Structura $$(\mathbb{Z}_n, \cdot)$$ nu este grup pentru niciun $$n \ge 2$$, pentru că:

înmulțirea claselor nu este asociativă

înmulțirea claselor nu este comutativă

Pentru $$n$$ compus, mulțimea $$\mathbb{Z}_n \setminus \{\hat{0}\}$$, în raport cu înmulțirea claselor:

nu este nici măcar parte stabilă

este parte stabilă, însă fără element neutru

În grupul $$\big(U(\mathbb{Z}_8, \cdot), \cdot\big) = \{\hat{1}, \hat{3}, \hat{5}, \hat{7}\}$$:

fiecare element este propriul său invers

există un element ale cărui puteri succesive dau toate elementele

Ce structură formează resturile modulo n?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Grupurile claselor de resturi

Resturile împărțirii la $n$ , strânse în clasele $\hat{0}, \hat{1}, \dots, n - 1$ , formează grup comutativ față de adunare: neutrul este $\hat{0}$ , opusul lui $\overset{a}{^}$ este $n - a$ , iar mulțimea are $n$ elemente. Față de înmulțire nu iese grup, fiindcă $\hat{0}$ nu are invers; grup formează numai clasele $\overset{a}{^}$ cu $(a, n) = 1$ .

Mulțimea $Z_{n}$ cu adunarea claselor formează grup comutativ: legea e bine definită, asociativitatea și comutativitatea se moștenesc de la $Z$ , elementul neutru este $\hat{0}$ , iar opusul este $- \overset{a}{^} = n - a$ . Se scrie mereu perechea, „grupul aditiv $(Z_{n}, +)$ ”, iar $card Z_{n} = n$ .

Cu înmulțirea, $(Z_{n}, \cdot)$ nu este grup pentru niciun $n \geq 2$ : clasa $\hat{0}$ nu are invers. Iar scoaterea ei nu repară nimic când $n$ este compus — în $Z_{6}$ , $\hat{2} \cdot \hat{3} = \hat{0}$ , deci mulțimea claselor nenule nu e nici măcar parte stabilă. Trebuie scoase toate clasele neinversabile.

Ce rămâne este $U (Z_{n}, \cdot) = {\overset{a}{^} ∣ (a, n) = 1}$ , care formează grup comutativ față de înmulțire: produsul a două clase inversabile e inversabil (cu simetricul obținut compunând simetricele în ordine inversă), asociativitatea se moștenește, $\hat{1}$ este neutru, iar inversa unei clase inversabile e ea însăși inversabilă. Pentru $p$ prim, $card U (Z_{p}, \cdot) = p - 1$ ; pentru $n$ compus numărul scade mult.

Ecuațiile: $\overset{a}{^} + x = \hat{b}$ are întotdeauna soluția unică $b - a$ ; $\overset{a}{^} \cdot x = \hat{b}$ în $U (Z_{n}, \cdot)$ se rezolvă înmulțind cu inversa lui $\overset{a}{^}$ .

De reținut

$(Z_{n}, +)$ : grup comutativ cu $n$ elemente, neutru $\hat{0}$ , opus $n - a$
$U (Z_{n}, \cdot) = {\overset{a}{^} ∣ (a, n) = 1}$ , grup comutativ cu neutrul $\hat{1}$
pentru $p$ prim, $U (Z_{p}, \cdot)$ are $p - 1$ elemente

Greșeala tipică

Se scoate numai clasa $\hat{0}$ și se declară grup ce a rămas. Pentru $n$ compus mai rămân clase fără invers, iar produsul lor poate ieși $\hat{0}$ , deci trebuie eliminate toate clasele neinversabile.

Exerciții din această mini-lecție

Structura $(Z_{n}, \cdot)$ nu este grup pentru niciun $n \geq 2$ , pentru că:
- a) înmulțirea claselor nu este asociativă
- b) clasa $\hat{0}$ nu are invers
- c) înmulțirea claselor nu este comutativă
- d) nu există element neutru
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) clasa $\hat{0}$ nu are invers

