Despre funcția $$f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$$, $$f(x) = \dfrac{x}{x+2}$$, este adevărat că:

are minimul $$0$$ și maximul $$1$$

are maximul $$1$$, atins pentru $$x$$ foarte mare

Imaginea funcției $$f : \mathbb{R}^{*} \to \mathbb{R}$$, $$f(x) = x + \dfrac{9}{x}$$, este:

$$(-\infty, -6] \cup [6, +\infty)$$

$$(-\infty, -6) \cup (6, +\infty)$$

Cum aflu imaginea unei funcții?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Imaginea unei funcții, cu derivata

Faci tabelul de variație, calculând limitele în fiecare capăt, apoi citești, ramură cu ramură, intervalul de valori pe care îl acoperă funcția, și reunești rezultatele. Acolo unde capătul iese dintr-o valoare chiar atinsă, paranteza se închide; acolo unde el vine dintr-o limită, rămâne deschisă. Pentru $f (x) = x^{2}$ pe $R$ , minimul $0$ este atins, iar sus valorile urcă nemărginit, deci imaginea este $[0, + \infty)$ .

Imaginea unei funcții este mulțimea valorilor pe care le ia efectiv: $Im f = {f (x) ∣ x \in D}$ . Ea nu se confundă cu codomeniul, care e doar declarat în enunț; cele două coincid exact când funcția este surjectivă. O reformulare de care te vei folosi mereu: numărul $m$ este în imagine dacă și numai dacă ecuația $f (x) = m$ are măcar o soluție.

Ideea de lucru: pe un interval pe care $f$ este continuă și strict monotonă, imaginea este intervalul determinat de valorile (sau limitele) de la capete — incluziunea într-un sens vine din monotonie, cealaltă din proprietatea valorilor intermediare (Darboux). Derivata taie domeniul exact în asemenea felii.

Rețeta: domeniul, derivata și semnul ei, tabelul de variație cu limitele la toate capetele, imaginea fiecărei ramuri, apoi reuniunea lor.

Decizia care aduce cele mai multe puncte pierdute este paranteza. Un capăt provenit dintr-o valoare atinsă se scrie închis; unul provenit dintr-o limită se scrie deschis. Paranteza se hotărăște pe fiecare ramură separat, pentru că o valoare ratată pe o ramură poate fi luată pe alta.

Imaginea răspunde dintr-o mișcare la mai multe cerințe: $Im f = R$ înseamnă surjectivitate, o imagine mărginită înseamnă funcție mărginită, iar $Im f = [a, b]$ dă gata inegalitatea $a \leq f (x) \leq b$ .

De reținut

$Im f$ adună valorile luate efectiv de funcție
valoare atinsă dă capăt închis, limită dă capăt deschis
$Im f = R$ înseamnă funcție surjectivă

Greșeala tipică

Se pun paranteze închise la toate capetele imaginii, indiferent de unde vin. Un capăt obținut dintr-o limită nu este atins, deci acolo paranteza rămâne deschisă.

Exerciții din această mini-lecție

Imaginea funcției $f : R \to R$ , $f (x) = \frac{x ^{2}}{x ^{2} + 3}$ , este:
- a) $[0, 1)$
- b) $[0, 1]$
- c) $(0, 1)$
- d) $[0, + \infty)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $[0, 1)$

$f^{'} (x) = \frac{6 x}{( x ^{2} + 3 ) ^{2}}$ are semnul lui $x$ , deci $f$ scade pe $(- \infty, 0]$ și crește pe $[0, + \infty)$ , cu minimul $f (0) = 0$ . La $\pm \infty$ limita este $1$ , dar nicio valoare nu o atinge, pentru că $x^{2} < x^{2} + 3$ . Capătul care vine dintr-o valoare se scrie închis, cel care vine dintr-o limită — deschis.
Despre funcția $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{x}{x + 2}$ , este adevărat că:
- a) are minimul $0$ și maximul $1$
- b) nu are nici minim, nici maxim
- c) are maximul $1$ , atins pentru $x$ foarte mare
- d) are imaginea $[0, 1]$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) nu are nici minim, nici maxim

