Mulțimea punctelor $$M$$ care verifică $$MF - MF' = 2a$$, fără modul, unde $$0 < 2a < FF'$$, este:

o singură ramură a hiperbolei

Hiperbola $$\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$$ intersectează axa $$Oy$$:

în niciun punct, pentru că orice punct al ei are $$\lvert x \rvert \ge 3$$

De ce apare modulul în definiția hiperbolei?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Hiperbola: definiția și ecuația canonică

Pentru că el reunește cele două ramuri într-o curbă. Condiția $M F - M F^{'} = 2 a$ , scrisă fără modul, alege doar punctele mai apropiate de un focar, deci descrie o ramură. Cu modul, amândouă diferențele posibile sunt primite, iar mulțimea obținută devine simetrică. Inegalitatea $0 < 2 a < F F^{'}$ completează definiția și asigură existența curbei.

Hiperbola este mulțimea punctelor $M$ pentru care valoarea absolută a diferenței distanțelor la două puncte fixe, focarele, este o constantă $2 a$ , strict mai mică decât distanța $2 c$ dintre focare: $∣ M F - M F^{'} ∣ = 2 a$ , cu $0 < 2 a < F F^{'}$ . Modulul este esențial: fără el, condiția $M F - M F^{'} = 2 a$ descrie o singură ramură; modulul este exact ceea ce reunește cele două ramuri într-o singură curbă.

În reperul cu originea la mijlocul segmentului focarelor și cu axa $O x$ pe dreapta lor, condiția se traduce, prin două ridicări la pătrat, în ecuația canonică $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ . Relația dintre parametri este $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ , deci $c = a^{2} + b^{2}$ , iar $c$ este cel mai mare dintre cele trei numere — spre deosebire de elipsă, unde cel mai mare este $a$ . Testul rapid: la hiperbolă focarele sunt mai depărtate de centru decât vârfurile, deci $c > a$ ; dacă îți iese $c < a$ , ai amestecat formulele.

Nu există nicio regulă care să ceară $a > b$ : semiaxa reală $a$ este cea de sub termenul pozitiv, indiferent de mărimea ei. Pentru că ridicarea la pătrat nu este echivalentă, reciproca se demonstrează separat, cu razele focale $M F = ∣ e x - a ∣$ și $M F^{'} = ∣ e x + a ∣$ . Din ecuație rezultă că orice punct al curbei are $∣ x ∣ \geq a$ , ceea ce explică de ce hiperbola are exact două ramuri și nu întâlnește axa $O y$ .

De reținut

$∣ M F - M F^{'} ∣ = 2 a$ , cu $0 < 2 a < F F^{'}$
$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ și $c^{2} = a^{2} + b^{2}$
aici $c$ întrece atât semiaxa reală, cât și pe cea imaginară

Greșeala tipică

Se scrie la hiperbolă $c = a^{2} - b^{2}$ , ca la elipsă. Relația corectă are sub radical o sumă, iar rezultatul trebuie să întreacă semiaxa reală; un $c$ mai mic decât $a$ arată că formulele s-au amestecat.

Exerciții din această mini-lecție

Mulțimea punctelor $M$ care verifică $M F - M F^{'} = 2 a$ , fără modul, unde $0 < 2 a < F F^{'}$ , este:
- a) o elipsă
- b) mulțimea vidă
- c) toată hiperbola
- d) o singură ramură a hiperbolei
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) o singură ramură a hiperbolei

Condiția fără modul fixează semnul diferenței, deci selectează punctele mai apropiate de un focar decât de celălalt: exact o ramură. Modulul din definiție reunește cele două cazuri, $M F - M F^{'} = 2 a$ și $M F^{'} - M F = 2 a$ , adică cele două ramuri simetrice față de axa $O y$ .
Hiperbola $\frac{x ^{2}}{49} - \frac{y ^{2}}{576} = 1$ are focarele:
- a) $(0, \pm 25)$
- b) $(\pm 31, 0)$
- c) $(\pm 25, 0)$
- d) $(\pm 17, 0)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $(\pm 25, 0)$

Avem $a = 7$ și $b = 24$ , iar la hiperbolă $c = a^{2} + b^{2} = 49 + 576 = 625 = 25$ . Focarele sunt $(\pm 25, 0)$ , pe axa transversă, dincolo de vârfurile $(\pm 7, 0)$ . Varianta $(\pm 31, 0)$ adună $a + b$ , iar $(0, \pm 25)$ ar muta focarele pe axa netransversă.
Hiperbola $\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = 1$ intersectează axa $O y$ :
- a) într-un singur punct
- b) în niciun punct, pentru că orice punct al ei are $∣ x ∣ \geq 3$
- c) în patru puncte
- d) în două puncte
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) în niciun punct, pentru că orice punct al ei are $∣ x ∣ \geq 3$

Punând $x = 0$ în ecuație obținem $- \frac{y ^{2}}{16} = 1$ , adică $y^{2} = - 16$ , fără soluții reale. Concluzia generală: din $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} = 1 + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} \geq 1$ rezultă $∣ x ∣ \geq a$ , deci curba stă în afara benzii dintre cele două vârfuri și are exact două ramuri.

Întrebări conexe

Ce hiperbolă are asimptotele perpendiculare între ele?

Cea cu semiaxele egale, numită echilateră. Atunci pantele asimptotelor ies $1$ și $- 1$ , iar unghiul dintre ele este drept. Ecuația canonică devine $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{a ^{2}} = 1$ , iar excentricitatea iese aceeași pentru orice valoare a semiaxei.

Trebuie ca a să fie mai mare decât b la hiperbolă?

Nu, nicio regulă nu cere asta. În $\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = 1$ semiaxele sunt $3$ și $4$ , deci a doua o întrece pe prima. La elipsă convenția $a > b$ este necesară, dar aici cele două numere pot sta în orice ordine.

Ce este dreptunghiul fundamental al unei hiperbole?

Dreptunghiul cu centrul în originea axelor, cu laturile de lungimi $2 a$ și $2 b$ , paralele cu axele. Diagonalele lui, prelungite, sunt chiar asimptotele curbei, iar vârfurile hiperbolei se află la mijloacele a două dintre laturile lui.

Ce condiție leagă $2 a$ de distanța dintre focare?

Inegalitatea $0 < 2 a < F F^{'}$ . Diferența distanțelor la două puncte fixe nu poate întrece distanța dintre ele, așa că pentru $2 a$ egal cu $F F^{'}$ se obțin două semidrepte, iar pentru valori mai mari mulțimea rămâne vidă. Curba adevărată apare numai sub acest prag.

De ce nu întâlnește hiperbola axa ordonatelor?

Fiindcă din ecuație rezultă $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} = 1 + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} \geq 1$ , deci $∣ x ∣ \geq a$ . Punând $x = 0$ s-ar cere ca un pătrat să fie negativ, ceea ce nu se poate. Tocmai de aceea curba are două ramuri despărțite de o fâșie goală.

Cum se scriu razele focale ale hiperbolei?

Cu modul: $M F = ∣ e x - a ∣$ și $M F^{'} = ∣ e x + a ∣$ , unde $e$ este excentricitatea. Modulul e necesar fiindcă punctul poate sta pe oricare dintre ramuri, iar expresiile dinăuntru își schimbă semnul. Ele servesc la demonstrarea implicației inverse.

Oamenii mai întreabă și: ce este hiperbola · ecuația canonică a hiperbolei · cum calculez c la hiperbolă · de ce are hiperbola două ramuri · semiaxa reală și cea imaginară