Pentru a demonstra că $$x^{3} + 16 \ge 12x$$ pentru orice $$x \ge 0$$ se folosește funcția auxiliară $$h(x) = x^{3} - 12x + 16$$. Minimul global al lui $$h$$ pe $$[0, +\infty)$$ este:

nu există, pentru că $$h$$ nu este mărginită inferior

Fie $$h$$ derivabilă pe $$(0, +\infty)$$, cu $$h'(x) > 0$$ pentru orice $$x > 0$$ și $$h(2) = 0$$. Atunci:

$$h(x) > 0$$ pentru $$x > 2$$ și $$h(x) < 0$$ pentru $$0 < x < 2$$

$$h(x) > 0$$ pentru orice $$x > 0$$

$$h$$ are un minim global în $$x = 2$$

Cum demonstrez o inegalitate cu derivate?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Inegalități demonstrate cu derivate

Aduci totul într-un singur membru, apoi cercetezi pe intervalul din enunț funcția auxiliară $h = f - g$ . Afli semnul lui $h^{'}$ , faci tabelul de variație și citești semnul lui $h$ . Când $h$ se mișcă într-un singur sens, o valoare de la capăt încheie discuția; când $h^{'}$ își schimbă semnul, îți trebuie minimul global. Răspunsul complet spune și pe ce interval e valabilă inegalitatea, și unde are loc egalitatea.

O inegalitate este, în fond, o afirmație despre semnul unei funcții. De aceea toate se rezolvă cu aceeași procedură, nu cu artificii diferite: muți totul într-un membru și studiezi funcția auxiliară $h = f - g$ pe intervalul din enunț.

Rețeta are patru pași: scrii $h$ și precizezi intervalul, cu continuitatea și derivabilitatea pe el; afli semnul lui $h^{'}$ , de obicei prin factorizare; construiești tabelul de variație, cu valorile în punctele critice și limitele la capete; citești semnul lui $h$ .

Ultimul pas are două variante. Dacă $h$ este monotonă, îți ajunge valoarea dintr-un capăt: din $h$ strict crescătoare și $h (a) = 0$ rezultă $h > 0$ la dreapta lui $a$ — și, atenție, $h < 0$ la stânga. Dacă $h^{'}$ își schimbă semnul, ai nevoie de minimul global din tabel: $h \geq 0$ peste tot revine la „minimul global este $\geq 0$ ".

Minimul global este chiar constanta optimă a inegalității, deci merită spus cât e: dacă iese strict pozitiv, ai demonstrat mai mult decât ți s-a cerut. Un răspuns complet conține trei lucruri: inegalitatea, intervalul pe care e valabilă și punctele de egalitate — acestea din urmă sunt exact punctele în care $h$ își atinge minimul $0$ .

Inegalitățile cu doi parametri se aduc, când se poate, la aceeași funcție evaluată în două puncte; atunci totul se decide din monotonia ei.

De reținut

orice inegalitate devine studiu de semn pentru $h = f - g$
o funcție auxiliară monotonă cere doar valoarea dintr-un capăt
$h \geq 0$ peste tot revine la minimul global mai mare sau egal cu zero

Greșeala tipică

Se arată doar că funcția auxiliară este crescătoare și se trage concluzia. Mai trebuie o valoare de referință: fără $h (a) = 0$ într-un capăt, creșterea nu spune nimic despre semn.

Exerciții din această mini-lecție

Pentru a demonstra că $x^{3} + 16 \geq 12 x$ pentru orice $x \geq 0$ se folosește funcția auxiliară $h (x) = x^{3} - 12 x + 16$ . Minimul global al lui $h$ pe $[0, + \infty)$ este:
- a) $16$ , atins în $x = 0$
- b) $- 2$ , atins în $x = - 2$
- c) $0$ , atins în $x = 2$
- d) nu există, pentru că $h$ nu este mărginită inferior
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $0$ , atins în $x = 2$