$f^{'} (x) = \frac{2}{( x + 2 ) ^{2}} > 0$ , deci $f$ este strict crescătoare, iar limitele la capete sunt $0$ (la dreapta lui $0$ ) și $1$ (la $+ \infty$ ). Imaginea este $(0, 1)$ : ambele capete provin din limite, deci nu se ating. Numerele $0$ și $1$ sunt marginea inferioară, respectiv superioară, dar funcția nu are extreme.
Imaginea funcției $f : R^{*} \to R$ , $f (x) = x + \frac{9}{x}$ , este:
- a) $R$
- b) $[- 6, 6]$
- c) $(- \infty, - 6) \cup (6, + \infty)$
- d) $(- \infty, - 6] \cup [6, + \infty)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $(- \infty, - 6] \cup [6, + \infty)$

$f^{'} (x) = \frac{x ^{2} - 9}{x ^{2}}$ se anulează în $\pm 3$ , cu $f (- 3) = - 6$ maxim local și $f (3) = 6$ minim local. Ramurile dau $(- \infty, - 6]$ de două ori și $[6, + \infty)$ de două ori, iar capetele se ating, în $- 3$ și în $3$ . Domeniul nefiind interval, imaginea nu este interval: între $- 6$ și $6$ funcția nu ia nicio valoare, deci ecuația $x + \frac{9}{x} = 2$ nu are soluții reale.

Întrebări conexe

Ce diferență este între imagine și codomeniu?

Codomeniul este mulțimea declarată în enunț, iar imaginea cuprinde doar valorile luate efectiv. Ele se suprapun numai la o funcție surjectivă. La $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2}$ , codomeniul e toată dreapta, iar imaginea doar $[0, + \infty)$ .

Ce imagine are funcția x pătrat pe intervalul de la minus 1 la 2?

Este $[0, 4]$ . Funcția coboară pe $[- 1, 0]$ și urcă pe $[0, 2]$ , deci minimul $0$ se atinge în origine, iar maximul se caută în capete: $f (- 1) = 1$ și $f (2) = 4$ . Cel mai mare dintre ele dă marginea de sus.

Cum se obține imaginea unei funcții cu două ramuri de monotonie?

Calculezi imaginea fiecărei ramuri, folosind valorile sau limitele de la capetele ei, apoi faci reuniunea celor două mulțimi. Rezultatul poate fi un singur interval sau două intervale despărțite, după cum se așază valorile.

Ce înseamnă că un număr aparține imaginii unei funcții?

Că ecuația $f (x) = m$ are cel puțin o soluție în domeniu. Reformularea aceasta leagă imaginea de numărul soluțiilor și este utilă la problemele cu parametru: valorile lui $m$ pentru care ecuația are soluții alcătuiesc exact imaginea.

Ce imagine are o funcție continuă și strict crescătoare pe un interval închis?

Intervalul închis dintre valorile de la capete, adică $[f (a), f (b)]$ . Monotonia dă o incluziune, iar proprietatea valorilor intermediare pe cealaltă. Pentru o funcție strict descrescătoare capetele se schimbă între ele.

Cum arăt mărginirea unei funcții folosind imaginea ei?

Dacă imaginea iese un interval mărginit, funcția este mărginită, iar capetele lui dau chiar încadrarea. Rezultatul $Im f = [a, b]$ înseamnă direct $a \leq f (x) \leq b$ , ceea ce rezolvă dintr-o mișcare o cerință de inegalitate.

Oamenii mai întreabă și: imaginea unei funcții · mulțimea valorilor unei funcții · cum determin imaginea cu derivata · surjectivitate cu derivata · paranteze la capetele imaginii