Avem $\hat{0} \cdot \overset{x}{^} = \hat{0} \neq = \hat{1}$ pentru orice clasă $\overset{x}{^}$ , deci axioma simetricului cade și structura rămâne monoid. Variantele a, c și d sunt false: înmulțirea claselor este asociativă și comutativă (proprietăți moștenite de la $Z$ ) și are elementul neutru $\hat{1}$ .
Pentru $n$ compus, mulțimea $Z_{n} ∖ {\hat{0}}$ , în raport cu înmulțirea claselor:
- a) este grup comutativ
- b) este grup, dar necomutativ
- c) este parte stabilă, însă fără element neutru
- d) nu este nici măcar parte stabilă
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) nu este nici măcar parte stabilă

Contraexemplul se scrie într-un rând: în $Z_{6}$ , clasele $\hat{2}$ și $\hat{3}$ sunt nenule, dar $\hat{2} \cdot \hat{3} = \hat{6} = \hat{0}$ , care nu aparține mulțimii. Discuția se oprește la pasul $0$ . Pentru $n$ prim accidentul nu se poate produce, iar acolo clasele nenule chiar formează grup — de aceea nu clasa $\hat{0}$ trebuie scoasă, ci toate clasele neinversabile.
În grupul $(U (Z_{8}, \cdot), \cdot) = {\hat{1}, \hat{3}, \hat{5}, \hat{7}}$ :
- a) fiecare element este propriul său invers
- b) există un element ale cărui puteri succesive dau toate elementele
- c) grupul are $8$ elemente
- d) grupul nu este comutativ
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) fiecare element este propriul său invers

Se verifică direct: $3^{2} = 9$ , $5^{2} = 25$ și $7^{2} = 49$ dau toate restul $1$ la împărțirea cu $8$ , deci diagonala principală a tablei conține numai $\hat{1}$ . Tocmai de aceea varianta b este falsă aici, deși în $U (Z_{5}, \cdot)$ înmulțirea repetată cu $\hat{2}$ produce toate elementele. Grupul are $4$ elemente și este comutativ, ca orice grup de clase de resturi.

Întrebări conexe

Cum se adună două clase de resturi modulo 7?

Se adună reprezentanții și se ia clasa sumei: $\hat{5} + \hat{4} = \hat{9} = \hat{2}$ , pentru că $9$ dă restul $2$ la împărțirea cu $7$ . Rezultatul nu depinde de reprezentanții aleși, iar răspunsul se scrie mereu ca una dintre cele șapte clase, nu ca număr întreg oarecare.

De ce nu este parte stabilă mulțimea claselor nenule din $Z_{6}$ ?

Pentru că produsul a două clase nenule poate ieși nul: $\hat{2} \cdot \hat{3} = \hat{6} = \hat{0}$ . Scoaterea clasei $\hat{0}$ nu repară nimic când $n$ este compus; se elimină toate clasele neinversabile, adică acelea pentru care $(a, n) > 1$ .

Care sunt clasele inversabile modulo 12?

Sunt clasele $\hat{1}$ , $\hat{5}$ , $\hat{7}$ și $11$ , adică acelea al căror reprezentant este prim cu $12$ . Grupul lor are patru elemente, mult mai puține decât cele douăsprezece ale grupului aditiv — de aici vine confuzia frecventă între cele două structuri.

Ce înseamnă că o lege pe clase de resturi este bine definită?

Că rezultatul nu se schimbă dacă alegi alt reprezentant. O clasă conține o infinitate de numere, iar $\hat{5}$ și $12$ sunt aceeași clasă modulo $7$ ; verificarea arată că suma sau produsul obținut iese același, oricare ar fi numerele cu care lucrezi.

De ce nu au același număr de elemente cele două grupuri modulo n?

Grupul aditiv le cuprinde pe toate cele $n$ clase, în timp ce grupul multiplicativ păstrează numai clasele prime cu $n$ . Pentru $n = 10$ ies $10$ , respectiv $4$ elemente. A scrie că grupul modulo $10$ are zece elemente într-o problemă despre înmulțire strică tot exercițiul.

Care este inversul clasei $\hat{3}$ modulo 7?

Este $\hat{5}$ , fiindcă $3 \cdot 5 = 15$ , iar $15$ dă restul $1$ la împărțirea cu $7$ . Inversul se caută încercând pe rând clasele, iar existența lui e asigurată de faptul că $7$ este număr prim: fiecare clasă diferită de $\hat{0}$ are invers.

Oamenii mai întreabă și: clase de resturi modulo n · grupul aditiv al claselor de resturi · clasele inversabile modulo n · ce este Z n cu adunarea · resturi modulo n grup