitatea, profilul ordinelor, ciclicitatea
izomorfismul păstrează ordinele: $ord (f (x)) = ord (x)$
un morfism oarecare dă numai divizibilitatea ordinelor

Greșeala tipică

Se scrie ca argument că n-a fost găsit niciun izomorfism sau că tablele arată diferit. Niciuna nu se acceptă: ordinea în care scrii elementele schimbă tabla, iar o căutare neizbutită nu demonstrează nimic.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre următoarele nu este un argument valid pentru a arăta că două grupuri nu sunt izomorfe?
- a) au numere diferite de elemente
- b) unul este comutativ, celălalt nu
- c) au profiluri ale ordinelor diferite
- d) tablele lor, scrise cu elementele în ordini diferite, arată diferit
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) tablele lor, scrise cu elementele în ordini diferite, arată diferit

Aceeași tablă scrisă cu elementele în altă ordine arată altfel, deci „tablele arată diferit” nu spune nimic; trebuie indicată o trăsătură care nu depinde de ordinea aleasă, cum e numărul de celule de pe diagonala principală care conțin neutrul. Cardinalul, comutativitatea și profilul ordinelor sunt exact cele trei argumente valide, în ordinea crescătoare a efortului de calcul.
De ce grupurile $(R, +)$ și $(R^{*}, \cdot)$ nu sunt izomorfe?
- a) pentru că au cardinale diferite
- b) pentru că unul este comutativ și celălalt nu
- c) pentru că $R^{*}$ are un element de ordinul $2$ , iar $R$ nu are niciunul
- d) pentru că unul conține numărul $0$ și celălalt nu
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) pentru că $R^{*}$ are un element de ordinul $2$ , iar $R$ nu are niciunul

În $(R^{*}, \cdot)$ avem $(- 1)^{2} = 1$ și $- 1 \neq = 1$ , deci $ord (- 1) = 2$ . În $(R, +)$ , un element de ordinul $2$ ar fi un $x \neq = 0$ cu $x + x = 0$ , adică $x = 0$ — imposibil. Ambele grupuri sunt infinite și comutative, deci primele două argumente tac; natura elementelor nu contează niciodată.
Un grup $G$ cu opt elemente are proprietatea că $x^{2} = e$ pentru orice $x \in G$ . De ce nu este izomorf cu $(Z_{8}, +)$ ?
- a) pentru că $G$ nu are element neutru
- b) pentru că $G$ nu are element de ordinul $8$ , iar $(Z_{8}, +)$ are
- c) pentru că $G$ nu este comutativ
- d) pentru că elementele lor sunt obiecte diferite
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) pentru că $G$ nu are element de ordinul $8$ , iar $(Z_{8}, +)$ are

În $G$ toate ordinele sunt $1$ sau $2$ , deci niciun element nu are ordinul $8$ ; în $(Z_{8}, +)$ clasa $\hat{1}$ are ordinul $8$ . Cum izomorfismele păstrează ordinele, profilurile diferă și grupurile nu sunt izomorfe. Grupul $G$ este de fapt comutativ, ceea ce se demonstrează chiar din ipoteza $x^{2} = e$ , deci varianta a treia este falsă.

Întrebări conexe

În ce ordine se încearcă argumentele de neizomorfism?

Întâi cardinalul, fiindcă se citește imediat și respinge fără calcul. Apoi comutativitatea, care cere un singur contraexemplu într-unul dintre grupuri. La urmă profilul ordinelor, care înseamnă un tabel complet, dar desparte și grupuri ce trec de primele două filtre.

De ce nu se pot respinge toate bijecțiile dintre două grupuri?

Pentru că sunt prea multe: la patru elemente ies $24$ , la șase ies $720$ , iar la zece peste trei milioane. Nimeni nu le poate parcurge, și nici nu se cere așa ceva; se compară invarianți, adică numere puține, nu funcții.

Poate fi izomorf un grup comutativ cu unul necomutativ?

Nu. Dacă $f$ ar fi izomorfism și primul grup ar fi comutativ, atunci orice două elemente din al doilea se scriu ca imagini, prin surjectivitate, iar produsul lor se poate întoarce în primul, unde ordinea nu contează. Ar rezulta că și al doilea grup este comutativ.

De ce nu confirmă izomorfismul două profiluri identice ale ordinelor?

Fiindcă invarianții resping, dar nu construiesc. Coincidența lor arată doar că filtrele încercate n-au despărțit grupurile; pentru confirmare trebuie scrisă efectiv o funcție și verificate cele două condiții, morfismul și bijectivitatea.

Cum se redactează prin reducere la absurd o demonstrație de neizomorfism?

Presupui că există $f$ izomorfism între cele două grupuri. Aplici proprietatea care spune că invariantul se păstrează și obții o egalitate între valorile lui. Cum ele sunt diferite prin ipoteză, presupunerea cade, deci nu există nicio astfel de funcție.

Ce argument respinge izomorfismul a două grupuri cu cardinale diferite?

Chiar bijectivitatea. O bijecție cere același număr de elemente de o parte și de alta, așa că un grup cu șase elemente nu poate fi izomorf cu unul cu opt. Argumentul se scrie într-un rând și se încearcă întotdeauna primul.

Oamenii mai întreabă și: cum arăt că două grupuri nu sunt izomorfe · invariant de izomorfism · profilul ordinelor unui grup · grupuri neizomorfe · argumente de neizomorfism