Din $$1 \le 1+x^{2} \le 2$$, pentru $$x \in [0, 1]$$, rezultă:

$$\dfrac12 \le \displaystyle\int_0^1 \dfrac{dx}{1+x^{2}} \le 1$$

$$\dfrac13 \le \displaystyle\int_0^1 \dfrac{dx}{1+x^{2}} \le 1$$

$$1 \le \displaystyle\int_0^1 \dfrac{dx}{1+x^{2}} \le 2$$

$$\dfrac12 \le \displaystyle\int_0^1 \dfrac{dx}{1+x^{2}} \le 2$$

Pe intervalul $$[0, 1]$$ are loc:

$$\displaystyle\int_0^1 x^{3}\,dx \le \displaystyle\int_0^1 x^{2}\,dx$$

$$\displaystyle\int_0^1 x^{2}\,dx \le \displaystyle\int_0^1 x^{3}\,dx$$

cele două integrale sunt egale

nu se pot compara fără a le calcula

Dacă $$2 \le f(x) \le 5$$ pentru orice $$x \in [1, 7]$$, atunci:

$$12 \le \displaystyle\int_1^7 f(x)\,dx \le 30$$

$$2 \le \displaystyle\int_1^7 f(x)\,dx \le 5$$

$$14 \le \displaystyle\int_1^7 f(x)\,dx \le 35$$

$$12 \le \displaystyle\int_1^7 f(x)\,dx \le 35$$

Cum încadrez o integrală fără să o calculez?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Încadrarea și compararea integralelor

În trei pași: găsești două numere între care stă funcția pe interval, integrezi inegalitatea și scrii $m (b - a) \leq \int_{a}^{b} f (x) d x \leq M (b - a)$ . Pasul din mijloc se sprijină pe monotonia integralei, care cere ca limitele să fie în ordine crescătoare. Din încadrare se obține și o aproximare, cu jumătatea lățimii benzii drept margine a erorii.

Multe integrale nu se pot calcula, dar se pot încadra. Rețeta are trei etape: Etapa 1 — determini marginile funcției pe interval, $m \leq f (x) \leq M$ ; Etapa 2 — integrezi inegalitatea; Etapa 3 — scrii încadrarea $m (b - a) \leq \int_{a}^{b} f (x) d x \leq M (b - a)$ . Factorul $b - a$ nu se pierde: el dispare doar când intervalul are lungimea $1$ , tocmai cazul care creează obișnuința greșită.

Compararea a două integrale se face fără calcul: din $f \leq g$ pe $[a, b]$ , cu $a < b$ , rezultă $\int_{a}^{b} f \leq \int_{a}^{b} g$ . Inegalitatea dintre funcții trebuie verificată pe tot intervalul, iar cele două integrale trebuie să aibă aceleași limite. Reciproca nu este validă: două funcții foarte diferite pot avea aceeași integrală.

O încadrare prea largă se rafinează comparând integrandul cu funcții pe care le poți integra, pornind de la inegalități cunoscute precum $e^{u} \geq 1 + u$ , $ln (1 + u) \leq u$ sau $1 + u \leq 1 + \frac{u}{2}$ . Atenție la trecerea la inverse: din $1 \leq 1 + x^{3} \leq 2$ rezultă $\frac{1}{2} \leq \frac{1}{1 + x ^{3}} \leq 1$ , cu sensul schimbat.

Inegalitatea modulului, $\int_{a}^{b} f \leq \int_{a}^{b} ∣ f ∣$ , transformă o integrală oscilantă într-una cu integrand pozitiv. Dintr-o încadrare $j \leq I \leq s$ se obține aproximarea $I \approx \frac{j + s}{2}$ , cu eroarea cel mult $\frac{s - j}{2}$ .

De reținut

$m \leq f \leq M$ $\Rightarrow$ $m (b - a) \leq \int_{a}^{b} f \leq M (b - a)$
$f \leq g$ pe $[a, b]$ , cu $a < b$ $\Rightarrow$ $\int_{a}^{b} f \leq \int_{a}^{b} g$
la trecerea la inverse, sensul se schimbă

Greșeala tipică

Se trece la inverse fără a schimba sensul inegalității. Din $1 \leq 1 + x^{3} \leq 2$ rezultă $\frac{1}{2} \leq \frac{1}{1 + x ^{3}} \leq 1$ , deci marginile își schimbă locurile între ele.

