Excentricitatea unei hiperbole echilatere este:

depinde de valoarea comună a semiaxelor

Vârfurile hiperbolei $$xy = 9$$ sunt:

$$\left(3\sqrt2,\ 3\sqrt2\right)$$ și $$\left(-3\sqrt2,\ -3\sqrt2\right)$$

Ce excentricitate are o hiperbolă echilateră?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Hiperbola echilateră și curba xy = k

Are $e = 2$ , aceeași pentru toate hiperbolele echilatere, oricât de mari ar fi ele. Rezultatul iese din $a = b$ : atunci $c = a^{2} + a^{2} = a 2$ , iar raportul $\frac{c}{a}$ dă $2$ . Tot din $a = b$ urmează că asimptotele $y = \pm x$ sunt perpendiculare, ceea ce îngăduie luarea lor drept axe ale unui reper nou.

Hiperbola echilateră este cea cu $a = b$ ; ecuația ei canonică este $x^{2} - y^{2} = a^{2}$ , asimptotele $y = \pm x$ sunt perpendiculare, iar excentricitatea este $2$ pentru toate hiperbolele echilatere, indiferent de mărimea semiaxei. Fiind perpendiculare, asimptotele pot fi luate drept axe ale unui reper nou — de aici ideea rotației.

Rotația de unghi $\frac{π}{4}$ în sens trigonometric, cu centrul în origine, se scrie $X = \frac{x - y}{2}$ , $Y = \frac{x + y}{2}$ și este înmulțirea cu matricea de rotație din clasa a XI-a. Prin ea, ecuația $x^{2} - y^{2} = a^{2}$ devine $x y = \frac{a ^{2}}{2}$ , iar cele două asimptote devin exact axele de coordonate: de aici numele „raportată la asimptote”. Atenție la factorul $\frac{1}{2}$ : din $x^{2} - y^{2} = 16$ se obține $x y = 8$ , nu $x y = 16$ .

Curba $x y = k$ , cu $k > 0$ , este chiar graficul funcției $x \mapsto \frac{k}{x}$ de la clasa a IX-a, deci hiperbola de proporționalitate inversă este o conică autentică. Elementele se citesc prin $a = b = 2 k$ , $c = 2 k$ , vârfurile $(\pm k, \pm k)$ și focarele $(\pm 2 k, \pm 2 k)$ , cu semnele luate simultan. Vârfurile aparțin curbei, focarele nu: produsul coordonatelor lor este $2 k \neq = k$ . Rotația fiind izometrie, semiaxele, distanța focală și excentricitatea rămân neschimbate.

De reținut

hiperbolă echilateră: $a = b$ , asimptote perpendiculare, $e = 2$
rotația cu $\frac{π}{4}$ duce $x^{2} - y^{2} = a^{2}$ în $x y = \frac{a ^{2}}{2}$
la $x y = k$ : $a = b = 2 k$ și $c = 2 k$

Greșeala tipică

Se scrie că rotația lui $x^{2} - y^{2} = a^{2}$ dă $x y = a^{2}$ . Constanta se înjumătățește, deci rezultatul corect este $x y = \frac{a ^{2}}{2}$ , iar controlul rapid se face pe cazul $a^{2} = 16$ , unde iese $8$ .

Exerciții din această mini-lecție

Prin rotația de unghi $\frac{π}{4}$ în sens trigonometric, cu centrul în origine, hiperbola $x^{2} - y^{2} = 50$ devine:
- a) $x y = 100$
- b) $x y = 25$
- c) $x y = \frac{50}{2}$
- d) $x y = 50$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $x y = 25$

Formula fixată este $x^{2} - y^{2} = a^{2} \to x y = \frac{a ^{2}}{2}$ , deci aici $x y = \frac{50}{2} = 25$ . Factorul $\frac{1}{2}$ vine din identitatea $(X + Y)^{2} - (Y - X)^{2} = 4 X Y$ , împărțită la $2$ . Greșeala tipică este păstrarea constantei neschimbate, care ar dubla toate elementele curbei.
Excentricitatea unei hiperbole echilatere este:
- a) $1$
- b) depinde de valoarea comună a semiaxelor
- c) $2$
- d) $2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $2$

La hiperbola echilateră $a = b$ , deci $c = a^{2} + a^{2} = a 2$ și $e = \frac{c}{a} = 2$ , valoare care nu depinde de $a$ . Toate hiperbolele echilatere au aceeași formă și diferă doar prin mărime — la fel cum două elipse cu aceeași excentricitate sunt asemenea.
Vârfurile hiperbolei $x y = 9$ sunt:
- a) $(3, 3)$ și $(- 3, - 3)$
- b) $(32, 32)$ și $(- 32, - 32)$
- c) $(3, - 3)$ și $(- 3, 3)$
- d) $(9, 9)$ și $(- 9, - 9)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(3, 3)$ și $(- 3, - 3)$

Vârfurile sunt $(\pm k, \pm k)$ cu semne simultane, deci $(3, 3)$ și $(- 3, - 3)$ ; ele aparțin curbei, pentru că $3 \cdot 3 = 9$ . Punctele $(\pm 32, \pm 32)$ sunt focarele, cu produsul coordonatelor $18 = 2 k$ , iar $(3, - 3)$ nu verifică ecuația, produsul fiind $- 9$ .

Întrebări conexe

Ce constantă se obține rotind $x^{2} - y^{2} = 16$ ?

Se obține $x y = 8$ , adică jumătate din $16$ . Factorul $\frac{1}{2}$ vine din calculul rotației, unde diferența de pătrate se transformă în dublul produsului. Cine scrie $x y = 16$ dublează constanta și greșește apoi toate elementele curbei.

Ce vârfuri are hiperbola scrisă sub forma produs $x y = k$ ?

Punctele $(k, k)$ și $(- k, - k)$ , cu semnele luate deodată pentru amândouă coordonatele. Ele aparțin curbei, ceea ce se verifică imediat: produsul coordonatelor dă chiar $k$ . Sunt punctele cele mai apropiate de origine de pe fiecare ramură.

Ce se schimbă la curba xy egal k dacă numărul k este negativ?

Ramurile trec în cadranele al doilea și al patrulea, în loc de primul și al treilea, fiindcă produsul coordonatelor devine negativ. Asimptotele rămân aceleași două axe, iar forma curbei este oglindirea celei de la $k$ pozitiv față de una dintre axe.

Ce se schimbă la elementele curbei printr-o rotație?

Nimic. Rotația este o izometrie, deci păstrează distanțele: semiaxele, distanța dintre focare și excentricitatea rămân aceleași. Se schimbă numai coordonatele punctelor și forma ecuației, fiindcă reperul e altul, nu curba.

Ce se schimbă dacă rotești cu unghiul opus?

Se schimbă rolurile celor două asimptote: cea care ajungea axa absciselor devine axa ordonatelor, iar formulele de trecere își inversează semnele. De aceea sensul trigonometric, dat de unghiul pozitiv, se scrie explicit în rezolvare, altfel rezultatul poate ieși cu semnul răsturnat.

Ce semiaxe are hiperbola dată prin ecuația $x y = k$ ?

Amândouă egale cu $2 k$ , fiindcă este echilateră. Se obțin întorcând ecuația la forma canonică: din $x y = k$ rezultă $\frac{a ^{2}}{2} = k$ , deci $a = b = 2 k$ , iar distanța focală iese $c = 2 k$ .

Oamenii mai întreabă și: hiperbola echilateră · curba xy egal k · graficul lui 1 supra x este hiperbolă · rotația cu pi pe 4 · focarele hiperbolei xy egal k