$h^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 = 3 (x - 2) (x + 2)$ , iar pe $[0, + \infty)$ rămâne doar rădăcina $2$ : derivata este negativă pe $(0, 2)$ și pozitivă după. Deci $2$ este punct de minim, cu $h (2) = 8 - 24 + 16 = 0$ . Valoarea $16$ este $h (0)$ , dintr-un capăt în care funcția abia începe să coboare. Inegalitatea are loc, cu egalitate exact în $x = 2$ .
Fie $h$ derivabilă pe $(0, + \infty)$ , cu $h^{'} (x) > 0$ pentru orice $x > 0$ și $h (2) = 0$ . Atunci:
- a) $h (x) > 0$ pentru orice $x > 0$
- b) $h (x) < 0$ pentru orice $x > 0$
- c) $h$ are un minim global în $x = 2$
- d) $h (x) > 0$ pentru $x > 2$ și $h (x) < 0$ pentru $0 < x < 2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $h (x) > 0$ pentru $x > 2$ și $h (x) < 0$ pentru $0 < x < 2$

Monotonia singură nu dă semnul; ea spune doar cum se compară valorile între ele. Din stricta creștere rezultă $h (x) > h (2) = 0$ la dreapta lui $2$ și $h (x) < h (2) = 0$ la stânga. Punctul $2$ nu este de extrem, pentru că derivata nu își schimbă semnul acolo. Concluzia „ $h > 0$ peste tot" ar fi capcana clasică a valorii de referință luate din capătul greșit.
Cea mai mare valoare a lui $m$ pentru care $x^{2} + \frac{16}{x} \geq m$ pentru orice $x > 0$ este:
- a) $12$
- b) $8$
- c) $16$
- d) $6$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $12$

Constanta optimă este chiar minimul global al membrului stâng. Cu $h (x) = x^{2} + \frac{16}{x}$ avem $h^{'} (x) = \frac{2 x ^{3} - 16}{x ^{2}}$ , care se anulează pentru $x^{3} = 8$ , adică $x = 2$ , cu semnele $-$ și $+$ . Minimul este $h (2) = 4 + 8 = 12$ , deci inegalitatea ține pentru orice $m \leq 12$ , iar $12$ este valoarea maximă.

Întrebări conexe

Cum arăt că e la puterea x este cel puțin x plus 1?

Iei $h (x) = e^{x} - x - 1$ , cu $h^{'} (x) = e^{x} - 1$ , negativă la stânga lui zero și pozitivă la dreapta. Deci $h$ are minim global în $0$ , unde valorează $0$ . Prin urmare $h \geq 0$ peste tot, cu egalitate numai în origine.

Ce fac dacă inegalitatea se cere doar pentru numere naturale?

O demonstrezi întâi pe intervalul real corespunzător, cu derivata, apoi o citești pentru valorile întregi. Derivata cere o variabilă continuă, așa că trecerea la $x > 0$ este pasul care face metoda posibilă. Concluzia rămâne valabilă pentru fiecare număr natural din interval.

Ce înseamnă că minimul global al funcției auxiliare este zero?

Că inegalitatea cerută este adevărată și, în plus, nu poate fi îmbunătățită: constanta zero este cea mai strânsă. Punctele în care minimul se atinge sunt exact punctele de egalitate, iar ele fac parte din răspuns.

Ce trei lucruri conține un răspuns complet la o inegalitate?

Inegalitatea însăși, intervalul pe care ea este valabilă și punctele în care cele două expresii devin egale. Ultimele se citesc din tabel, ca puncte în care funcția auxiliară atinge valoarea zero. Fără ele răspunsul rămâne pe jumătate.

De ce contează dacă lucrez la stânga sau la dreapta capătului?

Fiindcă semnul se schimbă odată cu partea. Dintr-o funcție strict crescătoare cu $h (a) = 0$ rezultă $h > 0$ la dreapta lui $a$ , dar $h < 0$ la stânga. Intervalul din enunț hotărăște deci ce concluzie poți scrie.

Cum arăt că ln de 1 plus x este mai mic decât x?

Studiezi $h (x) = x - ln (1 + x)$ pe $(- 1, + \infty)$ . Derivata $\frac{x}{1 + x}$ este negativă pe $(- 1, 0)$ și pozitivă după, deci $h$ are minim în $0$ , cu valoarea $0$ . Rezultă $h > 0$ pentru orice $x$ nenul din domeniu.

Oamenii mai întreabă și: inegalități cu derivate · funcție auxiliară la inegalități · cum demonstrez o inegalitate · minim global la inegalități · puncte de egalitate