Exerciții din această mini-lecție

Din $1 \leq 1 + x^{2} \leq 2$ , pentru $x \in [0, 1]$ , rezultă:
- a) $\frac{1}{3} \leq \int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x ^{2}} \leq 1$
- b) $1 \leq \int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x ^{2}} \leq 2$
- c) $\frac{1}{2} \leq \int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x ^{2}} \leq 2$
- d) $\frac{1}{2} \leq \int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x ^{2}} \leq 1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $\frac{1}{2} \leq \int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x ^{2}} \leq 1$

La numitori pozitivi, cine este mai mare are inversul mai mic: din $1 \leq 1 + x^{2} \leq 2$ rezultă $\frac{1}{2} \leq \frac{1}{1 + x ^{2}} \leq 1$ , iar lungimea intervalului fiind $1$ , încadrarea integralei este aceeași. Valoarea exactă, $\frac{π}{4} \approx 0, 785$ , se află într-adevăr între $0, 5$ și $1$ .
Pe intervalul $[0, 1]$ are loc:
- a) $\int_{0}^{1} x^{3} d x \leq \int_{0}^{1} x^{2} d x$
- b) $\int_{0}^{1} x^{2} d x \leq \int_{0}^{1} x^{3} d x$
- c) cele două integrale sunt egale
- d) nu se pot compara fără a le calcula
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\int_{0}^{1} x^{3} d x \leq \int_{0}^{1} x^{2} d x$

Pentru $x \in [0, 1]$ avem $x^{3} \leq x^{2}$ , iar monotonia integralei transmite inegalitatea: $\frac{1}{4} \leq \frac{1}{3}$ . Pe $[1, 2]$ inegalitatea dintre funcții se schimbă, deci și cea dintre integrale — de aceea comparația se face întotdeauna pe intervalul dat.
Dacă $2 \leq f (x) \leq 5$ pentru orice $x \in [1, 7]$ , atunci:
- a) $2 \leq \int_{1}^{7} f (x) d x \leq 5$
- b) $12 \leq \int_{1}^{7} f (x) d x \leq 30$
- c) $14 \leq \int_{1}^{7} f (x) d x \leq 35$
- d) $12 \leq \int_{1}^{7} f (x) d x \leq 35$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $12 \leq \int_{1}^{7} f (x) d x \leq 30$

Se înmulțesc marginile cu lungimea intervalului, $b - a = 6$ : $2 \cdot 6 = 12$ și $5 \cdot 6 = 30$ . Varianta a) uită factorul $b - a$ , iar varianta c) folosește $b = 7$ în loc de $b - a$ .

Întrebări conexe

De ce nu dispare factorul b minus a din încadrare?

Fiindcă integrarea unei constante pe interval dă constanta înmulțită cu lungimea. Factorul se face nevăzut doar când intervalul are lungimea $1$ , tocmai cazul din multe exerciții, care naște obișnuința de a-l uita. La altă lungime, uitarea lui strică amândouă marginile.

Cum se rafinează o încadrare prea largă?

Compari integrandul cu funcții al căror calcul îl stăpânești, nu doar cu două numere. Inegalități potrivite sunt $e^{u} \geq 1 + u$ sau $ln (1 + u) \leq u$ . Marginile obținute astfel sunt mai apropiate între ele decât cele date de valorile extreme ale funcției.

Cât este eroarea aproximării obținute dintr-o încadrare?

Dacă integrala stă între două numere, o aproximezi cu mijlocul dintre ele, iar eroarea nu depășește jumătate din distanța care le desparte. Cu cât marginile sunt mai apropiate, cu atât aproximarea e mai bună; de aceea rafinarea merită efortul.

Trebuie ca inegalitatea dintre funcții să fie valabilă pe tot intervalul?

Da. Dacă pe o porțiune ordinea se schimbă, concluzia cade. Se face de aceea tabelul de semn al diferenței celor două funcții, iar dacă ea își schimbă semnul, intervalul se rupe și fiecare bucată se tratează cu inegalitatea potrivită.

Se poate compara o integrală cu aria unui dreptunghi?

Da, chiar asta face încadrarea: cele două margini sunt ariile dreptunghiurilor cu înălțimile $m$ și $M$ , ridicate pe același interval. Regiunea de sub grafic se strecoară între ele, iar teorema de medie spune că undeva există și dreptunghiul care se potrivește exact.

Oamenii mai întreabă și: încadrarea unei integrale · inegalități cu integrale · compararea a două integrale · cum aproximez o integrală · monotonia integralei